第 5 章 电容元件和电感元件 1 电容元件 2 电感元件 3 耦合电感 4 理想变压器

电容构成原理 d 金属极板 面积 A 图5.1 电容的基本构成 C=εA/d 电容的电路符号 一般电容 可变电容 电解电容

实际电容器示例 图 5.3a 固 定 电 容 器 图 5.3b 可 变 电 容 器 电解电容器 瓷质电容器 聚丙烯膜电容器 管式空气可调电容器 片式空气可调电容器 图 5.3b 可 变 电 容 器

线性电容元件： 当电容器填充线性介质时，正极板上存储的电荷量q与极板间电压u 成正比 第一节 电容元件 线性电容元件： 当电容器填充线性介质时，正极板上存储的电荷量q与极板间电压u 成正比 电容[系数]，单位：F(法拉) 。常用单位有μF(微法10-6F) 及pF(皮法10-12F) 。 在 u、q 取关联参考方向且 C 是正值时，线性电容的电路符号和它的电荷、电压关系曲线如图 5.4 所示。 图5.4 线性电容电路符号和特性

线性电容元件的伏安关系方程： 可见线性电容的端口电流并不取决于当前时刻电压，而与端口电压的时间变化率成正比，所以电容是一种动态元件。 （电容元件的VAR方程） 可见线性电容的端口电流并不取决于当前时刻电压，而与端口电压的时间变化率成正比，所以电容是一种动态元件。 已知电流 i，求电荷 q ，反映了电荷量的存储过程。 物理意义：t时刻电容上的电荷量是t时刻以前由电流充电（或放电）而积累起来的。所以某一瞬时的电荷量不能由该瞬时的电流值来确定，而必须考虑此刻以前全部电流的“历史”，所以电容也属于记忆元件。对于线性电容有

线性电容的功率 在关联参考方向下，输入线性电容端口的功率： 当u(t)↑ → 储能↑ 也即吸收能量→吸收功率 电容存储的电场能量 当u(t)↑ → 储能↑ 也即吸收能量→吸收功率 当u(t)↓ → 储能↓ 也即释放能量→发出功率

综上所述，电容是一种动态、记忆、储能、无损、无源元件。 线性电容存储的能量（电能） 电容的输入功率与能量变化关系为: 电容储能随时间的增加率 反之截止到 t 瞬间，从外部输入电容的能量为 ： 假设 所以电容是储能元件。 电容吸收的总能量全部储存在电场中，没有产生能量损耗，所以电容又是无损元件。 从全过程来看，电容本身不能提供任何能量，电容又是无源元件。。 综上所述，电容是一种动态、记忆、储能、无损、无源元件。

如果关注从某一起始时刻t0之后的电容情况，可以将t0时刻的电压记为u(t0)，由式（5.6）可以求出t0以后的电压与电流的关系。 由式（5.10）可见，电压u(t0)代表了t0时刻以前全部电流对电压的影响，称为电容的初始电压或初始状态。q(t0)代表了t0时刻以前全部电流对电容电荷量的影响，称为电容的初始电荷量或初始状态。

[书后习题5.3] 图示RC串联电路，设uC(0)=0，i ( t )=I e-t /RC。求在0<t<∞时间内电阻消耗的电能和电容存储的电能，并比较二者大小。 [解] 电阻消耗的电能为 习题5.3 i R _ + C u 电容最终储存的电荷为 电容最终储能为 由此可知

电容的使用： 除了要关注其电容值外，还要注意它的额定电压。若外加电压超过额定电压，电容可能会因介质被击穿而损坏。为了提高电容承受的电压，可将若干电容串联起来使用（串联分压），如图5.5(a)所示。 图 5.5(a) 电容的串联

电容的串联 设在串联前电容上无电荷（初始状态为0），根据KVL及电容元件的电压－电流关系得 ： 图 5.5(a) 电容的串联 电容的串联 设在串联前电容上无电荷（初始状态为0），根据KVL及电容元件的电压－电流关系得 ： 串联等效电容的倒数等于各电容的倒数之和，如图5.5(b)所示。

电容的并联 为了得到电容值较大的电容，可将若干电容并联起来使用，如图5.6(a)所示。 由于并联电容的总电荷等于各电容的电荷量之和，即 因此并联等效电容等于各电容之和，等效电路如图 5.6(b)所示 注意：如果在并联或串联前电容上存在电荷（初始状态不等于0），则除了等效电容外，还必须计算等效电容的初始电荷或初始电压。

图示电路，设 ， ，电路处于直流工作状态。计算两个电容各自储存的电场能量。 在直流电路中电容相当于开路，据此求得电容电压分别为 所以两个电容储存的电场能量分别为

设 0.2F 电容流过的电流波形如图 (a)所示，已知 。试计算电容电压的变化规律并画出波形。 (1) ： ，电容充电 电容电压计算如下

(2) ： ，电容放电 (3) ：此时 ，电容电压保持不变， 电容电压的变化规律波形如右图

电感线圈原理 尽管实际的电感线圈形状各异，但其共性都是线圈中通过电流 i，在其周围激发磁场(magnetic filed)，从而在线圈中形成与电流相交链的磁通(flux)Φ （两者的方向遵循右手螺旋法则），与每匝线圈交链的磁通之和，称为线圈的磁链ψ ，单位韦伯Wb。 图5.10 电感线圈原理示意图 N为线圈匝数； 为磁导率； A为线圈横截面积； 为线圈长度； L为电感(系数)。

实际的电感线圈 图5.9 几种实际电感线圈示例

电感元件的电路符号 图5.11 线性电感的符号 可调电感 固定电感

线性电感元件： 如果线圈的磁场存在于线性介质中，称为线性电感元件。线性电感元件的磁链与电流成正比（当磁链与电流符合右手螺旋法则时）。 电感[系数](inductance)。单位亨[利] (符号H ) 对应的磁链－电流关系是一条通过原点的直线且位于Ⅰ、Ⅲ象限。

线性电感元件的伏安关系方程： 根据电磁感应定律和楞茨定律，当电压、电流为关联参考方向，并且电流与磁通的参考方向遵循右螺旋法则时，端口电压 u 与磁链的关系如下： 对于线性电感元件，其端口的伏安关系特性方程为： 线性电感的端口电压与端口电流的时间变化率成正比，所以电感也属于动态元件。

即若已知电压求磁链或电流，则： 电感中某一瞬间t的磁链和电流决定于此瞬间t以前全过程的电压，因此电感也属于记忆元件。Ψ(to)与i(to) 分别是电感的初始磁链和初始电流，也可称为电感的初始状态。

综上所述，电感也是一种动态、记忆、储能、无损、无源元件。 线性电感的功率和能量 线性电感吸收的功率为 电感存储的磁场能量（ ） 截止到 t 时刻电感吸收的能量为: 电感也是储能元件。 电感吸收的总能量全部储存在磁场中，所以电感又是无损元件。 从全过程来看，电感本身不能提供任何能量，电感又是无源元件。。 综上所述，电感也是一种动态、记忆、储能、无损、无源元件。

电感的串联 电感也可以串联或并联。仿照电容串、并联电路的分析可知：电感串联时，等效电感等于各电感之和，即 图5.12 电感的串联等效

电感的并联 电感并联时，等效电感的倒数等于各电感倒数之和，即 图5.13 电感的并联等效 注意：如果在串联或并联之前电感存在一定的磁链或电流（初始状态不等于0）。则除了等效电感外，还必须计算等效电感的初始磁链或初始电流。

电路如图 (a)所示， 0.1H电感通以图 (b)所示的电流。求时间 电感电压、吸收功率及储存能量的变化规律。 根据电流的变化规律，分段计算如下 图5.14 例题5.3

电压、功率及能量均为零。 各时段的电压、功率及能量的变化规律如右图 (c)、(d)、(e)所示。 小结：本题可见，电流源的端电压决定于外电路，即决定于电感。而电感电压与电流的变化率成正比。因而当 时，虽然电流最大，电压却为零。

当几个线圈之间存在着磁耦合，便形成了多端口电感。本节只讨论二端口电感，习惯上称为互感[元件] ，如图5.15所示。 (a) 11 y 21 1 i L 2 - + u 3 4 (b) 22 y 12 2 i 1 L - + u 3 4 图5.15 两个线圈的磁耦合

图5.15 两个线圈的磁耦合 11 y 21 1 i L 2 - + u 3 4 22 12 自感应磁链 互感应磁链

每一线圈的总磁链是自感磁链和互感磁链代数和。在线性条件下，自感磁链和互感磁链均正比于激发它们的电流 ，设电流与自感磁链的参考方向符合右手螺旋关系，则 式中互感磁链前正负号，由自感磁链和互感磁链的方向而定 ，一致取 “ + ” ；否则取 “ – ” — 自感； 简写成 — 互感； 一般实际线圈

在图5.16a中，可判断自感磁链和互感磁链的方向是相同或相反。 将实际线圈抽象成图5.16(b)所示的电路模型时，无法判断自感磁链和互感磁链的方向，此时，就要靠电流流进或流出同名端(用*表示)来判断互感磁链的+或 -。

同名端的定义 当两个电流分别流入或流出两个线圈的两个端子时，如果在两个线圈中所激发的自感磁链和互感磁链方向一致，则两个线圈电流分别流入或流出的那对端子为一对同名端，用*号标注。 或者换言之，当两个端口电流分别流入或流出同名端，则它们所激发的自感磁链和互感磁链方向一致（总磁链增加），互感磁链取正号；当两个端口电流分别是从非同名端（异名端）流入或流出时，则它们所激发的自感磁链与互感磁链方向相反（总磁链减少），互感磁链取负号。

互感元件的伏安关系方程 根据电磁感应定律，在端口电压、电流为关联参考方向，并且自感磁通与电流符合右手螺旋关系时，互感元件的电压电流方程为 若式中 u1、i1 或 u2、i2 的参考方向相反，则 L1 或 L2 前应添入负号（自感电压为负）；若u1、 i2 或 u2、 i1 的参考方向相对星标 * 是相同的，则 M 前取正号，否则应取负号。

同名端的判断： 若一端口电流流入该端口线圈的同名端，那么它在另一端口线圈的同名端处，所产生的互感电压极性为正；否则极性为负。根据这一原理，在实验中，使某线圈流入递增电流，通过测试另一线圈互感电压的极性便可找出同名端。

列出图示两个互感元件的特性方程 采用逐项判断法列写互感方程。

基于相似分析，图（b）所示互感元件的特性方程。

互感的功率 在u、i为关联参考方向下 互感的能量 输入互感的总能量将全部转化为磁场能量，磁能

互感的耦合系数 如果没有磁耦合，M=0，磁能就是两个自感元件分别储能之和。存在磁耦合时，要增减一项Mi1i2，增与减要视互感的作用是使磁场增强还是使磁场减弱而定。 定义耦合系数 用来衡量互感耦合的程度

含互感元件电路的联接 1 互感元件的串联 电流从异名端流入 电流从同名端流入 →反串(或反接) →正串(或顺接) 图5.18 a 图5.18 b 图5.18 c 电流从同名端流入 →正串(或顺接) 电流从异名端流入 →反串(或反接)

注：正串2M前取正，等效电感大于两自感之和； 反串2M前取负，等效电感小于两自感之和。 图5.18 c 由此可得串联等效电感如图5.18c所示 注：正串2M前取正，等效电感大于两自感之和； 反串2M前取负，等效电感小于两自感之和。

2 互感元件的并联 图5.19(a)表示两个同名端并联相接。为求其等效电路，分别列KCL和KVL方程：

（3）代入（1）得： （3）代（2）得： 由此消去互感的等效电路如图5. 19(b) 等效电感

如无需计算电流 ，根据电感的串、并联等效，图5.19(b)可进一步等效成一个电感，如图5.19(c) 等效电感 同理，异名端并联联接时的总等效电感为

对于实际的耦合线圈，无论何种串联或何种并联，其等效电感均为正值，所以自感和互感满足如下关系： 耦合系数满足

如图5.20(a)所示，图5.20(b)是不含磁耦合的等效电路。 3 互感线圈的T型等效 如图5.20(a)所示，图5.20(b)是不含磁耦合的等效电路。 图5.20 互感的T型等效电路 * * 由于耦合线圈含有电阻，在较接近实际的电路模型中两自感都含有串联电阻。 其等效电感的计算与式(5.36)相同。就是说，即便模型中含有串联电阻，也可以通过这种方法来消除互感，得到无互感等效电路。 图5.20(b)中各等效电感为

一个实际耦合电感，例如空心变压器(一种绕在非铁磁材料上的变压器)，一般需要考虑绕组电阻，此时可用带有串联等效电阻的互感来表示其电路模型，如图5.21所示。 图中u1与i2参考方向相对星标*是相反的，u2与i1也是相反的，故M前均应取负号，端口特性方程将是：

+ - 理想变压器是实际电磁耦合元件的一种理想化模型，如图 5.22 和 5.23所示。 N i u ' Φ l 原边 副边 1 N 2 i u + - 图5.22 变压器示意图 l 原边 副边 ' Φ

理想化认为 理想变压器的端口伏安关系方程 1) 铁心的磁导率 2)每个线圈的漏磁通为零,即两个线圈为全耦合 3)线圈电阻为零, 端口电压等于感应电动势 4)铁心的损耗为零 理想变压器的端口伏安关系方程 变比（匝数比）

理想变压器的端口伏安关系方程： 1）若在两个同名端处，两个端口电压u1和u2的极性相同（同时为正或负）， 则： 否则： 则： 否则： 2）若两个端口电流i1和i2同时流进或流出两个同名端， 则： 否则：

图5.24 同名端与理想变压器端口方程的关系示例 对应的VAR特性方程分别为：

理想变压器的功率 变压器元件不仅是无源的，而且每一瞬间输入功率等于输出功率，即传输过程中既无能量的损耗，也无能量的存储，属于非能元件。

变压器的电阻变换 变压器输入端口等效电阻为 当理想变压器输出端口接电阻 时， 折算到输入端口的等效电阻为 ， 如图5.25(b)所示。

[书后习题5.16] 图示电路中，要求 ,变比n应为多少? 由变压器特性方程可知 将式(1)代入式(2)，考虑到 ，可得 对左回路应用KVL方程

本章小结 首先介绍电容和电感这两个重要的动态元件； 然后介绍互感元件这个磁耦合元件； 接着介绍理想变压器； 通过本章学习，应掌握上述各个动态元件的伏安特性关系方程，它们的功率和能量，以及各种联接方式的分析。