第三章 线性网络的一般分析方法 第一节 支路电流法 第二节 网孔电流法 第三节 节点电压法

第一节 支路电流法 前一章介绍了电阻的串联和并联；电阻的星、三角连接的等效变换两种实际电源模型的等效变换。这几种方法都是利用等效变换，逐步化简电路进行分析计算的方法。这些方法适用于具有一定结构形式而且比较简单的电路。如要对较复杂的电路进行全面的一般性的探讨，还需寻求一些系统化的方法——即不改变电路结构，先选择电路变量（电流或电压），再根据KCL、KVL建立起电路变量的方程，从而求解变量的方法。支路电流法就是系统化方法中的最基本的一种。 支路电流法是以每个支路的电流为求解的未知量，以基尔霍夫一、二定理即KCL、KVL 为依据，列方程求解电路的一种分析方法。

（1）支路: 电路中流过同一电流的一个分支称为一条支路。 （2）节点: 三条或三条以上支路的联接点称为节点。 为了便于讨论, 先来复习几个名词。 （1）支路: 电路中流过同一电流的一个分支称为一条支路。 （2）节点: 三条或三条以上支路的联接点称为节点。 (3) 回路: 由若干支路组成的闭合路径,其中每个节点只经过一次, 这条闭合路径称为回路。 (4) 网孔: 网孔是回路的一种。将电路画在平面上, 在回路内部不另含有支路的回路称为网孔。

-I1+I2+I3-I2+I4+I6-I3-I6+I5=0 <=> 下面我们以图 3.1所示的电路为例来说明支路电流法的应用。支路电流法以每个支路的电流为求解的未知量。如图 3.1 所示的电路，从图中可看到电路共有六条支路，a、b、c、d四个节点。不论电路如何连接，在电路的每一个节点基尔霍夫电流定律和电路的每一个回路中基尔霍夫电压定律总是成立的。 i1 i2 i3 i4 i5 i6 对于含有六条支路的电路，我们来寻找一种系统的解题方法。首先我们假设每条支路的参考电流方向如图中箭头所示，并分别用i1～i6来表示，然后分别对节点a、b、c、d 列写KCL方程如下： a: -I1+I2+I3 =0 b: -I2+I4+I6=0 c: -I3-I6+I5=0 d: -I5-I4+I1=0 -I1+I2+I3-I2+I4+I6-I3-I6+I5=0 <=> -I5-I4+I1=0 -I2+I4+I6-I3-I6+I5 -I5-I4+I1=0 <=> -I1+I2+I3 =0 图3.1支路电流法举例 观察以上四个表达式，可看出其中的任一个方程都可由其它三个方程得出。说明这四个方程中只有三个方程是独立的。对于更多节点的电路，情况也一样。一般来讲，具有n个节点的电路，只能列出（n-1）个独立的KCL方程。

以上三个回路方程中，没有哪个方程能从另外两个方程中推出，所以都是独立的回路方程。 如果再用其它回路列方程，我们可以验证他们都不是独立方程。 i1 i2 i3 i4 i6 下面我们再来研究电路中的回路，对图3.1的电路，它的回路是很多的，因为只要若干支路组成的闭合路径,其中每个节点只经过一次, 这条闭合路径称为回路。那是不是我们必须把所有的回路中电压方程都列出来，才能求出电路中所要求的参量呢？下面我们就来研究这个问题。对应于图中标出的三个回路，应用KVL，可以列出回路电压方程如下： - + + - L1 L2 + - L3 i5 如果从外面绕一大圈， 有 i1 + 3i3 + 5i5 = 10 而 （1）+（2）-（3）有 I1 + 3i3 + 5i5 = 10 如： 3i3 + 5i5 - 4i4 - 2i2 = 0 而 （2）-（3）等于此式 回路L1： i1 +2i2 +4i4 =10 （1） 回路L2：-2i2+3i3 - 6i6 =8 （2） 回路L3：-4i4 + 5i5 +6i6 =-8 （3） 以上三个回路方程中，没有哪个方程能从另外两个方程中推出，所以都是独立的回路方程。 如果再用其它回路列方程，我们可以验证他们都不是独立方程。

对于独立回路应如何选择，原则上也是任意的。一般，在每选一个回路时，只要使这回路中至少具有一条新支路在其它已选定的回路中未曾出现过，那末这个回路就一定是独立的。通常，平面电路中的一个网孔就是一个独立回路，网孔数就是独立回路数，所以可选取所有的网孔列出一组独立的KVL方程。

可以证明，具有n个节点、b条支路的电路具有b-(n-1)个独立的回路电压方程，与这些方程相对应的回路称为独立回路。 所以我们可以得出：具有n个节点、b条支路的电路,独立的KCL方程：（n-1）个，独立的KVL方程：b-(n-1)个。 综上所述，对于具有n个节点、b条支路的电路，根据KCL能列出（n-1）个独立方程，根据KVL能列出b-(n-1)个独立方程，两种独立方程的数目之和正好与所选待求变量的数目相同，联立求解即可得到b条支路的电流。 对我们研究的例题，有6条支路，4个节点，所以可列出4-1=3个独立的节点电流方程；列出6-（4-1）=3个独立的回路电压方程，而这两组方程的数目正好等于电路的支路数。 那么，我们可以考虑，如果对于一个电路，假设如图3.1所示，电路中所有的元件的取值都是已知的，只有电路中各条支路的电流是未知的被求量，那么以支路电流为未知数列出的KCL方程和KVL方程数正好等于支路数，而这些方程又都是关于支路电流的方程，所以联立求解就可求出各支路电流。

通过上面分析, 我们可总结出支路电流法分析计算电路的一般步骤如下:  （1） 在电路图中选定各支路（b个）电流的参考方向, 设出各支路电流。  （2） 对独立节点列出(n-1)个KCL方程。  （3） 取网孔列写KVL方程, 设定各网孔绕行方向, 列出b-(n-1)个KVL方程。  （4） 联立求解上述b个独立方程, 便得出待求的各支路电流。

例 1、求图示电路中各支路电流和各元件的功率。   解 以支路电流I1、I2、I3为变量, 应用KCL、KVL列出等式 对于两节点a、b ,可列出一个独立的节点电流方程。 a: -I1 + I3 + I2 = 0 a I1 I2 Us1 I3 Us2 (2) 列写网孔独立回路电压方程： Us3 b 10I1 + 5 I3= 30+10 15I2 -5 I3=35-30 (3)联立求解各支路电流得： I1 = 3A I3 = 2A I2 = 1A 

I1 = 3A、I2 = 1A 、I3 = 2A Us1输出的功率为  Us1I1=10×3=30W Us2输出的功率为 I1、I2、I3 均为正值, 表明它的实际方向与所选参考方向相同, 三个电压源全部是从正极输出电流，所以全部输出功率。 Us1输出的功率为  Us1I1=10×3=30W Us2输出的功率为  Us2I2=35×1=35W Us3 输出的功率为 Us3I2=30×2=60W 各电阻吸收的功率为 I×I×R P =10×3×3+5×2×2+15×1×1=125w 功率平衡, 表明计算正确。  a I1 Us1 I2 I3 Us2 Us3 b

设想在每个网孔中, 都有一个电流沿网孔边界环流, 其参考方向如图所示, 这样一个在网孔内环行的假想电流, 叫做网孔电流。如下图所示。 从前面分析可知，如果电路有b条支路，用支路电流法至少需要求解b元一次方程组，在支路数较多时，计算量是很大的。如能减少变量的数目，就能减少方程的个数，从这个目的出发，还需探讨能减少方程个数的其它的系统分析方法。我们下面所讲的网孔电流法就是其中之一，它是采用网孔电流为电路的变量来列写方程, 这种方法适合于回路数少，支路数多的电路。 第二节 网孔电流法 设想在每个网孔中, 都有一个电流沿网孔边界环流, 其参考方向如图所示, 这样一个在网孔内环行的假想电流, 叫做网孔电流。如下图所示。

其中Ia、Ib、Ic为假想的网孔电流如图所示 可由网孔电流求得任一条支路电流 。各网孔电流与各支路电流之间的关系为： i1 = Ia i2=Ia - Ib i3=Ib i4=Ia - Ic i5=Ic i6=Ic - Ib 其中Ia、Ib、Ic为假想的网孔电流如图所示 所以，列电路方程的时，我们可以用支路电流来列，也可以用网孔电流来列，这实际上是一个变量代换过程，区别就在于用上面的网孔电流来替代支路电流结果不同，支路电流列出是六个未知数的方程，而网孔电流列出的是三个未知数的方程。那也就是说，借助网孔这个假想的电流来可以简化运算。这就是我们讲解网孔电流法的目的所在。下面用具体的例子来推出网孔电流法的计算方法

从前面的分析我们看到， 电路中可由网孔电流求得任一条支路电流。所以，用支路电流表示的运算都可以用网孔电流来替代，即以网孔电流为桥梁进行简化计算是可行的 i1 = Ia i1 i3 i2 i2=Ia - Ib i3=Ib i6 i4=Ia - Ic i4 i5=Ic i5 i6=Ic - Ib 节点1: - i1 + i2 + i3=0 用网孔电流表示: - Ia +(Ia - Ib) + Ib=0

网孔电流法的电路方程特点： 首先在三个网孔中列写回路电压方程如下： Ia 网孔电流法的电路方程特点： 首先在三个网孔中列写回路电压方程如下： us6+IaR6-us5+ (Ia-Ic)R5+(Ia-Ib)R4=0 (Ib-Ia)R4+ (Ib-Ic)R2 + us2-us1+IbR1=0 (Ia-Ic)R5 + R3Ic + (Ic-Ib)R2 +us5-us2=0 Ic Ib (R 4+R 5+R 6) Ia-R4 Ib-R5Ic=us5-us6 自电阻 互电阻 互电阻 回路电压源电压升代数和 方程数 = 网孔数； -R4 Ia + (R 4+R 1+R 2) Ib-R2Ic=us1-us2 3、解网孔电流； 4、求其它响应。 -R5 Ia -R2 Ib + (R 5+R 3+R 2) Ic=us2-us5

I1 I2 I3 步骤： 20 I1 I2 I3 = -10 -8 -40 I3=-0.956A -10 I1 I2 I3 = +24 -4 1、选择网孔电流及参考方向，一般取顺时针方向； 2、列写网孔电流方程： I1 例1、图示电路利用网孔 电流法求电流 i。 (1) 选择网孔电流,参考方向取顺时针方向； I2 I3 (2) 列写网孔电流方程： 20 I1 I2 I3 = -10 -8 -40 I3=-0.956A -10 I1 I2 I3 = +24 -4 -20 -8 I1 I2 I3 = -4 +20 20 (3) 解网孔电流得： (4) 求响应i i = I3= -0.956A

ia ib I1 I2 例2、求图示电路中 各支路电流。 I3 (1) 选择网孔电流,参考方向取顺时针方向； (2) 列写网孔电流方程： (1) 选择网孔电流,参考方向取顺时针方向； (2) 列写网孔电流方程： (4) 求各支路电流 15ia - 5 ib = 40 I1 =ia = 3A - 5ia +20 ib = 5 I2 = ib = 1A (3) 解网孔电流 I3 = ia - ib = 2A ia = 3A ib = 1A 检验:可选择外网孔,列写KVL方程. 10ia+ 15 ib – 35-10=0

3.6 节 点 电 压 法 节点电压法是以电路的节点电压为未知量来分析电路的一种方法。 3.6 节 点 电 压 法 节点电压法是以电路的节点电压为未知量来分析电路的一种方法。 在电路的n个节点中, 任选一个为参考点, 把其余(n-1)个各节点对参考点的电压叫做该节点的节点电压。 电路中所有支路电压都可以用节点电压来表示。 对节点1、 2分别由KCL列出节点电流方程:

设以节点3为参考点, 则节点1、 2的节点电压分别为U1、 U2。 将支路电流用节点电压表示为 代入两个节点电流方程中, 经移项整理后得 （3 .22）

将式（3.22）写成 (3.23) 这就是当电路具有三个节点时电路的节点方程的一般形式。 式（2.23）中的左边G11=(G1+G2+G3)、G22=(G2+G3+G4) 分别是节点 1、节点 2 相连接的各支路电导之和, 称为各节点的自电导, 自电导总是正的。G12=G21=-(G3+G4)是连接在节点1与节点2之间的各公共支路的电导之和的负值, 称为两相邻节点的互电导, 互电导总是负的。式（2.23）右边Is11=(Is1+Is3)、Is22=(Is2-Is3)分别是流入节点1和节点2的各电流源电流的代数和, 称为节点电源电流, 流入节点的取正号, 流出的取负号。 

… 对具有 n个节点的电路, 其节点方程的规范形式为 当电路中含有电压源支路时, 这时可以采用以下措施:  （1） 尽可能取电压源支路的负极性端作为参考点。 （2） 把电压源中的电流作为变量列入节点方程, 并将其电压与两端节点电压的关系作为补充方程一并求解。

对于只有一个独立节点的电路, 写成一般形式 (3.25) 式(2.25)称为弥尔曼定理。

图 3.22 弥尔曼定理举例

例 2.10 试用节点电压法求图3.23所示电路中的各支路电流。 例 2.10 试用节点电压法求图3.23所示电路中的各支路电流。 图3.23

解 取节点O为参考节点, 节点 1、2的节点电压为U1、U2, 按式（3.24）得 解之得

取各支路电流的参考方向, 如图2.23所示。 根据支路电流与节点电压的关系, 有

例 3.11 应用弥尔曼定理求图3.24所示电路中各支路电流。 解 本电路只有一个独立节点, 设其电压为U1, 由式(3.25)得 图3.23 例3.10图

设各支路电流I1、I2、I3的参考方向如图中所示, 求得各支路电流为

 举例： （ 1 ）选择参考节点，标出其余节点电位变量； （2）列写节点电位方程： 整理方程为 解节点电位： C=-4.21416V 1、图示电路求电流i。 （ 1 ）选择参考节点，标出其余节点电位变量； （2）列写节点电位方程：  整理方程为 解节点电位： C=-4.21416V 所求电流：i=-0.527A

 2、求图示电路中电流。 I3 选择参考节点，标出其余节点电位变量； I1 I2 列写节点电位方程： 所求电流： I1 = 0.3864A 解得节点电位： I2 = 0.615A I3 = 1.4285A 检验:可选择参考节点,列写KCL方程: -I1+2-I2+4-5=0

 I1 I3 I2 练习： 求图示电路中各支路电流。 选择参考节点，列写方程： 若电路只有一个独立节点，其节点电位方程为： I1 =-4.05A ( 弥尔曼定理) I3 = -13.471A I2 = 10.765A

＊理想电压源的处理 方法1： 利用等效变换，使得理想电压源有串联电阻，利用电源等效变换，使之变换为实际电流源模型。 方法2： 不进行电源变换时，可选合适的参考节点使理想电压源成为一个已知节点电位，列写其余节点电位方程。

方法3： 设理想电压源中的电流，将此电流暂当作电流源电流列写方程，并利用理想电压源与相应节点电位关系补充方程。 I

例：求图示电路各支路电流。 I2 I3 I4 I5 I6 A B 1、选节点C为参考节点 D C 2、选节点D为参考节点，则 利用理想电压源与节点电位关系补充方程：

＊ 受控源的处理  基本步骤： 1）先将受控源暂当独立电源列方程； 2） 将控制量用节点电位表示； 3）整理、化简方程，并求解。 注意：若需进行等效变换，切记： 控制支路保留。  整理、化简方程： 举例1： 解得：

举例2： 用节点法求电压U。 选参考节点，列方程： （检查方程正确与否）  整理、化简方程： 解得：

练习： 图示电路，求u和i。 A C D B I E 选节点E为参考节点 联立方程，可解得：