主成分分析专题 Principal Component Analysis（PCA） 2019/5/3 知识管理与数据分析实验室
原理 将原来众多具有一定相关性（比如 P 个指标），重新组合成一组新的互相无关的综合指标来代替原来的指标。 做法：选取方差最大的，作为第一个指标，因为方差越大包含的信息越多。依次找出替代原指标的主要指标。
1）对原始数据矩阵进行标准化处理 相当于对原始变量进行坐标平移与尺度伸缩： 求解步骤 1）对原始数据矩阵进行标准化处理 相当于对原始变量进行坐标平移与尺度伸缩： 2）求协方差矩阵Z
3) 计算特征值与特征向量： 相当于将原来的坐标轴进行旋转得到新的坐标 轴 ▲ 解特征方程 ，常用雅可比法（Jacobi）求出特征值，并使其按大小顺序排列 ； ▲分别求出对应于特征值 的特征向量 ，要求 =1，即 ，其中 表示向量 的第j个分量。 特征值表示新变量（主成分）方差的大小 得到的特征矢量的方差比前一个特征矢量的更小，也就是依次递减 特征矢量相互正交，即不相关
4) 计算主成分贡献率及累计贡献率 ▲贡献率: ▲累计贡献率: 5) 计算主成分载荷 一般取累计贡献率达85—95%的特征值 所对应的第一、第二、…、第m（m≤p）个主成分。 5) 计算主成分载荷
6) 求主成分得分－新的变量值 Z阵的每一行相当于原数据矩阵的所有行（即原始变量构成的向量）在主成分坐标轴（载荷轴）上的投影，这些新的投影构成的向量就是主成分得分向量。
主成分分析方法应用实例 下面，我们根据下表给出的数据，对某农业生态经济系统做主成分分析 。 某农业生态经济系统各区域单元的有关数据
步骤如下：（1）将上表中的数据作标准差标准化处理，然后计算相关系数矩阵（见下表）。
（2）由相关系数矩阵计算特征值，以及各个主成分的贡献率与累计贡献率。可知，第一，第二，第三主成分的累计贡献率已高达86 （2）由相关系数矩阵计算特征值，以及各个主成分的贡献率与累计贡献率。可知，第一，第二，第三主成分的累计贡献率已高达86.596%（大于85%），故只需要求出第一、第二、第三主成分z1，z2，z3即可。 特征值及主成分贡献率
（3）对于特征值=4.6610，=2.0890，=1.0430分别求出其特征向量e1，e2，e3，再用公式计算各变量x1，x2，…，x9在主成分z1，z2，z3上的载荷。
分析 ①第一主成分z1与x1，x5，x6，x7，x9呈显出较强的正相关，与x3呈显出较强的负相关，而这几个变量则综合反映了生态经济结构状况，因此可以认为第一主成分z1是生态经济结构的代表。 ②第二主成分z2与x2，x4，x5呈显出较强的正相关，与x1呈显出较强的负相关，其中，除了x1为人口总数外，x2，x4，x5都反映了人均占有资源量的情况，因此可以认为第二主成分z2代表了人均资源量。
③第三主成分z3，与x8呈显出的正相关程度最高，其次是x6，而与x7呈负相关，因此可以认为第三主成分在一定程度上代表了农业经济结构。 ④另外，表最后一列（占方差的百分数），在一定程度反映了三个主成分z1、z2、z3包含原变量（x1，x2，…，x9）的信息量多少。 显然，用三个主成分z1、z2、z3代替原来9个变量（x1，x2，…，x9），描述农业生态经济系统，可以使问题更进一步简化、明了。
主成分分析的优缺点 」它能找到表现原始数据阵最重要的变量的组合 」通过表示最大的方差，能有效地直观反映样本之间的关系 」能从最大的几个主成分的得分来近似反映原始的数据阵的信息 〤当主成分的因子负荷的符号有正有负时,综合评价函数意义就不明确 〤命名清晰性低 〤新的变量是原始变量的线形组合，有局限
Spss中操作 数据源 book1
因子载荷矩阵
程序的实现 具体见源代码演示