二重积分之应用 ----湖泊体积问题 主讲人：张永 单位：数学与计算机科学系 http://www.czu.edu.cn/
池州学院 http://www.czu.edu.cn/ 问题提出 湖水是全球水资源的重要组成部分，地球上湖泊 (包括淡水湖、咸水湖和盐湖)总面积约为2058700平方千米 ，总水量约 176400立方千米，其中淡水储量约占52%，约为全球淡水储量的0.26%.中国的鄱阳湖、洞庭湖、太湖、巢湖和洪泽湖的淡水总量约为553亿立方米.及时掌握湖泊中的含水量（体积）对发展水产业、旅游业等具有十分重要的意义.请给出计算湖泊含水量（体积）数学模型. 池州学院 http://www.czu.edu.cn/
池州学院 http://www.czu.edu.cn/ 问题分析 椭球正弦曲面(elliptic sinosoids)是许多湖泊的湖床形状 的很好的近似．假定湖面的边界为椭圆 若湖的最大水深为hm米， 则椭球正弦曲面为 其中， ，那么湖水的体积即可求. 池州学院 http://www.czu.edu.cn/
池州学院 http://www.czu.edu.cn/ 问题求解 解：若 是湖面的椭圆区域，则 被积函数的形状启示我们用变换 池州学院 http://www.czu.edu.cn/
池州学院 http://www.czu.edu.cn/ 问题求解 于是由二重积分的变量替换公式得 池州学院 http://www.czu.edu.cn/
池州学院 http://www.czu.edu.cn/ 数值模拟 在命令窗口输入(a=3,b=4) syms x Syms y f=cos(pi/2*sqrt(x.^2/9+y.^2/16)); xlower=-3*sqrt(1-y.^2/16); xupper=3*sqrt(1-y.^2/16); Q=int(int(f, x, xlower, xupper ), y, -4, 4); Vpa(Q,6) 池州学院 http://www.czu.edu.cn/
池州学院 http://www.czu.edu.cn/ 致谢 谢谢大家 池州学院 http://www.czu.edu.cn/