控制系统分析与设计的 状态空间方法2 ——综合与设计 自动控制原理 控制系统分析与设计的 状态空间方法2 ——综合与设计 （第八章）

状态空间法综合的基本概念 综合问题的三大要素: 综合与设计的主要特点: 受控系统、性能指标、反馈控制律 以采用状态反馈为主 具有较系统的综合理论 基于非优化型指标的极点配置方法 基于优化类性能指标的目标函数极值法

主要内容 状态反馈与输出反馈 状态反馈与闭环极点配置 线性二次型最优控制（自学） 状态观测器及状态反馈 鲁棒控制系统（自学）

一、状态反馈与输出反馈 1. 状态反馈 B ∫ C A K - 闭环传函？状态方程？ 加入状态反馈后的系统结构图

综合的手段：改变 K 阵的参数 综合的目的：改变系统矩阵，从而改变系统的特性 注：状态反馈通常只用系数阵即可满足要求， 一般不需要采用动态环节

2. 输出反馈 B ∫ C A H -

3. 状态反馈与输出反馈比较 反馈功能： 状态反馈——完全反馈 输出反馈——不完全反馈 反馈作用： 两种反馈均可改变系统的特征方程和特征值； 3. 状态反馈与输出反馈比较 反馈功能： 状态反馈——完全反馈 输出反馈——不完全反馈 反馈作用： 两种反馈均可改变系统的特征方程和特征值； 输出反馈可视为状态反馈的一种特例。 物理实现： 输出反馈——易 状态反馈——难

二、状态反馈与闭环极点配置 极点配置条件： 对于 通过状态反馈 可任意配置 全部闭环极点的充要条件为： 系统状态完全可控。

例： 设系统的状态方程为 试通过状态反馈，将系统的闭环极点配置为 解： 显然满秩，所以系统可控。

比较反馈前后的状态传递函数 状态反馈只改变极点， 不改变零点

状态反馈系统的仿真结构图 取 D=0, C=I 程序：ac8no1

仿真结果：零状态响应 x3 x2 x1

仿真结果：零输入响应 x3 x2 x1

例： 系统的状态方程同前例 通过状态反馈，将系统的闭环极点配置为

解：

比较反馈前后的状态传递函数 状态反馈同样只改变极点，不改变零点

仿真结果：零状态响应 x3 x2 x1 程序：ac8no2

仿真结果：零输入响应 x3 x2 x1

例：设系统的状态方程为 极点为 1，2 能否通过状态反馈任意配置系统的闭环极点？ 若不能任意配置，试确定哪些极点无法改变。 解： 系统不可控，所以不能任意配置闭环极点。 （有一个极点无法改变） 如何确定哪个极点不能任意配置？

只有一个状态变量可控，所以只能改变一个极点 所以极点 1 无法改变（原系统的极点） 只有一个状态变量可控，所以只能改变一个极点

状态反馈不会改变零点，且只能改变一个极点 比较反馈前后的状态传递函数 有零极点对消 状态反馈不会改变零点，且只能改变一个极点

说明 如果系统不完全可控，状态反馈可任意配置闭环极点的个数等于系统的可控状态变量个数； 就状态可控的单变量系统而言，引入状态反馈并不改变系统传递函数的零点，除非出现零极点相消； 状态反馈不能保证稳态性能，一般存在稳态误差，可引入积分环节或输入变换来改善； 采用输出反馈一般不能任意配置全部闭环极点（指静态反馈结构）。

三、状态观测器及状态反馈 为何需要状态观测器？ 状态反馈需要状态信息，而状态变量一般不能直接测量，可利用状态观测器来估计系统状态 目标:利用受控系统可直接测量的输出 y(t)和 控制u(t)来重构系统的状态

状态观测器的初步构想： 受控系统 B ∫ C A B ∫ A 状态估计值 观测器

如何利用输出误差消除状态估计误差？ B ∫ C A C H - 实际系统基于准确模型，且没有考虑扰动

附1：存在扰动时的状态误差 B ∫ C A H - 存在持续扰动时，不能使状态误差→0

附2：存在模型失配时的状态误差 B' ∫ C' A' B A C H - 存在模型失配时，不能使状态误差→0

状态观测器的等价结构 B ∫ C A A－HC H A－HC 的特征值为状态观测器的极点 状态观测器

状态观测器的闭环极点可任意配置的充要条件为 状态观测器的极点配置 状态观测器的闭环极点可任意配置的充要条件为 系统状态完全可观测

例： 设系统的状态空间表达式为 状态方程同前面极点配置例 求状态观测器，使其特征值为 解： 显然满秩，所以系统状态可观测。

基于状态观测器的状态反馈系统 B ∫ C A A－HC H K - 观测器

基于观测器的状态反馈系统为 闭环系统标准的状态空间描述为

极点配置的分离性原理

状态观测器、状态反馈两部分的极点可以分别独立地进行配置。 注：为使观测器的状态估计值较快地→实际状态，一般取观测器极点的负实部为状态反馈系统极点 负实部的2～3倍

闭环传递函数的不变性 闭环传递函数等同于直接状态反馈的情况， 观测器的引入不影响闭环传递函数。

说明 分离性原理和传递函数的不变性都基于精确模型，当受控系统与模型不完全匹配时，两个理想化的结论都不再成立。

仿真例： 系统的状态空间表达式同前面例 （1）要求状态观测器的特征值为 （2）通过状态反馈将系统的闭环极点配置为 （3）仿真验证观测状态对实际状态的跟踪情况， 并比较有无观测器的响应情况（分有无模型 误差、有无扰动）。

解：前面已求出

直接状态反馈系统的结构图 取 D = 0 C = I 程序：ac8no3

基于观测器的状态反馈系统结构图 取 D = 0 C = I 程序：ac8no4

没有模型误差和扰动时 的仿真结果

状态变量的零状态响应 x3 x2 有无状态观测器结果一样 x1

无观测器的状态变量：零输入响应 x3 x1 x2

有观测器的状态变量：零输入响应 x2 x1 x3 平稳性和快速性都 劣于无观测器时

同时考虑输入和初始状态的输出响应 有观测器 有观测器的性能 劣于无观测器时 无观测器

有模型误差和扰动时 的仿真结果

有输出扰动时观测器状态变量的收敛性 实际的受控对象为 扰动

基于观测器的状态反馈系统结构图 （有输出端扰动） 程序：ac8no5

状态变量的收敛性1 状态变量的误差不→0

状态变量的收敛性2 状态变量的误差不→0

结论：存在扰动时，即使模型准确，也不能保证状态变量的误差→0 状态变量的收敛性3 状态变量的误差不→0 结论：存在扰动时，即使模型准确，也不能保证状态变量的误差→0

有模型误差时观测器状态变量的收敛性 1.02 时发散 受控对象模型失配： 受控对象模型 实际的受控对象

状态变量的收敛性1 状态变量的误差不→0

状态变量的收敛性2 状态变量的误差→0

结论：存在模型误差时，即使没有扰动，也不能保证状态变量的误差→0 状态变量的收敛性3 放大后看，状态 变量的误差不→0 结论：存在模型误差时，即使没有扰动，也不能保证状态变量的误差→0

有模型失配时比较有无观测器 的状态响应（鲁棒性） 受控对象模型失配： 受控对象模型 实际的受控对象

直接状态反馈系统的鲁棒性（初始值为零） x3’ x3 xi 对应模型准确时 xi’ 对应模型失配时 x2 x1 x2’ x1’

有观测器时状态反馈系统的鲁棒性（初始值为零） 模型失配时 状态变量全部发散！

直接状态反馈系统的鲁棒性（初始值不为零） x3’ x3 xi 对应模型准确时 xi’ 对应模型失配时 x1 x2 x2’ x1’

有观测器时状态反馈系统的鲁棒性（初始值不为零） 模型失配时 状态变量全部发散！

结论 闭环传递函数的不变性只是说在初始状态为零、没有扰动、且模型准确时，引入观测器前后的输入输出特性不变； 在初始状态不为零、或有扰动、或模型不准确时，有观测器的状态反馈系统的性能通常都不如直接状态反馈系统。

“状态空间法2”习题 B8.1; B8.4; B8.18 End