第四章 模拟信号分析 模拟信号分析是直接对连续时间信号进行分析处理的过程，利用一定的数学模型所组成的运算网络来实现的。从广义讲，它包括了调制与解调、滤波、放大、微积分、乘方、开方、除法运算等。 本章主要介绍模拟信号分析处理中的调制与解调、滤波、微分、积分以及积分平均等问题。

所谓调制，是指利用被测信号来控制或改变高频振荡信号的某个参数（幅值、相位、频率）使其随被测信号作有规律的变化。 第一节 调制与解调 （a）时域波形 （b）频域谱图 图4-1 幅值调制 调制器 所谓调制，是指利用被测信号来控制或改变高频振荡信号的某个参数（幅值、相位、频率）使其随被测信号作有规律的变化。 根据由被测信号控制或改变高频振荡信号的某个参数的不同调制分为：调幅、调频、调相 解调：从已调波恢复被测控制信号的过程。 在调制技术中，被测控制信号称为调制信号或调制波，控制高频振荡信号称为载波信号，调制后得到的高频振荡波称为已调波。 图4-3 调幅波 使用调制与解调 技术的原因： 1. 提高信号的抗干扰能力，便于放大和传输 2. 一些传感器变换原理就利用了调制，必须解调才能得到原信号。

4.1.1 幅值调制与解调原理 幅值调制（AM）是将一个高频简谐信号（或称载波）与测试信号相乘，使载波信号幅值随测试信号的变化而变化。现以频率为 的余弦信号 作为载波进行讨论。 若以高频余弦信号作载波，把信号和载波信号相乘，对应在频域中这两个信号进行卷积，即 其结果就相当于把原信号频谱图形由原点平移至载波频率 处，其幅值减半，如图4-1所示， （a）时域波形 （b）频域谱图 图4-1 幅值调制 调制器 这一过程就是幅值调制，所以幅值调制过程就相当于频率“搬移”过程。 注意： 载波频率 测试信号 中的最高频率 与

幅值调制信号(调幅信号）的解调原理 1.同步解调 调幅信号如图示 调幅信号的解调方法 1.同步解调（相敏检波 ） 2.整流、滤波 图4-3 调幅波 调幅信号的解调方法 1.同步解调（相敏检波 ） 2.整流、滤波 若把调幅波 再次与载波信号 相乘， 与 相乘积的傅里叶变换为： 抑制幅值调制 非抑制调幅波 这一结果如图 4-2 所示。若用一个低通滤波器滤除中心频率为的高频成分，那末将可以复现原信号的频谱 乘法器 低通滤波 低通 图4-2 同频解调 这一过程为同步解调（或称相敏检波）。 “同步”指解调时所乘的信号与调制时的载波信号具有相同的频率和相位。 2.整流、滤波

4.1.2 角度调制与解调原理 在简谐载波中 称为瞬时相位。对瞬时相位微分，得 称为瞬时角频率 对于载波 4.1.2 角度调制与解调原理 在简谐载波中 称为瞬时相位。对瞬时相位微分，得 称为瞬时角频率 对于载波 如果保持振幅 A0为常数，让载波瞬时角频率ω(t) 随测试信号 x(t)的变化而变化，则称此种调制方式为频率调制（FM Frequency Modulation）。如果载波的相位φ(t)随测试信号 x(t)的变化而变化，则称这种调制方式为相调制（PM Phase Modulation） 。由于频率或相位的变化最终都使载波的相位角发生变化，故统称FM和PM为角度调制。在角度调制中，角度调制信号和测试信号的频谱都发生了变化，所以，角度调制是一种非线性调制。 如果载波的瞬时相位与测试信号成线性函数关系 就称该调制波为相位调制波， 如果载波的瞬时频率与测试信号成线性关系， 就称该调制波为调频波

鉴频器的种类虽多，但都可等效为一个微分器及一个包络检波器，如图 3) 调频信号的解调 我们只讨论鉴频器解调的原理 鉴频器的种类虽多，但都可等效为一个微分器及一个包络检波器，如图 微分器 包络检波器 只要对一般调频信号表达式微分，就可证明。由 4.13 式的调频波： 上式表明，经过微分后，其幅度和频率都携带了信息。所以可以用包络检波器检出测试信号 ，输出信号为 xb(t) 隔去直流分量就可得到解调结果 ，它正比于测试信号

4.2 滤波器 滤波器是一种选频装置，可以使信号中特定的频率成分通过，而极大地衰减其他频率成分。 4.2 滤波器 滤波器是一种选频装置，可以使信号中特定的频率成分通过，而极大地衰减其他频率成分。 利用滤波器的这种选频作用，可以滤除干扰噪声或进行频谱分析。 一、 滤波器分类 根据滤波器的选频作用，一般分为低通、高通、带通和带阻滤波器 图4-5表示了这四种滤波器的幅频特性: 图中(d)表示带阻滤波器，与带通滤波器相反，阻带在频率 f1 ～ f2 之间，它使信号中高于f1和低于f2的频率成分受到衰减，其余频率成分几乎不受衰减地通过。 图中(c)表示带通滤波器，它的通频带在 f1 ～ f2 之间，它使信号中高于f1和低于f2的频率成分可以不受衰减地通过，而其他成分受到衰减； 二、理想滤波器 图中(b)表示高通滤波器，与低通滤波器相反，从频率 f1 ～ ，其幅频特性平直。它使信号中高于f1的频率成分几乎不受衰减地通过，而低于的频率成分将受到极大地衰减； 图中(a)是低通滤波器，从 0～f2 频率之间，幅频特性平直，它可以使信号中低于 f2 的频率成分几乎不受衰减地通过，而高于的频率成分受到极大地衰减； （1）．理想低通模型 理想滤波器具有矩形幅值特性和线性相移特性， 其频率响应函数、幅频特性、相频特性分别为:

这种理想低通滤波器，将信号中低于截止频率的频率成分予以传输，而无任何失真；将高于截止的频率成分则完全衰减掉。 （2） 理想低通滤波器的脉冲响应 这种理想低通滤波器，将信号中低于截止频率的频率成分予以传输，而无任何失真；将高于截止的频率成分则完全衰减掉。 根据线性系统的传输特性，当δ函数通过理想滤波器时，其脉冲响应函数h(t)应是频率响应函数H(ƒ)的逆傅里叶变换，由此有 理想滤波器 图4-7 理想滤波器的脉冲响应 这种理想滤波器是不可能实现的。 实际滤波器的频域图形不可能出现直角锐变，也不会在有限频率上完全截止。原则地讲，实际滤波器的频域图形将延伸到ƒ→∞，所以一个滤波器对信号中通带以外的频率成分只能极大地衰减，却不能完全阻止。 h(t)的波形表明，在输入δ(t)到来之前，滤波器就应该早有与该输入相对应的输出，显然，任何滤波器都不可能有这种“先知”，所以，理想滤波器是不可能存在的。 可以推论，理想的高通、带通、带阻滤波器都是不存在的。

三、实际滤波器 (1)．实际滤波器的基本参数 对于实际滤波器，由于它的特性曲线没有明显的转折点，通频带中幅频特性也并非常数，因此需要用更多的参数来描述实际滤波器的性能，主要参数有纹波幅度、截止频率、带宽、品质因数、倍频程选择性等。 1）纹波幅度 在一定频率范围内，实际滤波器的幅频特性可能呈波纹变化。 其波动幅度为d 波动幅度d与幅频特性的平均值A0相比，越小越好，一般应远小于 -3dB，即 2）截止频率 幅频特性值等于 所对应的频率称为滤波器的截止频率。以为参考值，对应于点，即相对于衰减。若以信号的幅值平方表示信号功率，则所对应的点正好是半功率点。

（2） RC调谐式滤波器的基本特性 在测试系统中，常用RC滤波器，因为在这一领域中，信号频率相对讲是不高的，而RC滤波电路简单，抗干扰性强，有较好的低频性能，并且选用标准阻容元件也容易实现。 1）一阶RC低通滤波器 RC =  时间常数 RC低通滤波器的典型电路 图4-9 RC低通滤波器及其幅频、相频特性 电路的微分方程式为 其幅频、相频特性函数为 ： 亦即 ： 分析以下情况 其幅频、相频特性如图4-9所示。 此时，输出是输入的积分，构成了测试系统中广泛采用的积分电路。

建立RC高通滤波器输入与输出之间的则微分方程 注意到电容上的电压 uc=q/C,根据电路的电压平衡关系 x(t)= uc+y(t) 图4-10 RC高通滤波器 及其幅频、相频特性 令 RC= τ则RC高通滤波器的传递特性函数 其幅频特性、相频特性函数为： 分析以下情况 即当f相当大时，幅频特性接近于1，相移趋于零，此时RC高通滤波器可视为不失真传输系统； RC高通滤波器的输出与输入的微分成正比，起着微分器的作用。

3）RC带通滤波器 带通滤波器可以看成是低通滤波器和高通滤波的串联组合，如图4-11所示。 串联后的传递函数、频率响应函数 及其幅频、相频特性 幅频特性、相频特性如下： 分析以下情况 分别调节 、 高、低通滤波器的时间常数就可以得到不同的上、下截止频率和带宽的带通滤波器。 应注意，当高、低通两级串联时，应消除两级耦合时的相互影响，因为后一级成为前一级的“负载”，而前一级又是后一级的信号源内阻。实际上两级间常用射极输出器或者用运算放大器进行隔离。所以实际的带通滤波器常常是有源的。有源滤波器由RC调谐网络和运算放大器组成。运算放大器既可作为级间隔离作用，又可起信号幅值的放大作用。

4.3 微分器微分、积分与积分平均 4.3.1 微分器 当 时, 4.3.2 积分器 当 时, RC高通滤波器 4.3 微分器微分、积分与积分平均 4.3.1 微分器 图4-12 RC无源微分器 RC高通滤波器 当 时, 输出与输入的微分成正比，起着微分器的作用。 4.3.2 积分器 图4-13 RC无源积分器 RC低通滤波器 当 时, 输出是输入的积分，构成了测试系统中广泛采用的积分电路。 RC无源微积分器结构简单，性能稳定，测量系统中广泛地采用，但是要特别注意 ： RC无源积分器，在 时又是低通滤波器，因而容易受到低频噪声的干扰；RC无源微分器，在 时，是高通滤波器，所以易受高频噪声的干扰。

4.3.3 积分平均 积分平均是形为 的积分， 它实质上求的是函数在区间（0, T）的平均值。 4.3.3 积分平均 积分平均是形为 的积分， 它实质上求的是函数在区间（0, T）的平均值。 若x(t)是某时间函数，此积分表示求信号的均值； 如果x(t)是某函数的平方，则表示求信号的平均功率； 当x(t)是某两个时间函数的乘积，那么可以代表相关或卷积运算等。 在数字信号分析中，积分平均可以很容易地用数值计算方法获得，这样的积分平均是真平均。这里，我们要讨论的是如何用模拟方法完成上述积分平均 实际使用的模拟信号分析系统中，通常使用前述的RC无源低通滤波器。 积分平均实际上是求被测信号x(t)的直流分量，即零频分量。 如果将信号通过一测试系统，只让零频分量通过，极大地衰减和阻当它的所有频率成分分量，那么输出的直流信号就是积分平均的结果。这一过程可以用低通滤波器来实现。 必需说明的是：和真平均相比，RC积分网络的平均时间 T = 2RC。使用RC积分平均网络，要使它能真实地给出 x(t) 的平均值，必需给RC网络以充分的响应时间。 分析表明，只有当信号进入RC网络后至少4倍时间常数 （=RC），积分平均电路电容器上的电压才可认为等于 T=2RC 时的x(t)的平均值。否则，RC平均会出现明显的偏度误差。这就要求被处理信号具有足够的长度， 若信号样本较短，可以延拓为周期信号后再来处理。 另外还应当指出，对信号的积分和积分平均在形式上相似，且都可以用RC低通网络来实现，但二者是有区别的。信号积分是求信号中波动分量（非零频分量）的原函数，结果仍然是波动分量，直流分量不能进行积分。此时，作为积分器的RC低通网络的有效工作范围是 。而积分平均是求信号的直流分量的值，是定积分运算，可用窄带低通滤波来实现。这时，RC低通网络的有效工作范围是 。

第四节 模拟信号分析技术应用举例 4.4.1 幅值调制在测试仪器中的应用 图示为动态电阻应变仪测力系统框图： 第四节 模拟信号分析技术应用举例 4.4.1 幅值调制在测试仪器中的应用 图示为动态电阻应变仪测力系统框图： 电桥 放大 相敏检波 低通 显示记录 振荡器 电阻 应变片 图4-14 动态电阻应变仪方框图

4.4.2 频率调制在工程测试中的应用 图4-15所示，是采用变压器耦合的谐振振幅鉴频电路。 注意到对于由电容C和电感L所形成的自激振荡器，其谐振频率为: 如果以电容C或电感L为谐振回路的一个调谐参数，改变调谐参数，就可以改变谐振频率 所以，当参数C发生变化时，谐振回路的瞬时频率为： 例如，以电容传感器中以电容C作为调谐参数时，则对上式微分 表明，回路的振荡频率与调谐参数呈线性关系。 频率—电压线性变换部分 幅值检波部分 （a） （b） 图4-15 用谐振振幅进行鉴频 将等幅调频波 ef 输入，在回路的谐振频率fn 处线圈 L1、 L2中的耦合电流最大，副边输出电压ea也最大。ef 频率离开fn ， ea也随之下降。 ea的频率虽然和ef保持一致，但幅值ea却随频率而变化。 随着测量参数 的变化，幅值ea随调频波频率而近似线性变化，调频波ef的频率却和测量参数保持近似线性关系。因此，把ea进行幅值检波就能获得测量参数变化的信息，且保持近似线性关系。

4.4.3 模拟滤波器的应用 例如：带通滤波器用作频谱分析仪中的选频装置；低通滤波器用作数字信号分析系统中的抗频混滤波等等； 4.4.3 模拟滤波器的应用 例如：带通滤波器用作频谱分析仪中的选频装置；低通滤波器用作数字信号分析系统中的抗频混滤波等等； 模拟滤波器在测试系统或专用仪器仪表中是一种常用的变换装置。 用于频谱分析装置中的带通滤波器，可根据中心频率与带宽之间的数值关系，分为两种：一种是恒带宽带通滤波器带宽另一种是恒带宽比带通滤波器 恒带宽比带通滤波器被用于倍频程频谱分析仪中，这是一种具有不同中心频率的滤波器组，为使各个带通滤波器组合起来后能覆盖整个要分析的信号频率范围，其中心频率与带宽是按一定规律配置的。 一般情况下，为使滤波器在任意频段都有良好的频率分辨力，可采用恒带宽带通滤波器。所选择带宽越窄，则频率分辨力越高，但这时为覆盖所要检测的整个频率范围，所需要的滤波器数量就很大。因此，恒带宽带通滤波器不一定做成固定中心频率的，而是利用一个参考信号，使滤波器中心频率跟随参考信号的频率而变化。在做信号频谱分析的过程中，参考信号是由可作频率扫描的信号发生器供给的。这种可变中心频率的恒带宽带通滤波器被用于相关滤波和扫描跟踪滤波中。 图4-16（a）所示之带通滤波器，其中心频率在任何频段上时，带宽都相同，称为恒带宽带通滤波器； 如图4-16（b）所示之带通滤波器，带宽B与中心频率f0的比值不变(亦即是品质因数Q恒定不变），称为恒带宽比带通滤波器。 对于恒带宽比带通滤波器来说，带宽将随中心频率增高而变宽，其频率分辨率将变低。 恒带宽带通滤波器与恒带宽比带通滤波器比较 图4-17 带通滤波器的邻接 倍频程频谱分析仪 记录 检波放大 图4-18 邻接式倍频程滤波器 （b） （a）

4.4.4 模拟频谱分析 以随机信号 的功率谱分析为例，若将信号通过一个中心频率为 ，带宽为B的带通滤波器后的输出记为 ，则输出信号在样本长度T区的平均功率是 那么随机信号 在 点的自功率谱密度可写为： 改变滤波器的中心频率，在给定的频率范围内扫描（频率扫描），就可以得出被分析信号的频谱。 带通滤波器B, f 平方电路 积分平均 1/B 均方根检波器

第五章 信号采集与数字分析原理及技术 信号分析，除了前述的模拟分析方法外，还可以用数字计算的方法实现信号分析的各种运算，称为数字信号分析。 第五章 信号采集与数字分析原理及技术 信号分析，除了前述的模拟分析方法外，还可以用数字计算的方法实现信号分析的各种运算，称为数字信号分析。 与模拟分析相比，数字信号分析有以下一些优点： 高度的灵活性，极好的稳定性和可靠性 可多工处理，分时复用 高精度、高分辨率和大动态范围

数据信号处理的特点 与模拟系统(ASP)相比，数字系统具有如下特点： 精度高 可靠性 灵活性大 易于大规模集成 时分复用

1.高度的灵活性，极好的稳定性和可靠性 数字系统的性能主要决定于乘法器的各系数，且系数存放于系数存储器内，只需改变存储的系数，就可得到不同的系统，比改变模拟系统方便得多。

稳定性、可靠性强 数字系统采用大规模集成电路，其故障率远远小于采用众多分立元件构成的模拟系统。 模拟系统：各参数都有一定的温度系数，易受环境条件，如温度、振动、电磁感应等影响，产生杂散效应甚至振荡等 数字系统：只有两个信号电平0，1受噪声及环境条件等影响小。

4.易于大规模集成 数字部件：高度规范性，便于大规模集成，大规模生产，对电路参数要求不严，故产品成品率高。 例：(尤其)在低频信号：如地震波分析，需要过滤几Hz~几十Hz的信号，用模拟系统处理其电感器、电容器的数值，体积，重量非常大，且性能亦不能达到要求，而数字信号处理系统在这个频率处却非常优越(显示出体积，重量和性能的优点。

2.可多工处理，分时复用 利用DSP同时处理几个通道的信号。 多路器 DSP 分 路 器 同步 1 2 3 n

3.高精度、高分辨率和大动态范围 高精度 在模拟系统中，它的精度是由元件决定，模拟元器件的精度很难达到10-3以上。而数字系统中，17位字长就可达10-5精度，所以在高精度系统中，有时只能采用数字系统。

可获得高性能指标 例：对信号进行频谱分析 模拟频谱仪在频率低端只能分析到10Hz以上频率，且难于做到高分辨率(也即足够窄的带宽)。 又例：有限长冲激响应数字滤波器，则可实现准确的线性相位特性，这在模拟系统中是很难达到的。

5.1 信号数字分析的基本步骤 信号分析中的最基本和最重要的问题是如何计算以下两个积分 。 和 5.1 信号数字分析的基本步骤 信号分析中的最基本和最重要的问题是如何计算以下两个积分 。 和 其原因在于：周期信号的离散频谱、瞬变信号的连续频谱、随机信号的有限傅里叶变换及其功率谱以及相关分析等，均涉及上述积分运算。 图5-1所示为一随机信号样本，我们试用数值计算的方法来计算它的傅里叶变换。由于计算机的容量是有限的，因而只能从无限长的样本中截取一段有限区间（0 ，T）的记录，以有限傅里叶变换为基础进行分析；同时，为了能进行数值计算，还要把该区间均匀分为N等分，每等分的时间间隔 。 通常我们所测得这种电压信号x(t) 是无法用解析方法求得它们的傅里叶变换的，而只能采用数值计算方法。 这样，我们就可以利用定积分近似计算的矩形法将信号的有限傅里叶变换写为 首先，它的近似等号右边的离散求和与左边的连续积分是不同的，这是由于采样间隔 ∆ 非无穷小而引起的。 需要说明的是：5.1式是经近似处理的结果： 其次，参与求和运算的, 只能是数字量，而非模拟电压量。 再则，对无限长样本作了有限截断。 信号数字分析对原信号所做的这些处理和近似而引入的问题。 T N 图5-1 随机信号样本

由以上分析可知：信号数字处理的基本步骤可以表示为以下框图（图5-2） 信号数字分析的基本步骤 由以上分析可知：信号数字处理的基本步骤可以表示为以下框图（图5-2） 抗频混滤波器 幅值适调 采样保持 幅值量化和编码 运算分析 显示输出 模拟信号预处理 模拟数字转换 数字分析 a.电压幅值调理 b.抗混滤波 c.隔直 d.对调制信号解调 a.截断为计算机能处理的有限长数据段 b.加窗（选择不同的窗函数对信号加权） c.剔除野点 d.消除趋势项 e.0均值化处理 它由三部分工作组成： 1．模拟信号预处理 2．模拟/数字转换 3．数字分析 （1）信号准备 （2）数值计算 4. 输出、显示

- 5.2 模拟－数字转换原理与采样定理 一、信号的离散采样与量化 5.2 模拟－数字转换原理与采样定理 一、信号的离散采样与量化 离散采样是在时间上对连续的时间信号进行离散化处理的过程。从数学的角度讲，对连续信号 以采样间隔∆采样，相当于 与周期为∆强度为1的均匀脉冲序列 相乘即 相乘的结果仍然是一个按∆间隔均匀分布的脉冲序列，但其强度被 调制了。这个被调制的脉冲序列相当于 。 离散采样的物理实现可以由以下电路完成 T N 图5-1 随机信号样本 + - 采样脉冲p k c 至量化器 输入跟随器 输出跟随器 触发电路 时基发生电路 1. 采样保持电路 2. 时基发生电路 3. 触发电路

5.2.2 幅值量化 数字信号的数值大小不可能象模拟信号那样是连续的，而只能是某个最小数量单位的整数倍，这个最小单位叫量化增量，用q表示。 5.2.2 幅值量化 数字信号的数值大小不可能象模拟信号那样是连续的，而只能是某个最小数量单位的整数倍，这个最小单位叫量化增量，用q表示。 采样保持器的输出是时域离散、幅值连续的信号，各采样点的电压值要经量化过程才能最终变换成数字信号。 在某一时刻 的采样值 可以近似表示为量化增量 q 与某个整数 z 的乘积，即 z 则代表了 ，（ z 为正负整数）模拟电压量转变成了数字量。量化的结果是整数z，用二进制代码表示，这些代码就是量化器的输出。 q x(n) 量化的实现，是由A/D转换器 完成的。 如果A/D转换位数为m，电压满标度值为V0，则量化增量：

那么，到底如何选择离散间隔才是合理的呢？ (1) 正弦波采样定理 时域采样定理将给出选择采样间隔，即采样频率的准则。 5.2.2 采样定理 离散采样把连续信号变为离散序列的过程，也就是以间隔去对模拟信号抽样，如下图所示．直观告诉我们：过大的会丢失信号的细节， 越小离散后得到的信号将会越接近原模拟信号，但越小，在相同样本长度T下，数据点数N会越大，使分析运算量加大；况且，“小”是没有下限的， 那么，到底如何选择离散间隔才是合理的呢？ (1) 正弦波采样定理 时域采样定理将给出选择采样间隔，即采样频率的准则。 　　在下面的论述中，我们先给出两个预备命题，即正弦波采样定理和频域采样定理，再讨论一般连续波采样定理－时域采样定理。 设一正弦信号为 　　由傅里叶分析的基本原理知道，一个连续信号可以表示为一系列正弦信号的叠加。因此，我们先讨论简单的正弦波采样条件。 对此正弦波以间隔采样，得离散信号 　　当采样间隔小于正弦波s(t)的二分之一个周期时，在正弦波的一个周期内，至少有三个样值s(0),s()和s(-)，见图5-5。将这三个采样值代入式(5-4)可得方程组： 　　如果能用离散信号s(n)唯一地确定连续信号s(t)的三要素A、f、，我们就可以认为，离散信号能表示连续信号，由离散值能恢复出整个连续正弦波。 思考当采样间隔小于正弦波s(t)的二分之一个周期时的采样情况 　　这组方程可以唯一地求解出A、f、。从而由正弦波s(t)一个周期内的三个采样值可恢复出连续信号自身；反之，如果条件 或 得不到满足，则方程无确定解，由采样值无法恢复原信号s(t) T N 图5-1 随机信号样本 t - A    S(-) S(0)

　　对于正弦波　　　　　　　　　，其中f  0，按采样间隔采样得到离散信号s(n)，则： 上述分析可以归纳成如下正弦波采样定理： （1）当  T/2 时(fs > 2f），由离散信号s(n) 可以唯一地确定正弦波 s(t)； (2) 频域采样定理 （2）当 T/2时，由离散信号s(n)不能唯一地确定正弦波s(t)，亦即不能确切地恢复原始正弦波s(t)。 时域有限信号x(t)，0tT， 它的频谱是连续的，其频谱密度函数为： (5-5) 将x(t) 以周期T延拓为周期信号　　，其离散频谱为： (5-6) 对比式(5-5)和式(5-6)，并注意到f0=1/T，得 周期信号的傅里叶级数展开式可写为 　　在0 t  T的范围，x(t)和 是完全相等的，所以时域有限信号也可用傅里叶级数表示为如下形式 (5-9) (5-10)

　　可见，时域有限信号x(t)不但可以由它的连续频谱X(f)通过积分变换恢复（见式（5-10）），而且还可以由其连续频谱的离散采样序列X(nf0)，f0=1/T，以级数形式叠加而得（见式（5-9））。前一种情况，连续频谱X(f) 的值缺一不可；在后一种情况下，连续频谱X(f)中，只有以f0=1/T为频率间隔采样所得的离散值是必须的，其它数据是冗余的。 如果把式(5-9)代入式(5-5)，可以得出 　　此积分结果为 （5-11） 　　把上面的分析结果总结起来，就得到如下频域采样定理： 　　设时域有限信号x(t), 0 t  T，的连续频谱为X(f)，则以1/T为频率间 隔对X(f)采样得，　　　，　　　　　，　由这些离散值　　　　不 仅可以恢复出在（0，T）上的信号x(t)，（见关系式(5-9)，而且还可以恢复出连续频谱X(f)，（见关系式（5-11））。

(3)．时域采样定理 对一般的连续信号x(t)，可以表示为无穷多个谐波分量的叠加，其中频率为f的谐波分量的幅值和初相位由其频谱X(f)表示。对于某一频率f，只要 |X(f)|≠0，则采样频率fs都必须满足fs > 2 f 的条件。要由x(n⊿)恢复出x(t)，信号的频谱X(f) 和采样间隔⊿必须同时满足以下两个条件： （1）X(f)是频域有限信号，其截频为fc，即当 | f | ≧fc 时， X(f)＝0 (5-12) （2）fs ≧2fc 或 ⊿≦1/2fc (5-13) 如果x(t)的频率范围无限宽，也就是|X(f)||f→∞≠0，那么就只能取fs =∞，亦即，⊿=0。在这种条件下，离散采样是不可能实现,如果不满足⊿≦1/2fc，则信号的部分频率成分将不能确定，因此要由x(n⊿)恢复出x(t)，信号的频谱X(f) 和采样间隔⊿必须同时满足以上两个条件。

可以证明:如果满足式(5-12) 、式(5-13) 的条件，由连续信号x(t)的离散采样序列x(n⊿)可以唯一地确定连续频谱X(f)。 (5-16) 而且由该离散序列x(n⊿)可以恢复原连续信号x(t)。 (5-17) 把上面的分析结果归纳为如下定理： 一个在频率 fc 以上没有频率分量的有限带宽信号，可以由它小于或等于 1/2fc 的均匀间隔（⊿≦1/2fc，⊿≧2f ）上的采样值唯一确定。这个定理称为时域采样定理。 时域采样定理说明离散信号x(n⊿)包含了关于x(t)的全部信息。

时域采样定理和频域采样定理清楚地表明了信号在时域和频域内的对应关系： 一个在（0，T）区间的时域有限信号，可以由频率采样间隔⊿f ≦1/T的频谱离散采样序列确定； 一个在( －f c ，fc)区间的频域有限信号，可以由时间采样间隔⊿≦1/2fc的时间信号离散采样序列确定。 采样定理说明了，在一定条件，连续信号中只需取一序列离散点，就能包含连续信号的全部数据这样一个重要原理。

５.２.4 频率混叠现象及其防止 被分析的信号可能回会出现以下两种情况： １）被分析的信号不存在截止频率 fc ，这种信号叫做非限带信号。 ５.２.4 频率混叠现象及其防止 　　被分析的信号可能回会出现以下两种情况： １）被分析的信号不存在截止频率 fc ，这种信号叫做非限带信号。 ２）被分析的信号虽存在截频fc，但fｓ <　2 fc ； 下面我们讨论离散信号的频谱的特征： -fc fc |X(f)| t 2 fc －2 fc -fc fc -fs fs …… f t  -fc fc -fc fc -fc fc …… f -fs fs t -fc fc -fc fc -fc fc f -fs fs ……

由于Δ的不同，同一个X(f)可以叠加出不同的XΔ(f)。换句话说，同一个连续信号x(t)，由于采样间隔不同而得到的x(nt)具有不同的频谱， 　　从以上分析可以看出，离散信号的频谱XΔ(f)是由无穷多个X(f)以fs为间隔（或者是周期），在频率轴上叠加而成，XΔ(f)是一个频域周期函数。 它的频谱与连续信号的频谱X(f)有如，下关系： 　　由于Δ的不同，同一个X(f)可以叠加出不同的XΔ(f)。换句话说，同一个连续信号x(t)，由于采样间隔不同而得到的x(nt)具有不同的频谱， 采样频率的二分之一是一个重要的参数，我们称它为奈魁斯特（Nyquist）频率，记为 fN 离散信号的频谱所能表达的最高频率就是奈魁斯特频率。如果时间信号有频率上限fc，且 fN fc ，那么在±fN的频率范围内，离散信号的频谱与连续信号的频谱是完全相等的，可以用对离散信号的分析来代替对连续信号的分析。这就是时域采样定理所表达的原则。 -fc fs fc fs /2

如果被分析的信号不存在截止频率 fc f |X(f)| -fN fN f |X(f)| fN -fN f |X(f)| |X(f)| 　　 通过以上分析可知：当被分析的信号出现以上两种情况时，由于离散采样而使得信号的频谱X（f）在重构时产生频谱的重叠形成与X（f）完全不同的新的频谱，造成频谱失真，因此，我们将不能从这个失真的频谱找出原频谱也不能通过傅里叶逆变换恢复原信号x（t）。这种因采样频率过低或因信号非带宽有限而造成重构频谱重叠致使频谱失真的现象，称为频率混叠现象。

频率混叠现象实质上是把X(f)的高于fN的成分以fN为分界折叠到低于fN的低频部分，故频率混叠也称为频率折叠，见图5-9。 f |X(f)| |X(f)| 如何避免和减少频混误差? 　　解决这个问题有以下两条途径： 　　1．选用尽可能高的采样频率 理论上信号的频率范围可能会无限延伸，但实际的工程信号，是事实上的有限带宽。随着 f 的增加，X|(f)|是衰减的。当采样频率 fs 足够大时，奈魁斯特频率以外的频谱幅值 |X(f)|f>fs 小到可以忽略不计。这时，折叠到(-fN ， fN)范围内的高频分量可以忽略不计，从而减小了频混误差。 　　2．在离散采样前对被分析的模拟信号进行有限带宽处理 在分析实际工程信号时，往往只对其中一定频率范围内的频谱感兴趣，这时可用低通滤波器对模拟信号进行预处理，滤除高频成分和干扰，人为地使信号带宽限制在一定的范围内。这种预处理称为抗频混滤波 信号经抗频混滤波后，带宽为已知，可根据采样定理合理地选择采样频率。由于实际使用的抗频混低通滤波器不具有理想的截止特性，阻带内的频率分量只是受到极大的衰减并没有被完全滤除，特别是在过渡带。所以，一般选择采样频率为抗频混低通滤波器名义上截止频率的2.5～4倍，视滤波器的截止特性而定。

　 5.3.1 截断与泄漏 数字分析和处理是针对数据块进行的。模数转换输出的数字串xn先要被分为一串串序列点数相等的数据块，而后再一块一块地参与运算。设每个数据块的数据点数为N，在采样频率一经确定后，每个数据块所表示的实际信号长度是一个有限的确定值 T = N= N/fs 。 时域截断它相当于通过一个长度有限的时间窗口去观察信号，因而又叫做加（时）窗。 下面我们以余弦函数和矩形时窗为例表明加窗（即截断）的含义。 这个截取有限长度段信号的过程称为对信号的时域截断 余弦信号的波形如图： 余弦信号的频谱为 　　矩形窗的波形为： 　　加窗，也就是将信号函数与时窗函数相乘。（不加窗也意味着加矩形窗 　　根据傅里叶变换的卷积特性，截断加窗信号的频谱等于原信号的频谱与时窗频谱（称为谱窗）的卷积，亦即 1 (a) t 1 (b) t 1 (b) t 见图5-12 (a) 。 t 1 (c)

　　原余弦信号的能量仅存在于f1的孤立点上，而经截断后，在  f1 的两侧出现了频率分量。截断信号的能量扩散到了理论上无穷宽的频带中去，这种现象被形象地称为泄漏。 　　如果增大截断长度T，则谱窗的主瓣的宽度将变窄，虽在理论上其频谱范围仍为无穷，但实际泄漏误差将减小。当窗宽T趋于无穷大时，Wr(f)将变为频域脉冲函数(f)，它与余弦函数的频谱的卷积仍为余弦函数的频谱。这就说明，如果不截断就没有泄漏误差。 　　泄漏导致谱分析时出现两个主要问题： T (b) T (b) (a) -f1 f1 　　①降低了谱分析的频率分辨力。由于谱窗的主瓣有一定的宽度，当被分析信号中的两个频率分量靠得很近，频率差小于主瓣带宽时，从截断信号的频谱中就难以将它们区别开来。 T (b) 　　②由于谱窗具有无限延伸的旁瓣，就等于在频谱中引入了虚假的频率分量。在数字信号分析流程中，先进行模拟数字转换，而后按相同的点数N对数据分段，亦即截断加窗是在A / D变换之后进行的。既使x(t)是有限带宽信号，采样频率的选择也遵从采样定理，一经截断信号带宽必然无限延伸，频混势必发生，所以泄漏又会加大频混误差。 (c) -f1 f1 防止泄漏的方法 1. 增加窗长 2. 选择主瓣窄而旁瓣小的优质时窗 3. 对周期信号实行整周期截断

5.3.2 常用窗函数及其特性 1．矩形窗 2 ．三角窗 3 ．汉宁窗 几种窗函数的对比： 5.3.2 常用窗函数及其特性 1．矩形窗 T (b) 1 (b) t 2 ．三角窗 (a) Wh ( t ) t T 3 ．汉宁窗 几种窗函数的对比： 主瓣高 旁瓣高 第一旁瓣相对主瓣衰减率 旁瓣相对主瓣衰减率 1．矩形窗 1 0.24 - 13dB - 6dB/10倍频程 2 ．三角窗 1/2 0.044 - 27dB - 12dB/10倍频程 3. 汉宁窗 1/2 0.025 - 32dB - 18dB/10倍频程

矩形加窗即不加窗，是一种广泛使用的时窗。矩形窗的优点是主瓣宽度窄；缺点是旁瓣较高，泄漏较为严重。 　　在特定条件下，矩形窗也可用于周期信号的加窗，如果矩形窗的宽度能正好等于周期信号的整数个周期时，泄漏可以完全避免。 　　但这是以降低频率分辨力为代价而得到的。图5-14所示为同一正弦信号分别加汉宁窗和矩形窗后计算出的频谱（窗宽不是正弦信号周期的整数倍），该图清楚地显示汉宁窗减少泄漏误差的效果（幅值以对数座标显示）。正弦信号截断后直接做谱分析（加矩形窗）泄漏十分明显，理论上的单一谱线向两端无限扩散。加汉宁窗后泄漏明显受到抑制，频谱底部的杂乱噪声谱线幅值很小。 　　汉宁窗具有较好的综合特性，它的旁瓣小而且衰减快，适用于功率信号（如随机信号和周期信号）的截断与加窗。这种两端为零的平滑窗函数可以消除截断时信号始末点的不连续性，大大减少截断对谱分析的干扰。 矩形窗可用于脉冲信号的加窗。调节其窗宽，使之等于或稍大于脉冲的宽度（也称为脉冲窗），不仅不会产生泄漏，而且可以排除脉冲宽度外的噪声干扰，提高分析信噪比。 t (b) x( t )Wh ( t-T/2 ) (a) Wh ( t ) 3. 指数窗 指数衰减窗函数 ： 　理论分析和实验表明，很多系统受到瞬态脉冲激励时，会产生一种确定性的，并最终衰减为零的振荡，衰减的快慢取决于系统的阻尼。 　　如果用矩形窗截取衰减振荡信号，由于时窗宽T受各种因素影响不能太长，信号末端的代表小阻尼模态的信号段会被丢失。汉宁窗起始处为零和很小，会破坏信号重要的始端数据。这种情况比较合适的是采用指数衰减窗，将其与衰减振荡相乘，人为地加快信号的衰减。

5.4 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法FFT   5.4.1 离散傅里叶变换原理 -T T -2fc 2fc 5.4.2 DFT的周期性和共轭性 5.4.3 离散傅里叶变换对的说明 时 域 频 域 -fc fc -T T -2fc 2fc 5.4.4 以DFT为基础的信号 数字分析

5.4.5 快速傅里叶变换FFT简介 离散傅里叶变换对如下 以上离散傅里叶变换对，提供了用数值计算的方法对信号进行傅里叶变换的依据。但是， 若用常规方法进行计算，工作量是十分惊人。 以正变换为例，计算一个值，要作N次复数乘法和(N-1)次复数加法。而计算全部N个值，则需作N2次乘法和N（N-1）次加法。若点数N＝1024，乘法次数高达10242=1048678次，其计算工作量之浩繁，也就可想而知了。 所以，尽管DFT理论提出多年，在一段期内，其应用只限于某些数据的事后处理，在速度和成本上都赶不上模拟系统，其应用价值相当有限。多年来，人们一直在寻找一种快速简便的算法，使DFT不仅在原理上成立，而且能付诸实施。1965年，Cooley J.W. 和Tukey J.W. 提出了一种快速通用的DFT计算方法，编出了使用这个方法的第一个程序。此算法称为快速傅里叶变换即FFT。它的出现极大地提高了DFT的计算速度，被广泛地应用于各个技术领域，使科学分析的许多面貌完全改观。 FFT的 基本原理是充分利用已有的计算结果，避免常规DFT运算中的大量重复计算，提高计算效率，缩短运算时间。 设有一N点离散序列xn，根据式(5-38)，它的DFT为 在此DFT计算式中，存在着大量的重复计算。为便于讨论，引入记号 (5-56)于是xn的DFT可简写为 式中的相位因子 有三个重要性质， 1 周期性： 2 对称性： 3 换底公式 ： 利用 的这些性质，可以避免DFT计算式（5-57）中的很多不必要的重复运算，减少计算量，加快DFT的运算速度。

将等幅调频波 ef 输入，在回路的谐振频率 fn 处线圈L1、 L2中的耦合电流最大，副边输出电压ea也最大。ef 频率离开fn ， ea也随之下降。 ea的频率虽然和ef保持一致，但幅值ea却随频率而变化。 随着测量参数 ea的变化，幅值随调频波频率而近似线性变化，调频波ef的频率却和测量参数保持近似线性关系。因此，把ea进行幅值检波就能获得测量参数变化的信息，且保持近似线性关系。

fc -fc X(t) |X(f)| t f -fc fc  f fc=1/  fc -fc fc -fc fc -fc t fc -fc fc -fc fc -fc -fc fc -fs fs t