第2章 电路的暂态分析

第2章 电路的暂态分析 2.1 暂态过程及换路定则 2.2 RC电路的暂态过程 2.3 一阶线性电路暂态分析的三要素法 第2章 电路的暂态分析 2.1 暂态过程及换路定则 2.2 RC电路的暂态过程 2.3 一阶线性电路暂态分析的三要素法 2.4 RL电路的暂态过程

本章学习目标 理解电路中暂态过程产生的原因和换路定则的内容。 掌握一阶线性电路中初始值的求解。 理解用经典法分析一阶电路的步骤。 掌握一阶线性电路暂态分析的三要素法。 能够画出暂态响应的波形图。

2.1 暂态过程及换路定则 2.1.1 电路的暂态过程 t 1. 暂态过程 C 电路处于旧稳态 S R E 电路处于新稳态 R E + _ 电路处于新稳态 R E + _ 开关S闭合 t E 暂态 稳态 过渡过程 旧稳态 新稳态

2. 暂态过程产生的条件和原因 条件 (1) 电路有换路存在（如：电源的接通、断开、电路 参数改变等所有电路状态的改变） (1) 电路有换路存在（如：电源的接通、断开、电路 参数改变等所有电路状态的改变） (2) 电路中存在储能元件（L或C）

t 电容电路 储能元件 E S R + _ C uC E 电容为储能元件，它储存的能量为电场能量 ，其大小为： 因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电容的电路存在过渡过程。

电感电路 储能元件 S R E + _ t=0 iL t 电感为储能元件，它储存的能量为磁场能量，其大小为： 因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电感的电路存在过渡过程。

 u i 原因  ） （ 1 Li W = ） （ 1 Cu Wc = W W dw P = ， P 不能等于 ， dt ※ 储能元件（L、C）的能量不能突变； P = ， P 不能等于 ， dw dt  能量W不能突变。  ） （ 2 1 Cu Wc = 电容C存储的电场能量 C u 不能突变 C W 不能突变 ） （ 2 1 L Li W = 电感 L 储存的磁场能量 L i 不能突变 L W 不能突变

u dt du RC iR E + = du =  dt ※从电压电流关系分析 d iL uL = L dt dt duC C i = S R E + _ C i uC S 闭合后，列回路电压方程： C u dt du RC iR E + = dt duC C i = =  dt du c 则 不满足KVL, 若 发生突变， 所以电容电压不能突变 d iL uL dt L = 同理，因为 不可能！ 所以电感电流不能突变

) ( = u ) ( = i 0+ 0- 2.1.2 换路定则 换路定则: 则： (换路: 电路状态的改变。) 2.1.2 换路定则 (换路: 电路状态的改变。) 在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。 换路定则: 0- --- 换路前瞬间 设：t=0 时换路 0+ --- 换路后瞬间 ) ( - + = C u 则： ) ( - + = L i

2.1.3 初始电压、电流的确定 ) ( = u ) ( = i 初始值 t=0+ 时电路中的各电流、电压值 求解依据 求解步骤 2.1.3 初始电压、电流的确定 初始值 t=0+ 时电路中的各电流、电压值 ) ( - + = C u ) ( - + = L i 求解依据 求解步骤 1）求 t = 0 - 时（电路处于原稳态）的uC（0-）iL（0-）； 2）根据换路定则确定uC和 iL的初始值； uC（0+）= uC（0 -），iL（0+）= iL（0 -）； 3）画出t = 0+（换路后）的等效电路： 将电容作为恒压源处理，其大小和方向取决于 uC（0+）； 将电感作为恒流源处理，其大小和方向取决于 iL（0+）； 然后，利用该电路确定其它电量的初始值。

u i ， i u 例1 i2 i1 已知: S 在“1”处停留已久， 在t=0时合向“2” 求: 的初始值，即 t=(0+)时刻的值。 E 1k 2k + _ R S 1 2 R2 R1 i2 C u L 6V i1 例1 已知: S 在“1”处停留已久， 在t=0时合向“2” L C u i ， 2 1 求: 的初始值，即 t=(0+)时刻的值。 解: 1）根据换路前（ t=(0-) ）的等效电路 = mA 5 . 1 + R E ) ( 1 = - i L E R1 + _ R R2 ) ( 1 V 3 = - R i u C ·

u i2 i i1 - ) ( i u 2） 3V ) ( - = R u E i mA 3 = E 1k 2k + _ R2 R1 3V ( = + i 1 iL - 1.5 mA 2） ) ( = + u C - 3V mA 5 . 1 = ) ( + L i u C 3V 3） 画出t=0 + 时的等效电路 ) ( 2 - = + R u E i C mA 3 = E 1k 2k + _ R2 R1 i2 3V 1.5mA - L u i i1 ) ( 2 1 + = i mA 5 . 4 = ) ( - = + R1 i1 E u L V 3 = + = t - mA 5 . 1 V 3 iL（0+） uC（0+）

换路瞬间，uC，iL不能突变。其它电量均可能突变，变不变由计算结果决定； 2. 换路瞬间， uC（0-）=U00，电容相当于恒压源， 其值等于U0 ， uC（0-）=0，电容相当于短路； 3. 换路瞬间， iL（0-）=I00，电感相 当于恒流源，其值等于I0 ， iL（0-）=0， 电感相当于开路。

) ( , i u 例2 .1 ) ( i u 、 10mA iS iR iC iL S R1 R2 R3 UC UL 提示：先画出 t=0 - 时的等效电路 ) ( + - , L C i u 画出 t =0 +时的等效电路（注意 求t=0+ 各电压值。 ) ( + L C i u 、 的作用）

uC（0+）=uC（0 -） =U i u 2.2 RC电路的暂态过程 2.2.1 RC电路的零输入响应 u dt du RC + = u 根据电路的定律列写电压、电流的微分方程，求解电路中电压、电流随时间的变化规律。 经典法: 2.2.1 RC电路的零输入响应 换路后的电路中无电源激励。即输入信号为0时，由电路的初始状态产生的响应。 S R U + _ C u i t = 0 uC（0+）=uC（0 -） =U 列换路后电路的KVL方程 C u dt du RC + = C u Ri + =

t u = ) ( Ae u = ) (0 Ae t u = ) ( Ue Ae u = 1 = + RCP u dt du RC + =0 一阶常系数齐次微分方程 C u dt du RC + =0 A：待定系数 其通解为指数函数： P：特征根 pt C Ae u = RC P 1 - = 特征方程： 1 = + RCP 故： C t u = ) ( Ae - RC C u = ) (0 Ae - RC =U 代入初始条件：uC （0+）=U A=U C t u = ) ( Ue - RC 得：

t的物理意义: 决定电路 u  ) ( t u = ) ( Ue ：秒 RC = t u dt du RC + =0 定义： 解 分析： - RC 分析： 1）电容上电压随时间按指数规律变化； 2）变化的起点是初始值U，变化的终点是稳态值0 ； 3）变化的速度取决于时间常数 ； 单位 R: 欧姆 C：法拉 ：秒 RC = t 定义： 称为时间常数 C u t U  ) ( t的物理意义: 决定电路 过渡过程变化的快慢。

理论上当 t 时，过渡过程结束，uC达到稳态值； 实际上当 t=5 时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。 ) ( Ue - RC C u t U  ) ( 当 t =  时: 0.368U 0.368 ) ( = U u t C u 0.368U 0.135U 0.049U 0.018U 0.007U 0.002U t 2 t 3 t 4 5 t 6 t 理论上当 t 时，过渡过程结束，uC达到稳态值； 实际上当 t=5 时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。

 越大，过渡过程曲线变化越慢，uc达到稳态所需要的时间越长。 t u = ) ( Ue - RC t E 0.368E  越大，过渡过程曲线变化越慢，uc达到稳态所需要的时间越长。

t u = ) ( Ue t u =- ) ( Ue uR iR Ue t u i u i u = - = 4）电路中其它物理量也随时间按指数规律变化； 且为一个时间常数 S R U + _ C u i t = 0 C t u = ) ( Ue - RC C t u =- ) ( Ue - RC uR = - iR = R t Ue - RC U -U t C u R i R u

由数学分析知此种微分方程的解由两部分组成： 2.2.2 RC电路的零状态响应 即初始状态为0时，在电路中产生的响应。 S R E + _ C u i uC（0+） = uC（0 -）= 0 KVL电压方程： C u dt du RC Ri U + = 一阶常系数线 性微分方程 U u dt du RC C = + 由数学分析知此种微分方程的解由两部分组成： C u' 方程的特解 对应齐次方程的通解（补函数） C u" C u t " ' ) ( + =

在电路中，通常取换路后的新稳态值 [记做：uc()]作特解，故此特解也称为稳态分量或强制分量。所以该电路的特解为： 和外加激励信号具有相同的形式。令 求特解 ---- C u' K u' C = （常数） U K dt dK RC = + 代入方程 , 得： U K = \ 在电路中，通常取换路后的新稳态值 [记做：uc()]作特解，故此特解也称为稳态分量或强制分量。所以该电路的特解为： U u t u' C = ¥ ) ( = + C u dt du RC 通解即： 的解。 C u" 求齐次方程的通解 --- C u" 随时间变化，故通常称为自由分量或暂态分量。 C u" = RC t Ae -

u u" u' t u + = ) ( e ¥ )] [ Ue U = U（1- e = ） u u" u' t Ae + ¥ = ) ( dt du RC C = + 因此该微分方程的解为： c C u u" u' t RC Ae - + ¥ = ) ( RC t Ae U - + = 代入该电路的初始条件： ) ( = - + C u ) ( = + ¥ Ae U u C 得: 所以 u - U A = ¥ + ) ( 故得方程的全解为 ： C u" u' t u + = ) ( RC e - ¥ )] [ RC t Ue U - = U（1- RC t e - = ）

RC = t u" u' t u + = ) ( e ¥ )] [ Ue U = U（1- e = ） U 故得方程的全解为 ： t - [ RC t Ue U - = U（1- RC t e - = ） t U RC = t

当 t = 5 时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。 Ue U u - = ) ( C u t U RC = t ) ( t u 0.632U t = 当 时: 2 . 63 ) ( = U u t ·  t 2 4 5 6 C u 0.632U 0.865U 0.950U 0.982U 0.993U 0.998U 3 当 t = 5 时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。

uC（0+） =uC（0 -）= UO  0 2.2.3 RC电路的全响应 u dt du RC Ri U + = U u dt du 换路后的电路中有电源激励。 uC（0+） =uC（0 -）= UO  0 U0 + _ S R C t = 0 U KVL电压方程： C u dt du RC Ri U + = U u dt du RC C = +

) ( = u Ae U u u" u' + = ¥ ) ( = + Ae U ) ( u U A - = UO UO UO 该微分方程的解为： RC t c C Ae U u u" u' - + = ¥ ) ( 代入该电路的起始条件 UO ) ( = - + C u 得: UO = + Ae U ) ( u C 所以 U A - = UO

u u u" u' t u + = ) ( t U e - U + = ) (UO U（1- e + ） t RC = t 故得方程的全解为 ： RC = t C u" u' t u + = ) ( t C u U0 > U U RC t e - - U + = ) (UO U0 U 稳态分量 暂 态 分 量 U（1- RC t e - + ） =UO t C u U0 < U 零输入响应 零状态响应 U U0 全响应

归纳： t t 1）电容上电压随时间按指数规律变化； 2）变化的起点是初始值，变化的终点是稳态值 ； 3）变化的速度取决于时间常数 初始值

2.3 一阶线性电路暂态分析的三要素法 （ ） e f + = )] ( ) [ = f ' t ) ( + " = f  +Ae-t/ 一阶线性电路： 电路中只含一个储能元件或可等效为只有一个储能元件的线性电路。其微分方程是一阶的。 根据经典法推导的结果： = f ' t ) ( + " = f  +Ae-t/ （ ） 稳态分量 暂态分量 f +  - ) ( 可得一阶电路微分方程解的通用表达式： t e f - +  = )] ( ) [

 e f + = )] ( ) [ )： ( t f    1）一阶线性电路暂态分析的三要素法 一般表达式： - +  = )] ( ) [ )： ( t f 代表一阶电路中任一电压、电流函数。 初始值 ---- ) ( + f 三要素: ) (  f 稳态值 ---- 时间常数----  利用求三要素的方法求解过渡过程，称为暂态分析的三要素法。只要是一阶线性电路，就可以用三要素法。

画出过渡过程曲线（由初始值稳态值，指数规律） 2）三要素法进行暂态分析的步骤： 分别求初始值、稳态值、时间常数； 将以上结果代入过渡过程通用表达式； 画出过渡过程曲线（由初始值稳态值，指数规律） 三要素的计算 求初始值f（0+）： (1)求换路前的 ) ( - L i C u ， = ) ( - + L i C u (2)根据换路定则得出： (3)根据换路后的等效电路，求未知的u(0+)， i(0+)。

求图（a）的uC（），图（b）的iL（  ）。 求稳态值f（）： (1) 画出换路后的等效电路 （注意:在直流激励的情况 下,令C开路, L短路）； (2) 根据电路的解题规律， 求换路后所求未知数的稳态值。 例3 求图（a）的uC（），图（b）的iL（  ）。 + - t=0 C 10V 4 k 3k 4k uc （a） t =0 L 2 3 4mA i （b）

 要由换路后的电路结构和参数计算。 求时间常数 原则: 同一电路中各物理量的  是一样的。 步骤: (1) 对于一阶RC电路， =R0C ； R0是换路后的电路中，从C两端看进去的戴维宁等效内阻 。

= = // R = R0C R0=R+R2 例4 计算图示电路的时间常数。   R R0 C - // R = E t=0 C R1 Ed + - 2 1 // R = C 2 1 // R = R0C =  t=0 IS R C R1 R2 R C Ed + - R0=R+R2 =  R0 C

( ) V 10 =  u E ms 2 = C R t ( ) t u 例5 求： 2k 3k R1 R2 t =0 E 10V S C 已知：开关 S 原处于闭合状态，t = 0时打开。 ( ) t u C 求： E + _ 10V S C 1 R1 R2 3k 2k t =0 解：用三要素法 1）初始值: 2）稳态值: ( ) V 10 =  C u E 3）时间常数: ms 2 1 = C R t

[ ] V 4 10 ) ( e u = ¥ u t + 4）代入 一般表达式: 5）画波形图 终点10V 起点6V C 002 . t C 002 . t C e u - + = ¥ 5）画波形图 t u C 终点10V 起点6V

例6 如图所示的电路，求t0时 求：uC和u0，i及波形图 + 设uC(0-)=0 6v _ 解：（1）确定初始值 10K 1000PF 20K uC u0 i0 t=0 S U 解：（1）确定初始值 uC(0+)=uC(0-)=0 = R0C=0.6710-5 S u0(0+)=U=6v i0(0+)=U/20=0.3mA （2）确定稳态值 uC()=(10/30)6=2V u0()=(20/30)6=4V i0()=6/30=0.2mA （3）确定时间常数 R0=10//20=20/3

t u0(t) t uC(t) 4v 6v 2v t i0(t) 0.3mA 0.2mA

（1）RC= tp时； （2）RC<< tp时 例7 当图示电路的输入为矩形波时，求输出的波形，C未充电。 U t ui tp （1）RC= tp时； （2）RC<< tp时 ui uo C R uo C R + - U t = 0时 换路 t uo1 U 0.368U -0.632U t uo2 U 5过渡过程结束 U

ui uo C R uo C R + - U t = tp时 换路

iL（0+）=iL（0 -）=U/R iL u 2.4 RL电路的响应 2.4.1 RL电路的零输入响应 di + Ri =0 dt 根据电路的定律列写电压、电流的微分方程，求解电路中电压、电流随时间的变化规律。 经典法: 2.4.1 RL电路的零输入响应 iL（0+）=iL（0 -）=U/R S R U + _ L u iL t = 0 列换路后电路的KVL方程： L Ri dt di + =0

t i = ) ( Ae i = ) (0 Ae t i = ) ( Ae i = R = + LP di + Ri =0 dt L P R 一阶常系数齐次微分方程 L Ri dt di + =0 A：待定系数 其通解为指数函数： P：特征根 pt L Ae i = 故： L P R - = R = + LP 特征方程： L t i = ) ( Ae - L/R L i = ) (0 Ae - L/R =I0 代入初始条件：iL （0+）=I0 A= I0 L t i = ) ( I0 e - L/R 得：

t i = ) ( L/R = t di + Ri =0 dt 解 I0 e 分析： 1）电感上电流随时间按指数规律变化； - L/R 分析： 1）电感上电流随时间按指数规律变化； 2）变化的起点是初始值I0，变化的终点是稳态值0 ； 3）变化的速度取决于时间常数 ； L/R = t 单位：R：；L：H；t：S R0是换路后的电路中，从L两端看进去的戴维宁等效内阻 。 对于一阶RL电路， =L/R0 ；

t i = ) ( t i u iL u 4）电路中其它物理量也随时间按指数规律变化； 且为一个时间常数 I0 e + L U _ I0 S R U + _ L u iL t = 0 L t i = ) ( I0 e - L/R L i I0 t 注意 当直流激励的线圈从电源断开时，必须将其短路或接入一个低值泄放电阻。 L u -RI0

iL（0+） = iL（0 -）= 0 u iL U/R i t i' = ) ( 2.4.2 RL电路的零状态响应  + L U _ S

S R U + _ L u iL t = 0 t t U

2.4.3 RL电路的全响应 S R2 U + _ L u iL t = 0 R1 得方程的全解为 ： 稳态分量 暂态分 量

) ( t u u ) ( u A 2 ·3 1 ) ( = + i ) ( u ] // )[ ( + - = R i V 4 - = 例8 已知：S 在t=0时闭合，换路前电路处于稳态。 2 1 t=0 3A L u S R2 R1 R3 IS 1H 求: 电感电压 ) ( t u L 解：用三要素法 1）初始值 : ) ( + u L A 2 ·3 1 ) ( = + - L i W 2 1 3A L i t =0 -时等效电路 ) ( + u L 2A L u R1 R2 R3 ] // )[ ( 3 2 1 + - = R i L t =0+时等效电路 V 4 - =

t // R + = )  ( u )  ( u = 0V s) ( 5 . 2 1 = R L 2）稳态值 ： t=时等效电路 2）稳态值 ： )  ( u L t=时等效电路 R1 R2 R3 )  ( u L = 0V 3）时间常数t 3 2 1 // R + = L R2 R3 R1 s) ( 5 . 2 1 = R L t

u t )  ( u )] ( ) [ e u  = ) 4 ( e + = V 4 e = -4V V 4 ) ( - = u 起始值 -4V t L u 稳态值 0V 4）将三要素代入一般表达式： V 4 ) ( - = + L u )  ( u L = 0V S 5 . = t )] ( ) [ t L e u - +  = ) 4 ( 2 t e - + = V 4 2 t e - = 5）画过渡过程曲线（由初始值稳态值）

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