Vector and the Geometry of Space 11 幾何與向量空間 Vector and the Geometry of Space 版權所有翻印必究

11.1 平面向量 Vectors in the Plane 版權所有翻印必究

目標 學習表示一個向量的分量式 了解向量運算在空間的意義 知道所有的向量都可以寫成單位向量的線性組合 能用向量解決有關速度或力學的問題

Component Form of a Vector 向量的分量式 Component Form of a Vector

向量的組成 在幾何學和物理學上有很多測量數據，如面積、體積、溫度、質量、時間，可以由合適的單位測量出單一實數的數字;合適的單位叫做純量單位，而在這單位下表示的數值就叫做純量。 至於其它的數據，如力、速度、加速度、與方向和大小有關的，而不能用單一數字來表示。

向量的組成 我們通常用一個有向線段 來表示一個上述的量，如圖11.1. 一條有向線段 的起點 P 和終點 Q,它的長度用 表示。 有相同長度與方向的有向線段皆相等，如圖11.2. Figure 11.1 Figure 11.2

向量的組成 所有相等於 的有向線段所形成的集合，記為 v= 。 在電腦打字上，向量常常用小寫、粗體的英文字表示像 u, v, w。 當用手寫時，向量常常用英文加方向鍵來表示，例如:

例題1 – 用線段表示向量 v表示一條從(0, 0) 到 (3, 2)的有向線段，u表示一條從(1, 2) 到 (4, 4)的有向線段，證明它們相等。 解: 設P(0, 0) 和 Q(3, 2) 為v的起點和終點且 R(1, 2) 和 S(4, 4) 為u的起點和終點 (如圖11.3.) Figure 11.3

例題1 – 解 可以用距離公式來確認 和 有相同的長度。 他們有相同的斜率，所以有相同的方向。 他們有相同的長度與方向，所以它們相等。 cont’d 可以用距離公式來確認 和 有相同的長度。 他們有相同的斜率，所以有相同的方向。 他們有相同的長度與方向，所以它們相等。

向量的組成 起點在原點的有向線段是最簡便的有向線段表示方式， 如圖11.3. Figure 11.3

向量的組成 這種 v 的表示方法稱作標準位置。一條起點是原點的有向線段，它可以用用它的終點座標Q(v1, v2)來唯一表示之，如圖11.4。 Figure 11.4

向量的組成 定義: 平面向量的分量式(component form): 如果一個起點在原點、終點在 (v1, v2) 的向量v ，則它的分量式是: v = ，則坐標 v1和v2稱作向量v的分量。 如果他們起點和終點都在原點的話稱作零向量，用0=<0,0>表示。 因此， 若兩向量u = v = ， 且u1 = v1、u2 = v2，則兩向量相等。

向量的組成 以下技巧可以用來互換有向線段為向量的分量式。 如果 P(p1, p2)和Q(q1, q2)是一條有向線段的起點和終點，則他們的向量組成v可以表示成: = = 而且我們可以算出向量的長度:

向量的組成 2. 如果 v = ， v 可以用標準位置有向線段表示， 從 P(0, 0) 到 Q (v1, v2) 。 v的長度有時也叫做norm of v。 如果 ，v 是單位向量。 然而 ， v稱做0向量。

向量的運算

向量的運算 定義: 向量的加法和純量乘法 令兩向量 、 。 1. 兩向量相加為: 2. 向量u乘上一常數c : 3. 反向向量: 令兩向量 、 。 1. 兩向量相加為: 2. 向量u乘上一常數c : 3. 反向向量: 4. 向量相減:

向量的運算 常數c對向量的影響如圖11.6表示 。 如果c是正值, cv會有和v相同的方向 . 如果c是負值, cv 會有和v相反的方向。 Figure 11.6

向量的運算 兩向量的和可以用幾何(畫圖的)的方式表示出來 (不用改變它們的方向和大小) ，如圖11.7 。向量u + v是一個以u 、 v為鄰邊形成平行四邊形的對角線。 Figure 11.7

向量的運算 圖 11.8 明白地顯示向量相加或相減在幾何和代數運算是相等的。 Figure 11.8

例題 3 – 向量的操作 給 v = 和 w = ， 計算出下列向量。 解: a. b.

例題 3– 解 cont’d c. 使用 2w = 得到

向量的運算 定理11.1 令 u、v、 w是平面上的向量，令c、 d 是純量。

向量的運算 任何形式的向量符合前一張簡報裡的性質，就是向量空間。這八個性質稱做向量空間公理。 所以這個理論告訴我們，所有平面上的向量集合組成一個向量空間。 定理11.2 純量乘法的長度: 令v為一向量、c 為純量，則

向量的運算 定理11.3: v方向的單位向量 若v為非零向量，則 是v方向的單位向量。 在定理11.3，我們稱u為v的單位向量，然而把v乘上 得到單位向量我們稱做v的正規化(normalization of v) 。

向量的運算 一般來說，兩個向量分別的長度和，並不會等於兩個向量相加後的長度和。可以參考圖11.9。 Figure 11.9

向量的運算 假設向量 u 和 v 如同三角形的兩邊, 你可以發現第三邊的長度是 ||u + v||，你會發現 我們稱之向量的三角不等式。

標準單位向量

標準單位向量 單位向量 和 被稱做標準單位向量用以下符號表示: 如圖 11.10 ，這兩個單位向量可以用來唯一表示任何平面上的向量。 單位向量 和 被稱做標準單位向量用以下符號表示: 如圖 11.10 ，這兩個單位向量可以用來唯一表示任何平面上的向量。 Figure 11.10

標準單位向量 向量 v = v1i + v2j 稱做 i 和 j 線性組合。常數 v1 、v2 分別被稱做v的水平分量和v的垂直分量。

例題 5 – 寫出單位向量的線性組合 設向量 u 起點坐標 (2, –5) 和終點坐標 (–1, 3) ， 且向量 v = 2i – j。用i 和j的線性組合表示出以下向量。 a. u b. w = 2u – 3v 解: a. u = b. w =

向量的應用

向量的應用 向量在物理和工程上有許多應用，最簡單的例子就是力。 因為它有大小和方向 ，力可以用向量表示。 如果有兩個以上的力作用在一物體，則作用在此物體的合力是這些向量力的和。

例題 7 – 求合力 兩台橡皮艇正在推動一遊艇如圖11.12. 每一台橡皮艇出400磅的力，則合力的大小和方向為何? Figure 11.12

例題七 7 – 解 如圖11.12, 你可以把橡皮艇一號和橡皮艇二號的力如下表示 F1 = = F2 =

例題七 7 – 解 cont’d 所以施在遊艇上的合力為: F = F1 + F2 = 所以施在遊艇上的合力大約為在正的x軸方向752 磅。