§5.1 预备知识: 向量的内积 一、向量内积的定义及性质 在解析几何中有两向量的数量积的概念, 即设x, y为两向量, 则它们的数量积为:

Slides:



Advertisements
Similar presentations
南 通. 南通概述 南通,位于江苏省东部, 东抵黄海,南望长江。 “ 据江 海之会、扼南北之喉 ” ,隔江 与中国经济最发达的上海及 苏南地区相依,被誉为 “ 北上 海 ” 。 南通也是中国首批对 外开放的 14 个沿海城市之一 ,被称为 “ 中国近代第一城 ” 。 南通面临海外和内陆两大经 济辐射扇面,素有.
Advertisements

北京市职业技能鉴定 考务相关工作介绍 2014 年 7 月 29 日 鉴定指导科. 一、考务工作相关要求 二、考务流程变更内容( ATA 系统升级版) 三、实操考评考务工作讲解(首信系统新版)
1 天天 5 蔬果 國立彰化特殊教育學校 延杰股份有限公司營養師:陳婷貽. 2 蔬果彩虹 579 蔬果彩虹 歲以內兒童,每天 攝取五份新鮮蔬菜水 果,其中應有三份蔬 菜兩份水果 蔬菜份數水果份數總份數 兒童 325 女性 437 男性 549.
高等学校英语应用能力考试 考务培训 兰州文理学院教务处 2014 年 12 月. 考务培训 21 日请监考人员上午 8:00 (下午 2:30 )到综合楼 205 教室集合,查看 监考安排,由考务负责人进行考务 培训。
商管群科科主任 盧錦春 年 3 月份初階建置、 4 月份進階建置、 5 月份試賣與對外營業。
語言與文化通識報告 - 台日年菜差異 - 指導老師 : 葉蓁蓁 小組 : 日本微旅行 組員 :4a21b032 吳采玲 4a21b037 沈立揚 4a 洪雅芳 4a 陳楚貽 4a 王巧稜.
第七章 求职方法和技巧 (二) 主讲人:谭琳. 第一节 自荐 一、目前常见的自荐种类 1 .口头自荐 1 .口头自荐 2 .书面自荐 2 .书面自荐 3 .广告自荐 3 .广告自荐 4 .学校推荐 4 .学校推荐 5 .他人推荐 5 .他人推荐.
均衡推进,确保质量 08学年第一学期教学工作会议 广州市培正中学
黑木耳.
投資權證13問 交易所宣導資料(104) 1.以大盤指數為標的之權證,和大盤指數的連動性,為什麼比和期交所期指的連動性差?
如何把作文写具体.
第一章 人口与环境 第一节 人口增长模式.
第一节 人口与人种 第一课时.
解读我党发展史 思索安惠美好明天 主讲人:王辰武.
第一章 有理数 一.本章学习目标 1.理解有理数的意义,能用数轴上的点表示有理数,能比较有理数的大小.
这是一个数字的 乐园 这里埋藏着丰富的 宝藏 请跟我一起走进数学的 殿堂.
解析几何 空间直角坐标系 阜宁县东沟中学高一数学组.
105年基北區高中職適性入學宣導 教育會考後相關作業說明
勝過這世界 我能勝過這世界 因有耶穌在我心 黑暗權勢已破碎 因耶穌基督寶血. 勝過這世界 我能勝過這世界 因有耶穌在我心 黑暗權勢已破碎 因耶穌基督寶血.
南京市国税局国际税务管理处 二00九年二月二十四日
说课课件 感悟工业革命力量,闪耀科技创新光辉 ----《走向整体的世界》教学设计及反思 爱迪生 西门子 卡尔·本茨 诺贝尔 学军中学 颜先辉.
校務會議 業 務 報 告 教官室 主任教官: 廖世文 中校 99/06/25.
一、平面点集 定义: x、y ---自变量,u ---因变量. 点集 E ---定义域, --- 值域.
企业所得税几项热点难点 业务问题讲析 湛江市地税局税政科 钟胜强.
房地产开发企业 土地增值税清算 (基础篇).
95課綱 歷史科第二冊(中國史) 第三單元(章) 近世發展(宋、元明、清) 第三主題(節) 士紳社會與庶民文化
錯 視.
理 想 理想是大海的航标, 指引你前进的方向; 理想是闪闪的明灯, 照亮你前进的航程; 理想是生命的动力,帮助你战胜困难;
美国史 美利坚合众国创造了一个人类建国史的奇迹,在短短230年的时间从一个被英帝国奴役的殖民地到成为驾驭全世界的“超级大国”、“世界警察”,美国的探索为人类的发展提供了很宝贵的经验。
高中生职业生涯规划 河南省淮滨高级中学 朱凯
忠孝國小自立午餐老師的叮嚀 教師指導手冊.
——奧科特公開及內部培訓 系列課程(三)之十一
管理学基本知识.
第十一章 真理与价值 主讲人:阎华荣.
滁州学院首届微课程教学设计竞赛 课程名称:高等数学 主讲人:胡贝贝 数学与金融学院.
“深入推进依法行政加快建设法治政府” -《法治政府建设实施纲要》解读
第三章 生产费用的核算 第一节 材料费用的归集和分配 第二节 工资费用的归集和分配 第三节 辅助生产费用的归集和分配
材料作文审题立意训练.
第六节 可降阶的二阶微分方程 一、 型的微分方程 二、 型的微分方程 三、 型的微分方程.
第七章 固 定 资 产.
常用逻辑语.
1.1.2 四 种 命 题.
常用逻辑用语 知识体系: 命题 常用逻辑性用语 充分条件、必要条件、充要条件 基本逻辑连结词 量词.
1.5 充要条件.
喜愛大自然的老師----段秋華.
班級:電資一 組長:程英傑 組員:黃智駿、廖夢溪、李金霖 黃粵丞、蘇長益 指導老師:陳美美 老師
经 络 学.
拾貳、 教育行政 一、教育行政的意義 教育行政,可視為國家對教育事務的管理 ,以增進教育效果。 教育行政,乃是一利用有限資源在教育參
课标教材下教研工作的 实践与思考 山东临沂市教育科学研究中心 郭允远.
課程銜接 九年一貫暫行綱要( )  九年一貫課程綱要( ) 國立台南大學數學教育系 謝 堅.
第八章二元一次方程组 8.3实际问题与二元一次方程组.
第八章二元一次方程组 8.3实际问题与二元一次方程组 (第3课时).
2.4 二元一次方程组的应用(1).
105年基北區高中職適性入學宣導 教育會考後相關作業說明
本章涉及的主要问题: 汇票中的出票、背书、 票据种类 承兑、保证行为 票据行为 汇票中的付款和追索 票据权利及其内容 有关本票的制度
行政院國軍退除役官兵輔導委員會 嘉義榮民醫院.
如何寫工程計畫書 臺北市童軍會考驗委員會 高級考驗營 版.
公立學校教職員退休資遣撫卹條例重點說明 苗栗縣政府人事處編製 主講人:陳處長坤榮 107年5月2日.
第二章 随机变量及其分布 热点问题剖析.
B2B -- 99/09/01 ~ 99/11/10異動項目 1.公告區 1-1 登入首頁連結到公告區,將原登入資訊加到公告區
2019/4/29 计算机组成原理 辅导教师:陆明强.
两个变量的线性相关 琼海市嘉积中学 梅小青.
歡迎大家來到開心國小! 我們每個月舉辦一次慶生會, 所以現在要調查全班的生日。 1號: 9/19 9號: 3/17 2號: 9/5 10號: 5/12 3號: 1/8 11號: 7/25 4號:11/27 12號:10/4 5號: 8/31 13號: 9/5 6號:
线性回归.
§4 连续型随机变量.
小學常識六年級 知 識 產 權 知 多 少 樊佩芳老師.
6.1.1 平方根.
幂的乘方.
第八章 异步电动机.
用加減消去法解一元二次聯立方程式 台北縣立中山國中 第二團隊.
Presentation transcript:

§5.1 预备知识: 向量的内积 一、向量内积的定义及性质 在解析几何中有两向量的数量积的概念, 即设x, y为两向量, 则它们的数量积为: §5.1 预备知识: 向量的内积 一、向量内积的定义及性质 在解析几何中有两向量的数量积的概念, 即设x, y为两向量, 则它们的数量积为: x · y = | x || y | cos . 设向量x, y 的坐标表示式为 x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3), 则 x · y = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 . 由此引出了向量的长度(即模)和两向量夹角的概念:

我们把两向量的数量积的概念向 n 维向量推广: 记 定义1: 设有n维向量 [x, y] = x1 y1 + x2 y2 + ··· + xn yn, 称[x, y]为向量 x 与 y 的内积. 说明1. n(n4)维向量的内积是3维向量数量积的推广, 但是没有3维向量直观的几何意义. 说明2. 内积是向量的一种运算, 如果都是列向量, 内积可用矩阵记号表示为: [x, y] = xT y.

二、向量的长度及性质 内积的运算性质 设x, y, z为n维向量, 为实数, 则 (1) [x, y] = [y, x]; (2) [ x, y] = [x, y]; (3) [x+y , z] = [x, z] + [y, z]; (4) [x, x]  0, 当且仅当x=0时有[x, x]=0. 二、向量的长度及性质 定义: 令 称|| x ||为n维向量 x 的长度(或范数). 向量的长度具有下述性质: (1) 非负性: || x ||  0, 当且仅当x=0时有|| x || = 0; (2) 齐次性: ||  x|| = |  | || x ||; (3) 三角不等式: || x+y ||  || x || + || y ||.

单位向量及n 维向量间的夹角 (1)当|| x ||=1时, 称x为单位向量. (2)当|| x ||  0, || y ||  0 时, 称为n维向量 x 与 y 的夹角, 规定0     . 例1: 求向量=(1, 2, 2, 3)与=(3, 1, 5, 1)的夹角 解: [x, y]=13+21+25+31=18, 所以 故, 向量x与 y 的夹角为:

三、正交向量组的概念及求法 1. 正交的概念 当[x, y]=0时, 称向量 x 与 y 正交. 由定义知, 若x=0, 则 x与任何向量都正交. 2. 正交向量组的概念   若一非零向量组中的向量两两正交, 则称该向量组为正交向量组. 3. 正交向量组的性质 定理1: 若向量组1, 2, ···, r 是n维正交向量组, 则1, 2, ···, r 线性无关. 证明: 设有数1, 2, ··· ,r, 使得: 11 + 22 + ··· + rr = 0

由于1, 2, ···, r 是两两正交的非零向量组, 则有 当 i  j 时, [i, j]=iTj = 0, 当 i = j 时, [i, i]=iTi  0, 用iT ( i =1, 2, ···, r )左乘上式得, 1iT1 + 2iT2 + ··· + riTr = iT0 = 0, 即 iiTi = 0. 从而得, 1=2= ··· = r = 0, 所以1, 2, ··· ,r 线性无关. 4. 向量空间的正交基 定义: 若正交向量组1, 2, ··· , r是向量空间V的一组基, 则称1, 2, ···, r 是向量空间V的一组正交基. 例2: 已知三维向量空间中两个向量 1=(1, 1, 1)T, 2=(1, –2, 1)T 正交. 试求3使1, 2, 3构成三维空间的一组正交基.

解: 设3=(x1, x2, x3)T0, 且分别与1, 2正交. 则有 [1, 3]=[2, 3]=0, 即 解之得 x1 = –x3, x2 = 0. 若令 x3 = 1, 则有 则 构成三维空间的一组正交基.

5. 规范正交基 定义: 设n维向量组e1, e2, ···, er是向量空间VRn的一组正交基, 且都是单位向量, 则称e1, e2, ···, er是向量空间V的一组规范正交基. 例如 由于 所以, e1, e2, e3, e4为R4的一组规范正交基.

同理可知 也为R4的一组规范正交基(即单位坐标向量组). 设e1, e2, ···, er是向量空间V的一组规范正交基, 则V中的任一向量a可由e1, e2, ···, er线性表示, 设表示式为: a =1e1 + 2e2 + ··· + rer , 用eiT左乘上式, 有 eiTa =i eiTei =i , 即 i = eiTa = [a, ei], 这就是向量在规范正交基中的坐标(即线性表示系数)的计算公式. 利用该公式可方便地计算向量在规范正交基中的坐标, 因此我们常取向量空间的规范正交基.

6. 求规范正交基的方法 已知1, 2, ···, r 是向量空间V 的一组基, 求V 的一组规范正交基, 就是要找一组两两正交的单位向量e1, e2, ···, er , 使e1, e2, ···, er 与1, 2, ···, r 等价, 这样一个问题称为把基1, 2, ···, r 规范正交化. 设a1, a2, ···, ar 是向量空间V 的一组基. (1) 正交化 取 b1 = a1, ··· ··· ··· ··· ··· ···

则b1, b2, ···, br两两正交, 且b1, b2, ···, br与a1, a2, ···, ar等价. (2) 单位化, 取 则e1, e2, ···, en是向量空间V的一组规范正交基. 上述由线性无关向量组a1, a2, ···, ar 构造出正交向量组b1, b2, ···, br 的过程称为施密特(Schimidt)正交化过程.

例3: 用施密特正交化方法, 将向量组 a1=(1, 1, 1, 1), a2=(1, -1, 0, 4), a3=(3, 5, 1, -1) 正交规范化. 解: 先正交化. 取 b1= a1=(1, 1, 1, 1),

再单位化. 得规范正交向量组如下: 例4: 设 试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化.

解: 先正交化. 取 b1= a1

再单位化. 得规范正交向量组如下: 故, e1, e2, e3 即为所求. 例5: 已知 求一组非零向量a2, a3, 使a1, a2, a3两两正交. 解: 非零向量a2, a3应满足方程 a1Tx = 0, 即 x1+ x2+ x3= 0.

它的基础解系为: 把基础解系正交化, 即合所求. 亦即取 其中[1, 2]=1, [1, 1]=2, 于是得

几 何 解 释 b1 = a1, b2 = a2 – c2, c2为a2在b1上的投影向量, 即 b3 = a3 – c3, c3为a3在b1, b2所确定的平面上的投影向量, 由于b1b2, 故c3等于a3分别在b1, b2上的投影向量c31及c32之和, 即

四、正交矩阵与正交变换 若n阶方阵A满足ATA = E, 即A-1=AT, 则称A为正交矩阵. 证明: 由于 ATA = E

定义: 若P为正交阵, 则线性变换 y = Px 称为正交变换. 性质1: 正交变换保持向量的长度不变. 则有 证明: 设线性变换 y = Px为正交变换. 性质2: 设A为正交矩阵, 则A-1=AT也为正交矩阵, 且|A|=1或–1. 性质3: 设A,B都是正交矩阵, 则AB也为正交矩阵.

例6: 判别下列矩阵是否为正交阵. 解(1): 考察矩阵的第一列和第二列. 由于 所以(1)不是正交矩阵. 解(2): 注意到, 该矩阵为对称矩阵, 则有 所以(2)是正交矩阵.

例6: 验证矩阵 是正交矩阵. 解: P 的每个列向量都是单位向量, 且两两正交, 所以P是正交矩阵.

五、小结 1. 将一组基规范正交化的方法: 先用施密特正交化方法将基正交化, 然后再将其单位化.   先用施密特正交化方法将基正交化, 然后再将其单位化. 2. A为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立: (1) A-1=AT; (2) ATA=E; (3) A的列向量是两两正交的单位向量; (4) A的行向量是两两正交的单位向量.

思考题 思考题解答 求一单位向量, 使它与下列向量正交. a1=(1, 1, –1, – 1), a1=(1, – 1, – 1, 1), a1=(2, 1, 1, 3), 思考题解答 设所求向量为x=(a, b, c, d), 则由题意可得: 解得: 或