§5.1 预备知识: 向量的内积 一、向量内积的定义及性质 在解析几何中有两向量的数量积的概念, 即设x, y为两向量, 则它们的数量积为: §5.1 预备知识: 向量的内积 一、向量内积的定义及性质 在解析几何中有两向量的数量积的概念, 即设x, y为两向量, 则它们的数量积为: x · y = | x || y | cos . 设向量x, y 的坐标表示式为 x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3), 则 x · y = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 . 由此引出了向量的长度(即模)和两向量夹角的概念:

我们把两向量的数量积的概念向 n 维向量推广: 记 定义1: 设有n维向量 [x, y] = x1 y1 + x2 y2 + ··· + xn yn, 称[x, y]为向量 x 与 y 的内积. 说明1. n(n4)维向量的内积是3维向量数量积的推广, 但是没有3维向量直观的几何意义. 说明2. 内积是向量的一种运算, 如果都是列向量, 内积可用矩阵记号表示为: [x, y] = xT y.

二、向量的长度及性质 内积的运算性质 设x, y, z为n维向量, 为实数, 则 (1) [x, y] = [y, x]; (2) [ x, y] = [x, y]; (3) [x+y , z] = [x, z] + [y, z]; (4) [x, x]  0, 当且仅当x=0时有[x, x]=0. 二、向量的长度及性质 定义: 令 称|| x ||为n维向量 x 的长度(或范数). 向量的长度具有下述性质: (1) 非负性: || x ||  0, 当且仅当x=0时有|| x || = 0; (2) 齐次性: ||  x|| = |  | || x ||; (3) 三角不等式: || x+y ||  || x || + || y ||.

单位向量及n 维向量间的夹角 (1)当|| x ||=1时, 称x为单位向量. (2)当|| x ||  0, || y ||  0 时, 称为n维向量 x 与 y 的夹角, 规定0     . 例1: 求向量=(1, 2, 2, 3)与=(3, 1, 5, 1)的夹角 解: [x, y]=13+21+25+31=18, 所以 故, 向量x与 y 的夹角为:

三、正交向量组的概念及求法 1. 正交的概念 当[x, y]=0时, 称向量 x 与 y 正交. 由定义知, 若x=0, 则 x与任何向量都正交. 2. 正交向量组的概念 　　若一非零向量组中的向量两两正交, 则称该向量组为正交向量组. 3. 正交向量组的性质 定理1: 若向量组1, 2, ···, r 是n维正交向量组, 则1, 2, ···, r 线性无关. 证明: 设有数1, 2, ··· ,r, 使得: 11 + 22 + ··· + rr = 0

由于1, 2, ···, r 是两两正交的非零向量组, 则有 当 i  j 时, [i, j]=iTj = 0, 当 i = j 时, [i, i]=iTi  0, 用iT ( i =1, 2, ···, r )左乘上式得, 1iT1 + 2iT2 + ··· + riTr = iT0 = 0, 即 iiTi = 0. 从而得, 1=2= ··· = r = 0, 所以1, 2, ··· ,r 线性无关. 4. 向量空间的正交基 定义: 若正交向量组1, 2, ··· , r是向量空间V的一组基, 则称1, 2, ···, r 是向量空间V的一组正交基. 例2: 已知三维向量空间中两个向量 1=(1, 1, 1)T, 2=(1, –2, 1)T 正交. 试求3使1, 2, 3构成三维空间的一组正交基.

解: 设3=(x1, x2, x3)T0, 且分别与1, 2正交. 则有 [1, 3]=[2, 3]=0, 即 解之得 x1 = –x3, x2 = 0. 若令 x3 = 1, 则有 则 构成三维空间的一组正交基.

5. 规范正交基 定义: 设n维向量组e1, e2, ···, er是向量空间VRn的一组正交基, 且都是单位向量, 则称e1, e2, ···, er是向量空间V的一组规范正交基. 例如 由于 所以, e1, e2, e3, e4为R4的一组规范正交基.

同理可知 也为R4的一组规范正交基(即单位坐标向量组). 设e1, e2, ···, er是向量空间V的一组规范正交基, 则V中的任一向量a可由e1, e2, ···, er线性表示, 设表示式为: a =1e1 + 2e2 + ··· + rer , 用eiT左乘上式, 有 eiTa =i eiTei =i , 即 i = eiTa = [a, ei], 这就是向量在规范正交基中的坐标(即线性表示系数)的计算公式. 利用该公式可方便地计算向量在规范正交基中的坐标, 因此我们常取向量空间的规范正交基.

6. 求规范正交基的方法 已知1, 2, ···, r 是向量空间V 的一组基, 求V 的一组规范正交基, 就是要找一组两两正交的单位向量e1, e2, ···, er , 使e1, e2, ···, er 与1, 2, ···, r 等价, 这样一个问题称为把基1, 2, ···, r 规范正交化. 设a1, a2, ···, ar 是向量空间V 的一组基. (1) 正交化 取 b1 = a1, ··· ··· ··· ··· ··· ···

则b1, b2, ···, br两两正交, 且b1, b2, ···, br与a1, a2, ···, ar等价. (2) 单位化, 取 则e1, e2, ···, en是向量空间V的一组规范正交基. 上述由线性无关向量组a1, a2, ···, ar 构造出正交向量组b1, b2, ···, br 的过程称为施密特(Schimidt)正交化过程.

例3: 用施密特正交化方法, 将向量组 a1=(1, 1, 1, 1), a2=(1, -1, 0, 4), a3=(3, 5, 1, -1) 正交规范化. 解: 先正交化. 取 b1= a1=(1, 1, 1, 1),

再单位化. 得规范正交向量组如下: 例4: 设 试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化.

解: 先正交化. 取 b1= a1

再单位化. 得规范正交向量组如下: 故, e1, e2, e3 即为所求. 例5: 已知 求一组非零向量a2, a3, 使a1, a2, a3两两正交. 解: 非零向量a2, a3应满足方程 a1Tx = 0, 即 x1+ x2+ x3= 0.

它的基础解系为: 把基础解系正交化, 即合所求. 亦即取 其中[1, 2]=1, [1, 1]=2, 于是得

几 何 解 释 b1 = a1, b2 = a2 – c2, c2为a2在b1上的投影向量, 即 b3 = a3 – c3, c3为a3在b1, b2所确定的平面上的投影向量, 由于b1b2, 故c3等于a3分别在b1, b2上的投影向量c31及c32之和, 即

四、正交矩阵与正交变换 若n阶方阵A满足ATA = E, 即A-1=AT, 则称A为正交矩阵. 证明: 由于 ATA = E

定义: 若P为正交阵, 则线性变换 y = Px 称为正交变换. 性质1: 正交变换保持向量的长度不变. 则有 证明: 设线性变换 y = Px为正交变换. 性质2: 设A为正交矩阵, 则A-1=AT也为正交矩阵, 且|A|=1或–1. 性质3: 设A,B都是正交矩阵, 则AB也为正交矩阵.

例6: 判别下列矩阵是否为正交阵. 解(1): 考察矩阵的第一列和第二列. 由于 所以(1)不是正交矩阵. 解(2): 注意到, 该矩阵为对称矩阵, 则有 所以(2)是正交矩阵.

例6: 验证矩阵 是正交矩阵. 解: P 的每个列向量都是单位向量, 且两两正交, 所以P是正交矩阵.

五、小结 1. 将一组基规范正交化的方法: 先用施密特正交化方法将基正交化, 然后再将其单位化. 　 先用施密特正交化方法将基正交化, 然后再将其单位化. 2. A为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立: (1) A-1=AT; (2) ATA=E; (3) A的列向量是两两正交的单位向量; (4) A的行向量是两两正交的单位向量.

思考题 思考题解答 求一单位向量, 使它与下列向量正交. a1=(1, 1, –1, – 1), a1=(1, – 1, – 1, 1), a1=(2, 1, 1, 3), 思考题解答 设所求向量为x=(a, b, c, d), 则由题意可得: 解得: 或