第5章 集合與機率

第一節 集 合 隨機的意義 隨機實驗(random experiment)具有三種特性： (1)實驗可在相同條件下重複執行。 第一節　集　合 隨機的意義 隨機實驗(random experiment)具有三種特性： (1)實驗可在相同條件下重複執行。 (2)所有實驗可能出現的結果，在事前是可以被預知的。 (3)實驗未執行，不能確知會出現何種結果。 一隨機實驗的所有可能結果的集合，稱為樣本空間(sample space)， 而單一可能的結果，即樣本空間內的個別元素，則稱為樣本點 (sample point)。

第一節 集 合 1.列舉法 指把樣本空間所有的樣本點都列舉出來 。 例如投一枚硬幣的樣本空間寫作： S={正面，反面} 2.概述法 第一節　集　合 1.列舉法 指把樣本空間所有的樣本點都列舉出來 。 例如投一枚硬幣的樣本空間寫作： S={正面，反面} 2.概述法 以概括的方式描述樣本點所具有的性質，它特別適用於樣 本空間所包含的樣本點太多或為連續數值類 。 電燈泡的使用時間壽命：因為時間屬連續數值，有無限多 個數值，無法列舉，故其樣本空間的表示法，必須採用概 述法，即： S={t│t≧0}，其中t表示時間的長短

第一節　集　合 樣本空間依據樣本點的個數，可區分為有限樣本空間(finite sample space)與無限樣本空間(infinite sample space)。 樣本空間內的樣本點，依某一特性集合在一起，稱為事件 (event)。顯然，事件是樣本空間的子集合。如只含1個樣本點 的事件，稱為簡單事件(simple event)；而包含2個以上樣本點的 事件，稱為複合事件(compound event)。

第一節 集 合 任何樣本空間都包含兩種特殊的事件： 第一節　集　合 任何樣本空間都包含兩種特殊的事件： (1)不含任何樣本點的子集合，稱作空集合(null set)，以Φ表 示。空集合代表沒有事件發生，又稱為不可能事件 (impossible event)。 (2)樣本空間本身也是一種事件，因它包含樣本空間內的所 有樣本點，又稱全集合，表示此事件必然會發生，故又稱 必然事件(sure event)。 以投擲一顆骰子為例，其「不可能事件」寫作： Φ={　} 而「必然事件」寫作： S={1, 2, 3, 4, 5, 6}

第一節　集　合 集合的運算 交集的意義 交集(intersection)是指A與B兩事件共同元素組成的集合，記 作A∩B。若投擲一公正骰子，令： A={2, 3, 4}、B={1, 2, 3} A∩B={2, 3}，∩是交集的符號 該交集的樣本點數目寫作：n(A∩B)=2。

第一節　集　合 互斥事件 當兩事件的交集為空集合（沒有任何元素的集合）時，即 稱為互斥事件(mutually exclusive events)。譬如若B={1, 2, 3}, C={4, 5, 6}，則： B∩C={　}= Φ 　（空集合） 該交集的樣本點數目寫作：n(B∩C)= n(Φ) =0。

第一節 集 合 聯集的意義 聯集(union)表示屬於A事件或B事件的元素組成的集合，記 作A∪B。 ∪是聯集的符號 第一節　集　合 聯集的意義 聯集(union)表示屬於A事件或B事件的元素組成的集合，記 作A∪B。 ∪是聯集的符號 若B={1, 2, 3}, A={2, 3, 4}，則： A∪B={1, 2, 3, 4}　（如圖深色區塊部分） A、B聯集的樣本點數目為：n(A∪B)=4。

第一節　集　合 餘集的意義 餘集(complement)表示在樣本空間S下，若B屬於S內的某一事件， 則不屬於該事件B的所有元素組成的集合，稱為其餘集，記 作 。 投擲一公正骰子，令B為其一事件，則： S={1, 2, 3, 4, 5, 6} B={1, 2, 3}　 在樣本空間S下，B事件的餘集為： ={4, 5, 6}　　（如圖深色區塊部分）

第二節 機率之測度及運算法則 事件機率的意義和測度 第二節　機率之測度及運算法則 事件機率的意義和測度 上一節提到，在隨機實驗之前，我們是無法預知哪一種結果 必然會發生，但我們卻可計算出各個可能結果發生的機會或 程度。事件機率就是用來表達事件發生的機會和程度。 事件E的機率是以符號P(E)來表示。 P是probability的縮寫，代表機率函數。 P(E)表示透過某種函數的運算而獲得的機率值。機率的值域在 0～1之間，可寫作： 0 ≤ P(E) ≤ 1

第二節 機率之測度及運算法則 古典機率測度法 第二節　機率之測度及運算法則 古典機率測度法 (1)隨機實驗的樣本空間內的所有樣本點，具有相同的出現機會。 譬如投硬幣出現正面和反面的機會均等。 (2)隨機實驗在相同條件下，可重複執行，各樣本點出現的機會 依然不變。 (3)在滿足上述兩條件下，事件E發生的機率，以符號表示為：

第二節　機率之測度及運算法則 前述的事件機率測度法有一先決的必備條件，那就是實驗前 須先確定樣本空間內所有樣本點的發生機會具有均等性。我 們稱它作先驗機率(prior probability)。又因為此方法最早被提出， 因此又被稱為古典機率(classical probability)。

第二節　機率之測度及運算法則 機率的公理

第二節　機率之測度及運算法則 所謂的公理是指不論應用何種方式求出來的機率皆必須共同 遵守的規則，意即機率運算的重要理論原則。依單元5-30至 單元5-33，歸納出機率的公理如下：

第二節 機率之測度及運算法則 相對次數機率測度法 第二節　機率之測度及運算法則 相對次數機率測度法 在討論古典機率測度法時，曾提到有一極重要的必備條件， 即是樣本空間內所有樣本點的出現，必須具有均等性。 樣本空間內各個樣本點的發生機會不相等時(參單元5-36)，就 不適合採用古典機率測度法來計算機率。相對次數機率測度 法正可用來取代古典機率測度法。

第二節　機率之測度及運算法則 以公式表達此一定義：

第二節　機率之測度及運算法則 相對次數機率測度法僅是求得機率的近似值，試行N的次數愈 大，機率值精確度愈高。理論上，當試行N是無限大時，就可 保證得到完全精確的機率了。下面公式可說明此一意義。

第二節 機率之測度及運算法則 主觀機率測度法 第二節　機率之測度及運算法則 主觀機率測度法 用主觀判斷來測度一事件發生的機率，會因個人的知識、經 驗和直覺等的不同而異，其對事件機率所下的判斷和評估是 否正確，必須待事件發生之後，才能有所印證和揭曉。茲以 機率符號來表示主觀機率：

第二節 機率之測度及運算法則 應用相對次數機率測度法求事件機率 第二節　機率之測度及運算法則 應用相對次數機率測度法求事件機率 在樣本空間S之下，事件E的機率為：事件E包含的樣本點個數 與樣本空間樣本點總個數之比值：

第二節　機率之測度及運算法則 應用機率運算法求事件機率 任兩事件A和C聯集的機率為： 若A和B兩事件為互斥，則其聯集的機率為：

第三節　雙維聯合機率 聯合次數分配的形成 對一樣本空間，依分類標準X分割成r個相互排斥的部分空間， 而為其任一空間（即屬一事件）；然後，再依分類標準Y，把 它分割成c個相互排斥的部分空間，為其任一空間（亦屬一事 件）。如是，樣本空間就被兩分類標準X和Y，聯合分割成r×c 個小部分空間，如表5-5所示。

第三節 雙維聯合機率 將表5-4各空間內之交集，轉換成樣本點數，即成為聯合次數 分配表，或稱列聯表(contingency table)。 第三節　雙維聯合機率 將表5-4各空間內之交集，轉換成樣本點數，即成為聯合次數 分配表，或稱列聯表(contingency table)。 表5-5 x和y構成的聯合次數分配表

第三節 雙維聯合機率 雙維聯合機率 所謂雙維聯合機率是指2個類別的事件同時發生的機率。 第三節　雙維聯合機率 雙維聯合機率 所謂雙維聯合機率是指2個類別的事件同時發生的機率。 對表5-6的和兩事件形成的交集（聯合事件），求其機率，即為雙維聯 合機率。記作： P(xi∩yj), i=1, 2,…, r j=1, 2,…, c 如果分類表的分類標準增加至3個或以上，則稱為多維聯合機率。

第三節　雙維聯合機率 邊際機率 在2個類別（分類標準）的事件中，若僅考慮其中1個類別所 發生的機率，稱為邊際機率(marginal probability)。換句話說， 對表5-7中，僅考慮或單一事件發生的機率，記作： P(xi), i=1, 2,…, r P(yj), j=1, 2,…, c

第四節　條件機率 條件機率的意義和運算 條件機率(conditional probability)的定義如下：

第四節　條件機率 條件機率P(x1│y1)讀作「在事件已出現的條件下，再出現事件 的機率」。條件機率的公式：

第四節　條件機率 條件機率的算法 1.加法法則 計算兩事件聯集的機率，公式為： 2.乘法法則 計算兩事件交集的機率，公式為：

第四節　條件機率 獨立事件的意義 A、B為任兩事件，獨立事件的定義：