第二章 Wiener过滤和Kalman过滤
过滤：即滤波，将被噪声污染的信号尽可能地提取出来，最大限度的抑制噪声，而将有用信号分离出来。 引言 过滤：即滤波，将被噪声污染的信号尽可能地提取出来，最大限度的抑制噪声，而将有用信号分离出来。
过滤可以看作是估计问题。 通信工程：波形估计 控制工程：动态估计 过滤可以看作是估计问题。 通信工程：波形估计 控制工程：动态估计
滤波、预测和平滑的关系 滤 波： 预测(外推): 平滑(内插):
Wiener滤波 若信号 是广义平稳的，已知其自相关函数或功率谱，所用的最优评估准则为MMSE (Mininum Mean Square Error),即 。
Wiener滤波 由二次世界大战提出，以后在通信，控制等领域获得广泛应用,并在应用之中得到发展。但Wiener滤波不能用于实时递推处理,也不适用于非平稳信号的滤波。
从本世纪四十年代起,有人用状态变量分析法来研究随机过程。到六十年代初,由于空间技术的发展,为了解决对非平稳、多输入/输出随机序列的估计问题,由Kalman提出的MMSE准则下滤波称为Kalman滤波，并由Kalman和Bucy一起将其推广到连续的时间随机过程。 Kalman滤波一出现就引起人们的很大重视，现已成功的应用于许多领域，并在实践中不断丰富和完善。
Kalman滤波 已知前一个估计值和最近一个观测数据，仍然要求满足MMSE；用状态方程，观测方程进行估计。
特点：对误差抑制能力强。 对小误差不敏感。 MMSE 特点：对误差抑制能力强。 对小误差不敏感。
Wiener滤波和Kalman滤波的比较 Wiener滤波：要求知道随机信号的统计分布规律(自相关函数或功率谱密度），得到的结果是封 闭公式,适用于平稳随机信号。其物理概念清楚，但不能递推实时处理。 Kalman滤波：采用递推的处理方法,适用于平稳和/或非平稳随机过程，是Wiener滤波的一种算法。
§2 Wiener滤波器的离散形式 ---时域解
Wiener滤波最初是对连续时间信号用模拟滤波的形式出现的,而后才有离散形式,设计Wiener滤波器的过程是在满足MMSE准则下，寻找 或 。 系统是因果的,
正交性原理 ① 写成矩阵形式：
② ①②称为Wiener-Hopf方程。
讨论 1. 若 没有因果限制
2.因果FIR网络 写成矩阵形式：
其中：
Wiener-Hopf方程存在的问题 ① N大时，计算工作量很大，并需要计算逆矩阵， 要求的存储量也大。 ② 计算过程中，若通过增加滤波器的长度N，提高 逼近精度时，就需要在新N的基础上重新进行计算。
例: 已知： 都是白噪声,方差 且 与 与 不相关，并且都是实信号，期望信号为 。设计长度为2的Wiener滤波器以得到 的最佳估计。
分析 根据Wiener滤波理论 求解 为关键。
解: 因为 与 不相关，并且 所以
①
① 两边同乘以 由①式可以确定 代入上面的方程组中，并取出 m=1,2,0得三个方程.确定三个未知数 因为待求滤波器的长度为2，因此自相关函数矩阵的 大小为22。
据 的模型
估计的最小均方差
两边同乘以 并取数学期望：
§2.Wiener滤波的离散形式 ---Z域解
不能直接转入 求解
思路：将 白化之后求解Wiener-Hopf方程 的求解。
的白化 要求 为最小相位系统
信号模型
一、非因果解
因为 所以 一般形式 ①
当 与 不相关时,即
推导 其中 ，应用复卷积定理求解。 用围线积分法求逆Z变换
复卷积定理
取 ，则 ③
－－② [注：当 不相关时]
假定 ,并带入②式且由于 为偶函数
二、因果Wiener滤波器 的求解
令
又由于 ，得
Wiener滤波器设计的一般解题方法 由 得到信号的时间序列模型 ； 求 的Z反变换，取因果部分，再做Z变换，得 ； 由 得到信号的时间序列模型 ； 求 的Z反变换，取因果部分，再做Z变换，得 ； 计算 ，积分曲线取单位圆。
留数内容的复习
1. 留数的定义 设 为 的孤立奇点
2. Z反变换
例：已知 为白噪声， 求:
解: 须是最小相位系统。
① 物理可实现情况
令 因果，稳定. 的极点为0.8 ,2 考虑到因果性，稳定性仅取极点 .
取因果部分
令 单位圆内只有极点
② 非物理可实现情况
令 单位圆内有两个极点0.8,0.5 可见，非物理可实现情况的最小均方差<物理可实现情况的最小均方差。