第 1 章 直線和線性函數

1.1 笛卡兒座標系統 笛卡兒座標系統 Tan/管理數學 第1章 第2頁

笛卡兒座標系統 Tan/管理數學 第1章 第2-3頁

笛卡兒座標系統 Tan/管理數學 第1章 第3-4頁

距離的公式 距離的公式 平面上的兩點P1 (x1, y1) 與P2 (x2, y2) 之間的距離d為 (1) Tan/管理數學 第1章 第4頁

例題 1 試求(4, 3) 與(2, 6)兩點之間的距離。 解： 令平面上的兩點分別為P1(4, 3)與P2(2, 6) ，則 利用公式(1)可得 Tan/管理數學 第1章 第5頁

例題 2 令P(x, y)是圓上的一點，此圓半徑為r，中心點為C(h, k)，請找出 x 與 y的關係式。 解： 根據圓的定義，C(h, k)與圓上的點P(x, y)的距離為 r，利用公式(1)可得 兩邊平方即得 Tan/管理數學 第1章 第5頁

距離的公式 圓方程式 (x  h)2 + (y  k)2 = r2 (2) 圓心C(h, k)，半徑為r的圓方程式(equation of a circle)為 (x  h)2 + (y  k)2 = r2 (2) Tan/管理數學 第1章 第5頁

例題 3 找出下列的圓方程式： a.半徑為2，圓心在( 1, 3)。 b.半徑為3，圓心在原點。 解： a.將r = 2, h = 1 及k = 3代入公式(2)，即得 [x  ( 1)]2+ (y  3)2 = 22 (x + 1)2 + (y  3)2 = 4 見圖7(a)。 Tan/管理數學 第1章 第6頁

例題 3（續） b. 將r = 3, h = k = 0代入公式(2)，可得 x2 + y2 = 32 x2 + y2 =9 見圖7(b)。 Tan/管理數學 第1章 第6頁

1.2 直線 線的斜率 假設L是通過相異兩點(x1, y1) 及(x2, y2) 的唯一線。若x1 x2，則L斜率(slope) 定義如下： 非垂線的斜率 假設L是條非垂線(nonvertical line)且通過兩相異點(x1, y1)及(x2, y2)，則可計算其斜率m (3) 參見圖9。 Tan/管理數學 第1章 第11頁

線的斜率 Tan/管理數學 第1章 第11頁

線的斜率 若x1 = x2，則L是一條垂線(vertical line)，其斜率無定義(undefined)，見圖10。 Tan/管理數學 第1章 第12頁

線的斜率 Tan/管理數學 第1章 第12頁

線的斜率 圖12 顯示出一群通過原點的直線及其斜率，由圖中可以很明顯看到斜率的正負與線的走向關係。 Tan/管理數學 第1章 第12-13頁

例題 1 畫出通過點( 2, 5)，斜率為 的直線。 解： 畫出通過點( 2, 5)，斜率為 的直線。 解： 首先將點( 2, 5)標到圖上(見圖13)。其次，考慮斜率為 代表x 增加一個單位時，y將減少 個單位。因此，若x增加3個單位時，y將減少 個單位，因此我們走到了另一個點(1, 1)。最後，此兩點連線即為所求。 Tan/管理數學 第1章 第13頁

例題 1（續） Tan/管理數學 第1章 第13頁

例題 2 一直線通過點( 1, 1) 與(5, 3)，找出其斜率m。 解： 令(x1, y1)為點( 1, 1)，(x2, y2)為點(5, 3)。將x1 = 1, y1=1, x2=5, y2=3 代入公式(3)可得 參見圖14。 Tan/管理數學 第1章 第13-14頁

例題 2（續） Tan/管理數學 第1章 第14頁

例題 3 找出通過點( 2, 5) 與(3, 5)的直線斜率。 解： 利用公式(3)可得 參見圖15。 Tan/管理數學 第1章 第14頁

線的斜率 從上例可知水平線(horizontal line)的斜率是0。此外，我們可從兩線的斜率判斷它們是否平行。 平行線 相異的兩條線互相平行(parallel)，若且唯若其斜率相等或均無定義。 Tan/管理數學 第1章 第14頁

例題 4 令L1為通過點( 2, 9) 與(1, 3) 的線， L2為通過點( 4, 10) 與(3, 4) 的線，試問L1與L2是否平行？ 解： L1與L2的斜率分別為 由於m1 = m2，故L1與L2是平行的(見圖16)。 Tan/管理數學 第1章 第15頁

例題 4 Tan/管理數學 第1章 第15頁

線方程式 令L為平行於y軸(垂直於x軸)的直線，則L切過x軸的(a, 0)點，其x座標必然是x = a，a為任意的實數。所以，L的線方程式可寫成 x = a L即是垂線。例如，圖17的兩條垂線，其線方程式分別為x = 2 及x=3。 Tan/管理數學 第1章 第15頁

線方程式 Tan/管理數學 第1章 第16頁

線方程式 假設L是一條非垂線，其斜率為m，(x1, y1) 為線上的一個點。令(x, y) 是L線上另一點，則由公式(3)可得 交叉相乘後，即得下列點斜式(point-slope form)方程式(4)。 點斜式 已知一直線的斜率是m，且通過點(x1, y1)，則其線方程式為 y  y1 = m (x  x1) (4) Tan/管理數學 第1章 第16頁

例題 5 一直線通過點(1, 3)，斜率為2，求其線方程式。 解： 可利用點斜式，將點座標代(1, 3)，斜率代2 y  3 = 2 (x  1) y  y1 =m (x  x1) 化簡成 2x  y + 1= 0 Tan/管理數學 第1章 第16頁

例題 6 一線通過點(3, 2) 與(4, 1)，求其線方程式。 解： 我們首先求出斜率 再利用點斜式，將點座標代(4, 1)，斜率代 參見圖18。 Tan/管理數學 第1章 第17頁

例題 6 Tan/管理數學 第1章 第17頁

線方程式 互相垂直的線 若L1與L2為相異的兩條非垂線，斜率分別為m1與m2，則L1與L2互相垂直(perpendicular) (寫成L1⊥ L2)若且唯若 Tan/管理數學 第1章 第17頁

例題 7 一線通過點(3, 1) 並與例題5 之直線垂直，寫出其線方程式。 解： 例題5 的直線斜率是2，因此與其垂直的線，斜率應 為 。運用點斜式，可以得到 參見圖19。 Tan/管理數學 第1章 第18頁

例題 7（續） Tan/管理數學 第1章 第18頁

線方程式 若一直線L不是水平線也不是垂線，它必然與x軸和y軸相交。假設 L 與 x 軸交於(a, 0)，與 y 軸交於(0, b)，則a, b分別稱為線 L 的 x 截距(x-intercept) 與 y 截距(y-intercept)，參見圖20。 Tan/管理數學 第1章 第18頁

線方程式 令L直線的斜率為m，y截距為b。因L經(0, b)的點，故由點斜式(即公式(4))可得 y  b = m (x  0) y = mx + b 該式稱為斜截式(slope-intercept form)。 斜截式 一直線的斜率是m且與y軸相交於(0, b)，則其線方程式為 y = mx + b (5) Tan/管理數學 第1章 第19頁

例題 8 一直線的斜率是3，y 截距是4，寫出其線方程式。 解： 在公式(5)中代入m = 3 及b = 4 即得線方程式 y = 3x  4 Tan/管理數學 第1章 第19頁

例題 9 給定線方程式3x  4y = 8，找出該線的斜率及y截距。 解： 我們可以先將線方程式改寫成 Tan/管理數學 第1章 第19頁

例題 10 運動器材的銷售額 某地區一家運動器材店銷售經理繪製了過去5年的銷售圖，並發現資料點約形成一條直線(見圖21)。請用第一年與第五年的資料點找出其趨勢線(trend line)，並預測第六年的銷售額。 Tan/管理數學 第1章 第19-20頁

例題 10（續） 解： 由圖21可以知道第一年與第五年的資料點為(1, 20)與(5, 60)，利用公式(3)先求出斜率如下 再用點(1, 20) 與斜率m = 10 代入點斜式即得 y  20 = 10 (x  1) y = 10x + 10 Tan/管理數學 第1章 第20頁

例題 10（續） 解：（續） 將x = 6代入所得的方程式，可預測第六年的銷售額為 y = 10(6) + 10 = 70 即70,000元。 Tan/管理數學 第1章 第20頁

線方程式的一般式 線方程式的一般式 含x, y變數的一般式線性方程式為 Ax + By + C = 0 (6) 其中，A, B, C是常數且A, B至少有一數不為0。 一直線的方程式一定是線性方程式；同時，每一線性方程式恰好代表著一條直線。 Tan/管理數學 第1章 第21頁

例題 12 畫出3x  4y  12 = 0 的線。 解： 由於相異的兩點決定一條直線，因此我們只要找出滿足方程式的兩個點，即可畫出所要的線。為方便起見，令y = 0 解得x = 4，我們有了第一個點(4, 0)；令x = 0解得y = 3，於是我們有了第二個點(0,  3)。連接此兩點即得該線，見圖22。 Tan/管理數學 第1章 第21頁

例題 12（續） Tan/管理數學 第1章 第21頁

線方程式的一般式 直線方程式 垂線：x = a 水平線：y = b 點斜式：y  y1 =m (x  x1) 斜截式：y = mx + b 一般式：Ax + By + C = 0 Tan/管理數學 第1章 第22頁

1.3 線性函數與數學模型 數學模型 Tan/管理數學 第1章 第29頁

函數 函數 線性函數 我們稱函數 f(x) = mx + b為線性函數(linear function)，其中 m 和 b 為任意的常數。 函數(function) f 定義了x 與 y 之間的對應規則，每個 x值對應一且唯一的y值。 線性函數 我們稱函數 f(x) = mx + b為線性函數(linear function)，其中 m 和 b 為任意的常數。 Tan/管理數學 第1章 第30-31頁

例題 1 美國健康照護花費 由於美國高齡人口快速成長，預期未來幾十年其健康照護花費將明顯增加。下表列出美國2008-2013年的健康照護花費(單位：兆元)，2009年以後為預估值： 表中的數據可以下列數學模型描述： S(t) = 0.134t + 2.325 其中t代表年份，起始年(t = 0) 為2008 年。 Tan/管理數學 第1章 第31頁

例題 1 美國健康照護花費（續） a. 繪出函數S的圖形。 例題 1 美國健康照護花費（續） a. 繪出函數S的圖形。 b. 假設這個趨勢繼續維持下去，2014年(即t = 6)時，美國健康照護花費估計為若干？ c. 試問自2008 至2013 年期間，美國健康照護花費的增加速率為何？ 資料來源：Centers for Medicare & Medicaid Services. Tan/管理數學 第1章 第31頁

例題 1 美國健康照護花費（續） 解： a.函數S的圖形如圖24所示。 Tan/管理數學 第1章 第32頁

例題 1 美國健康照護花費（續） 解：（續） b. 估計2014年時，美國健康照護花費為 例題 1 美國健康照護花費（續） 解：（續） b. 估計2014年時，美國健康照護花費為 S(6) = 0.134(6) + 2.325 = 3.129 　大約為3.13 兆元。 c. 因為函數S是線性的，所以美國健康照護花費S的 增加速率即該直線的斜率。由函數中t 的係數可以 得知線的斜率為0.134，因此健康照護花費每年大 約增加0.134 單位，即每年增加0.134 兆元。 Tan/管理數學 第1章 第32頁

例題 2 線性折舊 一台網路伺服器的初始價值是10,000元，經線性折舊5年後的殘值為3,000元。 例題 2 線性折舊 一台網路伺服器的初始價值是10,000元，經線性折舊5年後的殘值為3,000元。 a. 寫出其帳面價值的函數，以t代表折舊的年 份。 b. 2年後該網路伺服器的帳面價值若干？ c. 此網路伺服器的折舊速率為何？ Tan/管理數學 第1章 第32頁

例題 2 線性折舊（續） 解： a. 令V為t年後網路伺服器的帳面價值。在線性 折舊的假設下可知V為線性函數，圖形呈直 例題 2 線性折舊（續） 解： a. 令V為t年後網路伺服器的帳面價值。在線性 折舊的假設下可知V為線性函數，圖形呈直 線。由已知條件可以找出兩點，即t = 0 時 V = 10,000，以及t = 5 時V = 3,000，故此兩 點座標為(0, 10,000)與(5, 3,000)，據此可出 斜率 Tan/管理數學 第1章 第33頁

例題 2 線性折舊（續） 解：（續） 再以點(0, 10,000)與斜率m = 1,400代入點斜式得 例題 2 線性折舊（續） 解：（續） 再以點(0, 10,000)與斜率m = 1,400代入點斜式得 V  10,000 = 1,400 (t  0) V = 1,400t + 10,000 參見圖25。 Tan/管理數學 第1章 第33頁

例題 2 線性折舊（續） 解：（續） Tan/管理數學 第1章 第33頁

例題 2 線性折舊（續） 解：（續） b. 2 年後該網路伺服器的帳面價值為 V = 1,400(2) + 10,000 = 7,200 例題 2 線性折舊（續） 解：（續） b. 2 年後該網路伺服器的帳面價值為 V = 1,400(2) + 10,000 = 7,200 即7,200元。 c. 此網路伺服器的折舊速率等於折舊線的斜率 取絕對值，因m = 1,400，故網路伺服器每 年折舊1,400 元。 Tan/管理數學 第1章 第33頁

P (x) = 生產並銷售x個產品得到的總利潤 線性成本、線性收入及線性利潤函數 成本函數、收入函數及利潤函數 令x代表產品的生產量或銷售量，則成本函數(cost function) 為 C(x) = 生產x個產品的總成本 收入函數(revenue function) 為 R(x) =銷售x個產品的總收入 利潤函數(profit function) 為 P (x) = 生產並銷售x個產品得到的總利潤 Tan/管理數學 第1章 第34頁

例題 3 利潤函數 某家濾水器製造商的固定成本為每月20,000 元，單位生產成本為20元，單位售價為30元，請列出該製造商的成本、收入及利潤函數。 解： 令x代表濾水器的生產量及銷售量，則 C(x) = 20x + 20,000 R(x) = 30x P(x) = R(x)  C(x) = 30x  (20x + 20,000) =10x  20,000 Tan/管理數學 第1章 第34-35頁

線性需求函數 特性：需求個數會隨價格降低而增加 價格(price) 個數 Tan/管理數學 第1章 第35頁

例題 4 需求函數 一鬧鐘在單位價格8 元時需求量是48,000 個，單位價格12元時需求量降到32,000 個。 例題 4 需求函數 一鬧鐘在單位價格8 元時需求量是48,000 個，單位價格12元時需求量降到32,000 個。 a.在線性的假設下，請寫出需求方程式。 b.當需求量為40,000個時，單位價格為多 少？ c.若單位價格為14元，則需求量是多少？ Tan/管理數學 第1章 第35頁

例題 4 需求函數（續） 解： a. 令p為鬧鐘的單位價格，x為p元價格下的需 求量(單位：千個)。由題意知 p = 8時 例題 4 需求函數（續） 解： a. 令p為鬧鐘的單位價格，x為p元價格下的需 求量(單位：千個)。由題意知 p = 8時 x = 48，因此點(48, 8) 在需求曲線上。同樣 地，點(32,12) 亦在需求曲線上。由這兩點 我們可以先求出斜率 Tan/管理數學 第1章 第36頁

例題 4 需求函數（續） 解：（續） 其次，將點(48, 8)與斜率值代入點斜式，可得 需求曲線繪於圖27。 Tan/管理數學 例題 4 需求函數（續） 解：（續） 其次，將點(48, 8)與斜率值代入點斜式，可得 需求曲線繪於圖27。 Tan/管理數學 第1章 第36頁

例題 4 需求函數（續） 解：（續） Tan/管理數學 第1章 第36頁

例題 4 需求函數（續） 解：（續） b. 將x = 40 (代表需求量為40,000 個)代入 需求方程式 故單位價格為10元。 例題 4 需求函數（續） 解：（續） b. 將x = 40 (代表需求量為40,000 個)代入 需求方程式 故單位價格為10元。 Tan/管理數學 第1章 第36頁

例題 4 需求函數（續） 解：（續） c. 以p = 14 代入，解下列需求方程式 得知需求量為24,000 個。 Tan/管理數學 例題 4 需求函數（續） 解：（續） c. 以p = 14 代入，解下列需求方程式 得知需求量為24,000 個。 Tan/管理數學 第1章 第36頁

線性供應函數 特性：供應個數隨價格增加而增加。 Tan/管理數學 第1章 第37頁

例題 5 供應函數 一商品的供應方程式為4p  5x = 120，p的單位是元，x的單位是100。 a. 試繪出供應曲線。 例題 5 供應函數 一商品的供應方程式為4p  5x = 120，p的單位是元，x的單位是100。 a. 試繪出供應曲線。 b. 試問單位價格55 元時，供應量為多少？ 65 Tan/管理數學 第1章 第37頁

例題 5 供應函數（續） 解： a. x = 0時由供應方程式得知p截距為30，而 p = 0 時又求得x截距為24，因此繪一直線 例題 5 供應函數（續） 解： a. x = 0時由供應方程式得知p截距為30，而 p = 0 時又求得x截距為24，因此繪一直線 通過點(0, 30) 與(24, 0)，則該線位於第一 象限的部分即所求的供應曲線。 b. 將p = 55 代入供應方程式，解 4(55)  5x = 120，得x = 20，故市場的供應 量為2,000 個。 Tan/管理數學 第1章 第37頁

例題 5 供應函數（續） 解：（續） Tan/管理數學 第1章 第38頁

1.4 直線的交點 尋找二線的交點 實務上有些問題的解就在兩線的交點(intersection)上。以下我們說明如何以代數的方法解二直線的交點。令L1, L2代表兩條直線，其線方程式分別為 y = m1x + b1 y = m2x + b2 其中m1, b1, m2, b2是常數，兩直線交於P (x0, y0)，如圖30。 Tan/管理數學 第1章 第42頁

尋找二線的交點 Tan/管理數學 第1章 第42頁

例題 1 請找出二直線y = x+1 與y = 2x + 4 的交點。 解： 令 y 值相等，則 x + 1 = 2x + 4 Tan/管理數學 第1章 第42-43頁

例題 1（續） 解：（續） Tan/管理數學 第1章 第43頁

損益兩平分析 假設公司的成本、收入及利潤函數均為線性，其方程式如下： C(x) = cx + F R(x) = sx P(x) = R(x)  C(x) = (s  c)x  F 收入函數 成本函數 Tan/管理數學 第1章 第43-44頁

例題 2 損益兩平水準 培特公司的產品單位生產成本是4 元，每個售價10 元，已知公司每月的固定成本為12,000元，試求其損益兩平點。 例題 2 損益兩平水準 培特公司的產品單位生產成本是4 元，每個售價10 元，已知公司每月的固定成本為12,000元，試求其損益兩平點。 解： 首先依題意列出成本與收入的函數如下 C(x) =4x + 12,000 R(x) =10x 見圖33。 Tan/管理數學 第1章 第44頁

例題 2 損益兩平水準（續） 解：（續） Tan/管理數學 第1章 第44頁

例題 2 損益兩平水準（續） 解：（續） 令R(x) = C(x) ，解 10x = 4x + 12,000 6x = 12,000 x = 2000 再將解得之x值代入R(x)求損益兩平收入 R(2000) = (10)(2000) = 20,000 因此，如公司營運上欲求得損益兩平，則每個月需生產2000 個產品，此時每月的損益兩平收入為20,000 元。 Tan/管理數學 第1章 第45頁

例題 3 損益兩平分析 承例題2 回答下列問題： a. 如果培特公司每個月僅生產並銷售1,500 個 產品，公司的損失會是多少？ 例題 3 損益兩平分析 承例題2 回答下列問題： a. 如果培特公司每個月僅生產並銷售1,500 個 產品，公司的損失會是多少？ b. 如果每個月生產並銷售3,000 個產品，公司 的利潤會是多少？ c. 培特公司應生產多少個產品才能保證至少有 9,000元的獲利？ Tan/管理數學 第1章 第45頁 Tan/管理數學 第1章 第45頁

例題 3 損益兩平分析（續） 解： 我們先列出利潤函數如下 P(x) = R(x)  C(x) =10x  (4x + 12,000) 例題 3 損益兩平分析（續） 解： 我們先列出利潤函數如下 P(x) = R(x)  C(x) =10x  (4x + 12,000) =6x  12,000 a. 因P(1500) = 6(1500)  12,000 =  3,000，意味 公司每月會有3,000 元的損失。 b. 因P(3000) = 6(3000)  12,000 = 6,000，意味 公司每月會有6,000元的利潤。 Tan/管理數學 第1章 第45頁

例題 3 損益兩平分析（續） 解：（續） c. 設定利潤函數值為9,000，求x的解： 9,000 = 6x  12,000 例題 3 損益兩平分析（續） 解：（續） c. 設定利潤函數值為9,000，求x的解： 9,000 = 6x  12,000 6x = 21,000 x = 3,500 所以公司每月至少要生產3,500 個產品，才能達到最低9,000元的獲利目標。 Tan/管理數學 第1章 第45頁

例題 4 決策分析 羅森公司的管理階層必須在兩種製造程序中做選擇。兩種程序其月成本函數分別為C1(x) =20x + 10,000 以及C2(x) =10x + 30,000，其中x為產品的生產量。今知產品單價為40元，且預計月銷售量是800個，則公司的管理階層應選擇何種程序以使利潤最大？ Tan/管理數學 第1章 第46頁

例題 4 決策分析（續） 解： 在第一種程序下，計算營運的損益兩平水準可得 40x = 20x + 10,000 20x = 10,000 例題 4 決策分析（續） 解： 在第一種程序下，計算營運的損益兩平水準可得 40x = 20x + 10,000 20x = 10,000 x = 500 Tan/管理數學 第1章 第46頁

例題 4 決策分析（續） 解：（續） 而第二種程序下的營運損益兩平水準為 40x = 10x + 30,000 30x = 30,000 例題 4 決策分析（續） 解：（續） 而第二種程序下的營運損益兩平水準為 40x = 10x + 30,000 30x = 30,000 x = 1,000 Tan/管理數學 第1章 第46頁

例題 4 決策分析（續） 解：（續） 由於預計的月銷售量只有800個，不到1,000個，若使用第二種程序，羅森公司將無法獲利，因此公司的管理階層應選擇第一種程序，方能獲得利潤。 Tan/管理數學 第1章 第46頁

市場均衡 Tan/管理數學 第1章 第47頁

例題 6 市場均衡 溫馬公司專門生產掛壁式溫度計，其產品的需求方程式為 5x + 3p  30 = 0 供應方程式為 例題 6 市場均衡 溫馬公司專門生產掛壁式溫度計，其產品的需求方程式為 5x + 3p  30 = 0 供應方程式為 52x  30p + 45 = 0 其中，x為需求數量(單位：1,000 個)，p為溫度計之單價。請找出均衡數量與價格。 Tan/管理數學 第1章 第47-48頁

例題 6 市場均衡（續） 解： 本題需解聯立方程式 5x + 3p  30 = 0 52x  30p + 45 = 0 例題 6 市場均衡（續） 解： 本題需解聯立方程式 5x + 3p  30 = 0 52x  30p + 45 = 0 我們可以用代換法(method of substitution) 求解，即任意選取一個方程式，將其中的一個變數表示成另一變數的形式，再代入另一方程式中。 Tan/管理數學 第1章 第48頁

例題 6 市場均衡（續） 解：（續） 假設我們先從需求方程式著手 Tan/管理數學 第1章 第48頁

例題 6 市場均衡（續） 解：（續） 再將p的結果代入供應方程式中 Tan/管理數學 第1章 第48頁

例題 6 市場均衡（續） 解：（續） 然後將所得的x值代回 p 式，求得 p 值如下 例題 6 市場均衡（續） 解：（續） 然後將所得的x值代回 p 式，求得 p 值如下 因此，我們得到均衡數量為2.5 × 1,000 = 2,500個，均衡價格為每個溫度計5.83元。 Tan/管理數學 第1章 第48頁

例題 7 市場均衡 某一廠牌的DVD 播放機在單價260元時，需求量為8,000台；於單價200元時，需求量增加為10,000台。又知單價低於100元時，製造商將不供應商品；但單價高於100元時每提升50元，製造商將增加1,000台的供應量。今假設需求與供應方程式均為線性。 a. 寫出需求方程式。 b. 寫出供應方程式。 c. 找出均衡數量與價格。 Tan/管理數學 第1章 第48-49頁

例題 7 市場均衡（續） 解： 令p為DVD 播放機的單價(單位：100 元)，x為其數量(單位：1,000 台)。 例題 7 市場均衡（續） 解： 令p為DVD 播放機的單價(單位：100 元)，x為其數量(單位：1,000 台)。 a. 由於需求函數已假設為線性，因此可 知需求曲線是通過點(8, 2.6)與(10, 2)的 直線，求得斜率 Tan/管理數學 第1章 第49頁

例題 7 市場均衡（續） 解：（續） 再將點(10, 2) 與斜率m = 0.3代入點斜式可得需求方程式 例題 7 市場均衡（續） 解：（續） 再將點(10, 2) 與斜率m = 0.3代入點斜式可得需求方程式 p  2 =  0.3 (x  10) p = 0.3x + 5 見圖35。 Tan/管理數學 第1章 第49頁

例題 7 市場均衡（續） 解：（續） Tan/管理數學 第1章 第49頁

例題 7 市場均衡（續） 解：（續） b. 供應曲線是通過點(0, 1) 與(1, 1.5)的直線， 求得斜率 例題 7 市場均衡（續） 解：（續） b. 供應曲線是通過點(0, 1) 與(1, 1.5)的直線， 求得斜率 再將點(0, 1)與斜率m = 0.5 代入點斜式可得 供應方程式 p  1 = 0.5 (x  0) p = 0.5x + 1 見圖35。 Tan/管理數學 第1章 第49頁

例題 7 市場均衡（續） 解：（續） c. 解需求與供應的聯立方程式如下： p = 0.3x + 5 p = 0.5x + 1 例題 7 市場均衡（續） 解：（續） c. 解需求與供應的聯立方程式如下： p = 0.3x + 5 p = 0.5x + 1 設兩式的等號右側相等，得 0.8x  4=0 故x = 5。將x值代入需求或供應方程式均可得到 p = 3.5。因此，均衡數量為5,000台，均衡價格為 350元。 Tan/管理數學 第1章 第50頁

例題 7 市場均衡（續） 解：（續） Tan/管理數學 第1章 第49頁

P1 (x1, y1) , P2 (x2, y2) , P3 (x3, y3) ,……, Pn (xn, yn) 1.5 最小平方法 斜截式最小平方法 假設有以下 n 個資料點 P1 (x1, y1) , P2 (x2, y2) , P3 (x3, y3) ,……, Pn (xn, yn) 其最小平方線(或迴歸線)方程式為 y = f(x) = mx + b 其中，m與b由正規方程組(normal equations) (9)與(10)求解而得 Tan/管理數學 第1章 第56頁

1.5 最小平方法 例題 1 找出下列資料點之最小平方線 P1(1, 1), P2(2, 3), P3(3, 4), P4(4, 3), P5(5, 6) 解： 此題共有5個資料點，故n = 5，且 x1 = 1 　x2 = 2　 x3 = 3　 x4 = 4　 x5 = 5 y1 = 1 　y2 = 3　 y3 = 4　 y4 = 3　 y5 = 6 Tan/管理數學 第1章 第56頁

例題 1（續） 解（續）： 在解方程式之前，建議先計算下表求出各欄總和： Tan/管理數學 第1章 第56頁

例題 1（續） 解（續）： 將表格值代入方程式(9)與(10)即得正規方程組 5b + 15m = 17 (11) (13) Tan/管理數學 第1章 第56頁

例題 1（續） 解（續）： 將之代入方程式(12)可得 再將m值代入方程式(13)得到 Tan/管理數學 第1章 第56-57頁

例題 1（續） 解（續）： 因此，所求最小平方線為 y = x + 0.4 本例之散佈圖與最小平方線示於圖38。 Tan/管理數學 第1章 第57頁

例題 1（續） Tan/管理數學 第1章 第57頁

例題 2 美國健康照護花費 本題承自第1.3 節例題1。由於美國高齡人口快速成長，預期未來幾十年其健康照護花費將明顯增加。下表列出美國2008-2013年的健康照護花費(單位：兆元)，其中t代表年份，起始年(t = 0) 為2008年，2009 年以後為預估值。 試利用最小平方法找出美國健康照護花費的函數。資料來源：Centers for Medicare & Medicaid Services. Tan/管理數學 第1章 第57頁

例題 2 美國健康照護花費（續） 解： 首先由下表計算各欄總和： Tan/管理數學 第1章 第58頁

例題 2 美國健康照護花費（續） 解（續）： 將表中數值代入方程式(9)與(10)即得正規方程組 6b + 15m = 15.95 (17) Tan/管理數學 第1章 第58頁

例題 2 美國健康照護花費（續） 解（續）： 再將m值代入方程式(19)得到 b   2.5(0.1335) + 2.6583  2.3246 故所求得健康照護花費函數為 S(t) = 0.134t + 2.325 Tan/管理數學 第1章 第58頁