第二章 几何光学成像 §1. 成像 §2．共轴球面组傍轴成像 §3. 薄透镜

几何光学定律成立的条件 1．  光学系统的尺度远大于光波的波长。 2．  介质是均匀和各向同性的。 3．  光强不是很大。

§1. 成像 1.1物与像的虚实性 1. 同心光束 从同一点发出的或汇聚到同一点的光线束，称为同心光束。

2．光具组：若干反射面或折射面组成的光学系统。 光轴：光具组的对称轴

发出同心光束的物点，为实物点；物方同心光束延长后汇聚所成的点，为虚物点。 3．  实物与虚物，实像与虚像 发出同心光束的物点，为实物点；物方同心光束延长后汇聚所成的点，为虚物点。 发散的入射光束的顶点，称为实物 会聚的入射光束的顶点，称为虚物

出射同心光束是会聚的，同心光束汇聚在像方形成的点，为实像点； 出射同心光束是发散的，反向延长后汇聚的点，为虚像点。 实象：有实际光线会聚的象点。 虚象：无实际光线会聚的象点。 （光束反向延长线的交点）。

实物成实像 实物成虚像 虚物成虚像 虚物成实像

1.2 物方和像方 物像共轭 物点组成的空间为物方空间(物方) 像点组成的空间为像方空间(像方 ) -s` P n P` -s P n n` 1.2 物方和像方 物像共轭 物点组成的空间为物方空间(物方) 像点组成的空间为像方空间(像方 ) 规定：入射线在其中进行的空间——物空间； 折射线在其中进行的空间——像空间。 物空间 像空间 -s` P n P` O -s 物空间 像空间 P n n` P` O -s s` n` 物空间 像空间 P O P` -s` -s 物空间 像空间 P’ P s’ -s

1、定义： 会聚的入射光束的顶点，称为虚物。如上图中P4 发散的入射光束的顶点，称为实物。如上图中P1或P2。 P3？ 2、说明： ① 实物、虚物的判断依据 入射光束： 发散——实物；会聚——虚物 ② 虚物处永远没有光线通过。 （实物不一定， 如P1、P2有， P3 无） ③ 虚物处像空间，但对应的却是物空间的会聚光束，故 折射率就取 物方折射率。（与虚像类似。如上图中P4：物方折射率为n4 ）

物像共轭：P’为P的像点，反之，当物点为P’时，像点必在P点；这种物像可易性称为物像共轭。它是光路可逆原理的必然结果。

  1.3 物像之间的等光程性 物点与像点之间的光程总是平稳的，即不管光线经何路径，凡是由物点通过同样的光学系统到达像点的光线，都是等光程的。

§2．共轴球面组傍轴成像

理想光具组 精确成像的必要条件是物上一点与像上一点对应。 使同心光束保持其同心性不变的光具组为理想光具组 理想光具组是成像的必要条件

共轴球面系统 对由多个球面组成的共轴光具组，在近轴条件下，可采用逐个球面成像法，应用单个球面的成像公式依次求解，得到最后像。

2.1 单球面折射 从Q点发出的光线QM折射后变为MQ’

在△QMC1和△Q’MC1中分别应用余弦公式

Φ不同，s’不同，即从Q点发出的同心光束不能保持同心性

欲使折射光线保持同心性，必须满足近轴（傍轴）条件 折射球面的光焦度

平行光入射 像方焦距，像点Q‘所在位置为像方焦点 折射光为平行光 物方焦距，物点Q所在位置为物方焦点 ∵

物、像方焦点一定位于球面两侧。 高斯公式： 高斯公式 对任何理想成像过程均适用

2.2 折射球面的光学参数 像方焦平面 物方焦平面 物方焦点 像方焦点 像方焦距 物方焦距

对于反射球面，像点在顶点右侧，像距s’<0；像点在顶点左侧，像距s’>0。 符号约定 （1）物点在顶点左侧，物距s>0；物点在球面右侧，物距s<0。 （2）对于折射球面，像点在顶点右侧，像距s’>0；像点在顶点左侧，像距s’<0。 对于反射球面，像点在顶点右侧，像距s’<0；像点在顶点左侧，像距s’>0。

（3）线段在主光轴之上，y>0；线段在主光轴之下，y<0。 （4）球面曲率中心在顶点右侧，其曲率半径r>0；球面曲率中心在顶点左侧，r<0。

（5）物方焦点在顶点左侧，物方焦距f>0；像方焦点在顶点右侧，像方焦距f’>0。

（6）角度自主光轴或球面法线算起，逆时针方向为正，顺时针方向为负。 图中所标均为绝对值，对于是负值的参数，应在其前面加上负号。

虚像在物空间,但实际存在的是像空间的发散光束,故像方折射率仍为n’. S’>0:实像 n’ -s’ P n P’ O s 虚像在物空间,但实际存在的是像空间的发散光束,故像方折射率仍为n’. P n n’ P’ O s s’ S’<0:虚像 P O P’ s’ s P’ P -s’ s S’>0:实像 S’<0:虚像

由折射球面物像公式 推导反射球面物像公式

2.3 傍轴物点成像 像的横向放大率 相当于光轴绕球心旋转 满足近轴条件时，圆弧变为直线。

像的横向放大率

焦点与焦平面 经过焦平面的光线

2.4 逐次成像 依球面的顺序，应用成像公式逐个对球面求像，最后得到整个共轴光具组的像。 1、定义： 2、方法特点及注意事项 ① 必须在近轴光线条件下使用，才能得到最后像。 ② 前一球面的像是后一球面的物；前一球面的像空间是次一球面的物空间；前一球面的折射线是后一球面的入射线。（如上图所示） ③ 必须针对每一个球面使用符号法则。对哪个球面成像就只能以它的顶点为取值原点，不能混淆。 ④ 计算次一个球面物距时要考虑两个球面间的距离。（如上图所示）

2.5 Lagrange-Helmhotz恒等式 对光线的角放大率为 Lagrange-Helmhotz恒等式

例题： 一个点状物放在反射凹面镜前0.05m处，凹面镜的 曲率半径为0.20m，试确定像的位置和性质. s O [解]：设光线从左至右 -r C O P` -s` -r s P [解]：设光线从左至右 最后像是处于镜后0.1米处的虚像。

s1 一个折射率为1.6的玻璃哑铃，长20cm，两端的曲率半径为 2cm。若在离哑铃左端5cm处的轴上有一物点,试求像的位置和性质。 n O2 S1’ n n’ s1 O1 s2 -s2’ P1’ P2’ P [解]：两次折射成像问题。 1、P为物,对球面O1折射成像P1’ 2、P1’为物,对球面O2折射成像

§3 薄透镜 3.1薄透镜 由两个折射球面组成，过两球面圆心的直线为光轴，顶点间距d。 薄透镜，通常 可以认为，两球面顶点重合，称为光心。

3.2 薄透镜成像公式 用逐次成像法推导

第一次成像 第二次成像 物在像方，虚物

透镜的焦距 物方焦距 像方焦距 磨镜者公式

空气中，中间厚边缘薄的透镜是正透镜；中间薄边缘厚的透镜是负透镜。 正透镜与负透镜 空气中，中间厚边缘薄的透镜是正透镜；中间薄边缘厚的透镜是负透镜。 焦距为正值的透镜是正透镜；焦距为负值的透镜是负透镜。 正透镜使入射的平行光汇聚在像方焦点；负透镜使入射的平行光发散。

Gauss物像公式

Newton物像公式 Newton物像公式

像的横向放大率 总放大率为两次成像的放大率的乘积

说明： 对处于同种介质中的薄透镜 ， 像的性质判断：

Lagrange-Helmhotz恒等式

3.3 薄透镜作图求像法 作图求象法是利用透镜光心、焦点、焦平面的性质，通过作图来确定象的位置或光的传播方向。在近轴条件下适用。 1、主轴外的近轴物点 方法：利用如图所示的三条特殊光线中的两条，其折射后的交点即为所求像点。 ① ● ● ① ② ③ ② ③

O F` P` O P` F` O P F O P F 2、主轴上的物点 物方焦平面：在近轴条件，过物方焦点F且与主轴垂直的平面。 焦平面的性质： O F` P` 像方焦平面 O P` F` O P F O P F 物方焦平面

利用物方焦平面 利用像方焦平面 第一条 第二条 付轴： B A A B P’ F O P P‘ O F P A A B P’ P‘ O P

薄透镜作图法 三对共轭的特殊光线 平行于光轴的入射光线←→经过像方焦点的光线 经过物方方焦点的光线←→平行于光轴的像方光线 经过透镜光心的入射光线←→经过透镜光心的像方光线

正透镜作图法

负透镜作图法 像方焦点 物方焦点 物方焦平面 像方焦平面 平行于光轴的入射光线←→经过像方焦点的光线 经过透镜光心的入射光线←→经过透镜光心的像方光线 经过物方方焦点的光线←→平行于光轴的像方光线

像方焦点 物方焦点 物方焦平面 像方焦平面

像方焦点 物方焦点 物方焦平面 像方焦平面

物方焦点 像方焦点 物方焦平面 像方焦平面

透镜组的逐次成像作图法 将物经第一个透镜的所成的像作为第二个透镜的物，再次进行成像，逐个进行。

应用逐次成像法的过程中，必须区分物和像的虚实性。 只要第一镜的像处于第二镜的物方，对于第二镜来说都是实物；反之都是虚物。也就是说，像的虚实性与作为物的虚实性之间应该是没有关系的。 虚物与实物

如果将上述第一透镜的像作为第二透镜的实物处理，则会得到错误的结果

透镜组的逐次成像计算法 对第一个透镜用成像公式计算，确定像的位置与虚实性 将该像作为第二个透镜的物，再次进行成像，依次逐个进行。 如果像是下一个透镜的实物，则直接应用公式进行计算；如果是虚物，则其物距是负值。

例题 用一个焦距为20cm的凸透镜与一个平面镜组成共轴光具组，平面镜位于透镜右边10cm处，今置高为1cm的物体于透镜左方10cm处（系统处于空气中），（1）求最后成像的大小和性质；（2）作出准确的光路图。 y1 y O2 F1 O1 F1' y3

[解]：此题属三次成像问题。 （1）物y对凸透镜 s1= 10cm f1'=20cm ∴ 由高斯公式有： y1=V1y=2×1=2cm V1=-s1'/s1=2 （2）y1对平面镜 s2= 10+20= 30cm ∴ s2'= -s2=-30cm V2=1 y2=2cm

V3=-s3'/s3=(-40)/40= -1 y3=V3y2=(-1)×2= -2cm （3）y2对凸透镜 s3=30+10=40cm f3'= 20cm V3=-s3'/s3=(-40)/40= -1 y3=V3y2=(-1)×2= -2cm ∴ 最后成像在凸透镜左方40cm处，为放大、倒立的实像。 光路图如下： y y1 y3 y2 F1 O1 F1' O2