练习2.2 1. 将一枚骰子连掷两次,以X表示两次所得点数之 和,试写出随机变量X的分布律. 解: X =“出现的点数” Aij表示第一次出现 i点,第二次出现 j点,i,j=1,2,3,4,5,6

X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P

X 1 2 3 4 5 p

练习2.3 1. 设每次射击中目标的概率为0.3,现进行8次独 立射击.(1)写出击中次数的概率分布;(2)击中几次 1. 设每次射击中目标的概率为0.3,现进行8次独 立射击.(1)写出击中次数的概率分布;(2)击中几次 的可能性最大?并求出相应的概率;(3)至少击中2次 的概率是多少. 解(1)：设X=“击中的次数”，则X~B(8，0.3) (2)由于(n+1)p=9×0.3=2.7故击中目标的最大可能次数

2.某电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的 泊松分布.求(1)每分钟恰有8次呼唤的概率;(2)每分 钟的呼唤次数大于10的概率. 解：设X =“每分钟呼唤的次数”，则X ~ P(4)， 其分布律为

3. 次品率为0.002的20000件产品中任取100件. 求(1)恰有一件为次品的概率; (2)其中至多有一件是次品的概率. 解：设X =“100件中的次品数”则X ~ B(100，0.002) 由于n很大 p=0.002<0.1 n=100>10 可用泊松分布近似 np = 100×0.002 = 0.2 （1）P(X=1)=P(X≤1)-P(X≤0) X ~ p(0.2) （2）P(X≤1)

练习2.4 1.设随机变量X的密度函数为 求常数k及X的分布函数。 解：

2. 设连续型随机变量X的分布函数为 求(1) 系数A;(2)随机变量X落在区间(5,10)内的概 率;(3)随机变量X的密度函数。 解(1) 由分布函数的右连续性质得

(2)P{5<X<10} = P{X<10} - P{X≤5} = F(10) - F(5)

3. 设X是[-a,a]上均匀分布的随机变量,其中a>0，

4. 某电子管的寿命(小时)是一个具有密度函数为 的连续型随机变量.某仪器内装有3只这种电子管, 设各管损坏与否彼此无关.求:(1)150小时内3只电管 无一损坏的概率;(2)150小时内恰有1只电子管损的 概率;(3)150小时内3只电子管全部损坏的概率. 解：设P为150小时内该电子管损坏的概率

(1)150小时内3只电管无一损坏的概率 (2)150小时内恰有1只电子管损的概率 (3)150小时内3只电子管全部损坏的概率

练习2.5 1.设随机变量X~N(0,1)，求： (1)P{X < 2.35}; (2)P{X ≥ -1.24}; (3)P{|X|≤1.58)}; (4)求x，使P{|X|>x}=0.1615 解：X~N(0,1) (1)P{X<2.35} = P{X≤2.35} (2)P{X≥-1.24} = 1-P{X<-1.24} (3)P{|X|≤1.58} (4)P{|X|>x} = 1-P{|X|≤x}

2.设随机变量X~N(3,22)，求： (1)P{2<X≤5}; (2)P{-4<X<10}; (3)P{|X|>2}; (4)P{X>3}; (5)决定k值,使得P{X>k}=P{X≤k}. 解：

X~N(3,22)

X~N(3,22)

3. 正常生产时，某零件长度X~N(1,0.012),如果产品 长度在1±0.0196的范围内为合格品,求:(1)生产的零 件为合格品的概率;(2)生产出的3个零件全为合格品 的概率. 解：(1)P{|X-1|≤0.0196} (2)设A=“3个零件全是合格品”

4. 某工厂生产的电子管寿命X(小时) ~ N(1600, ), 如果要求P{1200<X≤2000}≥0.80,允许 最大为多 少？

练习2.6 1.设离散型随机变量X的分布列为： 求下列随机变量的分布：(1)X+2; (2)-X+1; (3) 解： X -2 -1 2 4 2 4 p 求下列随机变量的分布：(1)X+2; (2)-X+1; (3) 解： X -2 -1 2 4 X+2 1 6 -X+1 3 -3 X2 16 P

2.设随机变量X~U[0，1]，求(1)求Y= 的密度函 数;(2)求Y=-2lnX的密度函数; 解：由题设知

3.设随机变量X～N(0,1) 两边对y求导，

中次数的概率分布为_______分布函数__________. 习题二 一、填空题 1.设某运动员投篮命中率为0.8,则在一次投篮时投 中次数的概率分布为_______分布函数__________. X 1 P 0.2 0.8 一次投篮时投中次数X的概率分布

同时取3只球,以X表示取出的3只球的最大号码， 则随机变量X的分布律为______________. 2. 一袋中装有5只球,编号为1，2，3，4，5从袋中 同时取3只球,以X表示取出的3只球的最大号码， 则随机变量X的分布律为______________. X 3 4 5 P

3. 设随机变量X的密度函数为 则常数A____ .分布函数F(x)____________. ∴分布函数

4. 设随机变量X的分布函数为

1.设随机变量X的分布律为 Y 选(C) X -1 1 P 1 2 P -1 X -1 1 X2+1 2 P 则Y= X 2 +1分布律： 二、选择题 X -1 1 P 1.设随机变量X的分布律为 则Y= X 2 +1分布律： Y 1 2 P -1 X -1 1 X2+1 2 P 选(C)

选(B)

3.下述函数中,可以作为某个随机变量的分布函数的是： 应选 (B) 都不是某个随机变量的分布函数

事实上 2. F(x)为右连续 而（B）F(x)为不减函数 F(x)连续

三、解答题 1. 进行某种试验,设成功的概率为 ,失败的概率为 ,以X表示试验首次成功所需试验次数，试写出X的分布律,并计算X取偶数的概率.

2.在汽车经过的路上有4个交叉路口,设在每个交叉路 口红绿信号灯各以0.5的概率允许或禁止汽车通行.求 汽车停止前进时,已通过的交叉路口个数的分布律. 解：X=“表示已通过交叉路口” X=0,1,2,3,4 设 =“第i个路口遇到红灯” i=1,2,3,4 P 4 3 2 1 X P{X=0}=P( )=0.5

4.有5位工人独立工作,每个工人一小时平均用电 12分钟,且各人工作时用电与否相互独立,求： （1）在同一时刻有3位工人需要用电的概率; （2）在同一时刻最可能有几个工人需要用电; （3）如果仅供3人所需的电力,求超负荷的概率. 解：X=“一小时用电人数”

5. 若随机变量X服从泊松分布,且P{X=1}=P{X=2}, 解：由

6. 某无线电元件次品率为0.01,为了有95%的把握保 证一盒元件中至少有100个正品,问每盒应装这种元 件多少个？ 解：设每盒装100+n个 X表示次品的数量,则X ～B（100+n，0.01） 由于100+n很大,P = 0.01很小,可用泊松分布近似 P{X≤n}≥0.95 查泊松分布累积概率表得：n=3 答：每盒装103个元件

7. 某书出版了10000册,因装订等原因造成错误的 册数的概率为0.0001,求在这10000册书中恰有5册 有错误的概率. 解: X =“10000册在有错误的册数” X～B（10000，0.0001）n很大, p很小,可用泊松逼近 X ~ P(1)

P 8. 在一批10个零件中有8个标准零件,从中任取2 个零件,求出这2个零件中标准零件的分布律. 解：X =“标准零件的个数” X = 0，1，2 2 1 X P

9．设X为连续型随机变量，其密度函数为 （1）确定a （2）若 是对X的三次观测值（理论上有 看成与X同分布的随机变量）.求这三次观测中正 好有一次大于1.5的概率. 解：（1）

（2）若 是对X的三次观测值（理论上有 看成与X同分布的随机变量）.求这三次观测中正 好有一次大于1.5的概率.

10.设随机变量X的分布函数为: 求X落在下列各区间内的概率： （1）小于0.2 （2）小于3 （3）不小于3 （4）不小于5 解:（1）P{X<0.2}=F(0.2-0)=0 （2）P{X<3}=F(3-0)=0.5×3-1=0.5 （3）P{X≥3}=1-P{X< 3}=0.5 （4）P{X≥5}=1-P{X< 5} =1-F(5-0)=0

11. 设连续型随机变量X的密度函数为 求常数C

求（1）常数a;（2）X的分布函数F(x);（3）X的 值落在 内的概率. 值落在 内的概率. 解: (1) （2）当x<0时 当x≥0时

13. 定理：设连续型随机变量X的密度函数为 , 则线性函数Y=aX+b（a≠0）的密度函数为 证明：随机变量Y的分布函数

14. 设X在 上服从均匀分布,令 , 求Y的密度函数 解：X的密度函数为 （1）y≥4 X2 ≥0必然事件 （2）0<4-y<1 3<y<4时

3<y<4时 两边对y求导 （3）当y≤3

15. 设随机变量X有连续的分布函数 试求下列随机变量的分布函数和密度函数 解：（1） 当 y = 0 时 当y ≠ 0时