物體的運動包含質心的運動與繞質心的轉動：
剛體 Rigid Body 非剛體的質點系統 前後為剛體的質點系統
剛體的旋轉 Rotation of Rigid Body 剛體繞一固定軸轉動 旋轉軸可以在垂直方向平移 旋轉軸可隨時間變化
剛體繞固定軸的旋轉 即使剛體由眾多粒子組成： 繞固定軸轉動卻是一個一維問題 由一個廣義座標來描述：Θ
剛體中任一點在旋轉時作圓周運動（不一定等速） r 是距離固定軸的垂直距離
Angular Velocity
Angular Acceleration
運動學 剛體中有眾多如上述粒子 考慮剛體中的兩個點： 點1 點2 整個剛體只有一個角位移 剛體中不同位置的粒子，r 不同，位移不同。但轉角一樣。
一個剛體的旋轉狀態可以用一個時間函數來表示：旋轉角 好像一維運動的座標一般，但 θ 不是位置座標，對剛體中的一個粒子來說位置是 s。s 才是真正的運動座標。 不同處的粒子 r 不同，但 θ 一樣 將不同粒子以下標編號。 了解此一維運動就了解所有粒子的運動了！
一維的角運動可以如一維的運動，定義速度及加速度 角速度 角加速度
轉動與一維運動似乎有一對一對應 ?
此 ”力的對應” 應該與力及施力的位置同時有關！ 平行於 r 的力分量因為剛體形狀不變，沒有效果。
利用”功”來推理 正好與一維運動的功對應： 力矩 Torque 扭力 τ
I 考慮一個由多個粒子組成的剛體 對於第 i 個粒子，所受力矩為： 對整個剛體來說，總力矩為： 內力的力矩正好抵消 與運動狀態無關 完全由運動狀態決定 對應的牛頓第二定律 I 12.6 轉動慣量
轉動與一維運動似乎有一對一對應 一維的角運動由對應的牛頓第二定律控制
轉動慣量 I
力矩 Torque
角動量 Angular Momentum 角動量守恆
動能 12.3
繞固定軸的旋轉與一維平移運動有一對一的對應 旋轉角稱為廣義座標
廣義座標： 想像中的一個獨立彈簧
每一個粒子的平移有一個牛頓第二定律。 每一個剛體的旋轉也有一個牛頓第二定律。
繞固定軸轉動是一個一維運動，由一個廣義座標 θ 來描述。
剛體繞一固定軸轉動 旋轉軸可以在垂直方向平移 旋轉軸可隨時間變化
滾動是平移與轉動的組合 在質心座標系，輪子作一繞固定軸的純轉動
滾動是平移與轉動的組合 旋轉 平移
滾動是平移與轉動的組合
滾動是平移與轉動的組合 在質心座標系中為繞固定軸旋轉 質心第二運動定律 可是質心座標系不是慣性座標系！
質心座標系不是慣性座標系！ 牛頓第二定律必須加入一個沒有來源的虛力。 對任一物體，虛力的加速度是一樣的 假設虛力是水平的，計算虛力所做的力矩： 在質心座標系中為繞固定軸旋轉 因為質心在原點 在質心座標系，虛力的力矩正好抵消
滾動由兩個牛頓動定律來描述 在質心座標系中為繞固定軸旋轉 質心第二運動定律 虛力的總力矩為零。
帶著滑動的滾動 球緣與地面的接觸點相對於地面是滑動的！地面對球施予動摩擦力。 減速 質心平移 旋轉 加速旋轉 平移與旋轉基本上分離。
正常的汽車行駛狀態 平滑滾動，Smooth Rolling 無滑動的滾動 Rolling without slipping 平滑滾動，球緣與地面的接觸點相對於地面是靜止的！地面對球施予靜摩擦力。
質心平移與旋轉相關 滾動是移動與轉動兩者協調進行！ 質心的移動距離正是輪緣上一點轉過的弧長！
質心的移動距離正是輪緣上一點轉過的弧長！ 因為無滑動，輪面與地面之間是靜摩擦 這個條件決定了靜摩擦力的大小。
例一：斜面上的平滑滾動 質心平移 以向上為正 摩擦力的方向：先假設無摩擦，判斷接觸點相對斜面移動方向，此方向的反方向即為摩擦力的方向。 旋轉，重力通過質心，故無力矩 平滑滾動條件 摩擦力可求出： 小於單純的粒子，旋轉會消耗
另一種作法：能量 剛體的動能：移動 + 旋轉 P366,367
純滾動條件
若斜角太大，靜摩擦大於最大靜摩擦，球就開始滑動 例二：斜面上的非平滑滾動 質心平移 旋轉 動摩擦力已知。
例三：以外力驅動的平面滾動
例四：以內力矩驅動的平面滾動
帶著滑動的滾動 無滑動的滾動 Rolling without slipping 球緣與地面的接觸點相對於地面是滑動的！地面對球施予動摩擦力。 球緣與地面的接觸點相對於地面是靜止的！地面對球施予靜摩擦力。 質心平移 旋轉 平移與旋轉基本上分離。 滾動是移動與轉動兩者協調進行！
減速 質心平移 加速旋轉 旋轉 與地面接觸點速度 過了一段時間後，此速度為零，從此滾動成為平滑滾動！
無滑動的滾動 接觸點是靜止的。
滾動是平移與轉動的組合 對邊緣上的一點：
擺線Cycloid
Kimbell Art Museum
回家鐵環
二維的剛體運動 施力若未經質心，剛體即會轉動
在質心座標系中為繞固定軸旋轉 質心第二運動定律 二維的剛體運動由一個平移及一個轉動所構成，分別由一個牛頓動定律來描述
剛體的旋轉 Rotation of Rigid Body 剛體繞一固定軸轉動 旋轉軸可以在垂直方向平移 旋轉軸可隨時間變化