3 貨幣的時間價值

學習重點 了解貨幣的時間價值 認識利率與現值及終值的關係 理解現值與終值的意義與計算 認識年金的觀念與種類

學習重點 計算不同種類的年金終值與現值 理解複利效果及有效年利率 學習淨現值的意義與計算 探討淨現值與投資決策的關係 運用 EXCEL 試算表

利率 ─ 單利 假設在今年初，阿凱決定在甲銀行存入新台幣 1,000元兩年，銀行每年提供10%的年利率 情況1：每年年底把利息領出 即為單利 (Simple Interest) 利息=本金×利率=1,000×10%=100 小毅第一年投資總價值為： 本金×(1+r)=1,000×(1+0.1)=1,100

利率 ─ 複利 假設在今年初，阿凱決定在甲銀行存入新台幣 1,000元兩年，銀行每年提供10%的年利率 情況2：把第一年的利息加入下年的本金 即為複利 (Compound Interest) 兩年後的總利息 =(1,000×0.1)+[1,000×(1+ 0.1)]×0.1=210 小毅兩年後的投資總價值為： 本金×(1+r)×(1+r)=1,000×(1+0.1)^2 =1,210

單利與複利的比較 我們來分析此算式的意義，也就是複利的影響。 假設阿凱決定這兩年只利用存款利率來獲得報酬。 情況 1：單利 假設阿凱決定在每年年底把利息領出，則兩年內阿 凱可得到的總利息為新臺幣 200 元 (1,000 元×0.1) ×2 = 200 元

單利與複利的比較 在投資期間與利率相同情況下，不同利率計算方 式有不同報酬。 情況 2：複利 假設阿凱決定把第一年利息加入下一年本金，則兩 年後總利息為 210 元： 1,000 元×0.1 + 1,000 元× 1 + 0.1 ×0.1 = 210 元 > 200 在投資期間與利率相同情況下，不同利率計算方 式有不同報酬。 在單利情況下，利息沒有被再投資；但在複利情 況下，利息被再計算，也就是「錢滾錢」。

終值 (Future Value) 複利的終值之一般式： FV為終值，PV為期初本金，r為利率，n為期數 (1+ r)n 稱為終值因子(Future Value Interest Factor， 簡寫FVIFr, n)

範例3-1 終值的應用

範例3-1 終值的應用

範例3-1 終值的應用

現值 (Present Value) 了解複利的威力後，阿凱想在甲銀行存入一筆錢， 計畫用銀行提供的利率，預期兩年後獲得 1,000 元。那麼阿凱現在應該存入多少錢？ 阿凱煩惱的金額就是現值（Present Value），而 計算現值的過程稱為折現（Discounting）。

現值 (Present Value) 與複利計息相反。以折現方式計算現值，是將未 來期間的貨幣轉換以本期貨幣來衡量。 複利計息則是將本期的貨幣轉換為以未來某特定 期間貨幣來衡量。

現值 (Present Value) 現值的一般式： r 為折現率(Discount rate) 稱為現值因子 (Present Value Interest Factor ， 簡寫PVIFr, n)或折現因子(Discount Factor )

現值 (Present Value) 因此假設利率為 10%，代入公式，可以知道阿凱 需要存入 826.45 元，才可以在兩年後獲得 1,000 元：

範例3-2 現值的應用

範例3-2 現值的應用

範例3-2 現值的應用

永續年金 (Perpetuity) 每期給付固定金額C的現金流量(Cash Flow)且無 終止給付的日期 以時間線（Time Line）來表示，以 C 表示永續年 金持有人每期所收到的固定金額給付（Cash Flow）： 時間 0 1 2 3 4 5 6 7 …………… C C C C C C C ……………

永續年金 (Perpetuity) 永續年金的現值公式： 式中最右邊的點號表示這個數列一直持續至無 限期，而 r 為利率。只要 r 大於 0，上式總和將 會收斂。

永續年金 (Perpetuity) 永續年金的價值就是未來各期固定現金流量（C）現值， 此價值決定債券持有人對持有永續年金所願支付最高價格。 永續年金持有人若每一期以所支領息票收入作為消費支出 財源，可永遠維持消費型態而不必擔心未來各期消費支出 的財源。 C / r就是為了永遠維持這種消費型態，在本期所必須提存 的金額。

範例3-3 永續年金的應用

年金 (Annuity) 一段時間內每期固定給付等額的現金流量 C，有 終止給付日期。 年金比永續年金更為普遍，如退休金、房租收入、 銀行收的貸款本息…等。

年金 (Annuity) 分為兩大類： 存入銀行的部分就是普通年金，而房租就是期初 年金。一般而言，普通年金較普遍。 普通年金 (Ordinary Annuity)： 現金流量發生在期末 期初年金 (Annuity Due)： 現金流量發生在期初 存入銀行的部分就是普通年金，而房租就是期初 年金。一般而言，普通年金較普遍。

年金的現值 一段時間內每期固定給付等額的現金流量C，有 終止給付日期。 0 1 2 3 n n+1 n+2 永續年金A C C C ….C C C ……… 永續年金B C C ……… 年金Y C C C ….C

年金的現值 永續年金A從第1期末開始給付C現金流量，其現 值為： 永續年金B則從第n+1期才開始給付C現金流量， 現值為：

年金的現值 永續年金A=永續年金B+年金Y，所以年金Y的現值 可以寫成： 為年金因子 也可以將年金的現值公式看成： 年金現值 = 每期現金流量（C）×年金因子

範例3-4 年金現值的應用

範例3-4 年金現值的應用

範例3-4 年金現值的應用

範例3-5 年金現值的應用

範例3-5 年金現值的應用

範例3-5 年金現值的應用

期初年金 年金普遍來說都是在期末才支付現金流量，而期 初就先給付現金流量的年金為期初年金。

範例3-6 期初年金

範例3-6 期初年金

貸款攤銷（Loan Amortization） 現實生活中常會遇到許多貸款攤銷的問題，例如， 房貸、車貸、助學貸款等。我們可以利用現值公 式來計算每期該還銀行多少錢。

範例3-7 貸款攤銷

範例3-7 貸款攤銷

範例3-7 貸款攤銷

複利計息頻率 目前為止，有關投資收益或現值的討論都假設 一年計息一次。若一年內複利計息次數（或折 現次數）超過一次，會對終值或現值帶來什麼 影響？ 假設甲銀行存款一年的年利率為10%，每半年複 利計息一次。阿凱於本期期初存入 1,000 元。半 年後，本金加利息的金額為：

複利計息頻率 過半年（此時存款正好滿一年），本金加利息的 金額就變為： 但是若每年複利計息一次，一年後本金加利息的 金額為： 1,000 元×(1 + 10%) = 1,100 元 比較兩者，每半年複利計息一次較每年複利計息 一次可多得 2.5 元。

複利計息頻率 複利計息和單利計息最大不同，是複利計息所創 造利息可作為未來本金再生利息 故同一期間內複利計息次數愈多，就有愈多利息， 可更早轉為本金再生利息。 若每季複利計息一次，一年後本金加利息所得金 額為： 這個金額又比每半年複利計息所得金額（1,102.5 元）為多。

複利計息頻率 複利計息頻率的公式： 期初存入C0元 r為年利率（Annual Percentage Rate） 又稱為名目利率（Stated Annual Interest Rate, SAIR) 每期複利計息m次 T期後可得金額FV

範例3-8 複利計息頻率

有效年利率（Effective Annual Interest Rate） 為了方便比較不同複利計息頻率情形下，同一期 間的平均投資報酬率，我們常以有效年利率 （EAIR）來衡量不同複利計息頻率的年平均投資 報酬率 有效年利率的公式： 年利率為 r ，每期複利計息 m 次

有效年利率 假設阿凱投資一元，名目利率為 12%，每個月計 息一次，一年後阿凱的一元會變成多少錢？ 阿凱的報酬率為 12.7%，比原本的名目利率 12%還 高，這 12.7% 就是有效年利率。 有效年利率較高的原因是名目利率沒有計算複利 計息的頻率。

範例3-9 有效年利率

有效年利率與名目利率之比較 從範例 3-9 可知，銀行可以利用增加計息頻率來 提高實質收益。 表 3.3 以名目利率 12% 為例，列出不同計息頻率 下的有效年利率。

淨現值（Net Present Value） 投資方案的淨現值（NPV），是根據方案的需要報 酬率，將收入（現金流入）折算成現值並加總後， 再減去期初投資金額。 NPV 一般式為： r 是投資方案的需要報酬率 C0 是期初投資金額 Ct 是第 t 期現金流入

淨現值 若投資方案的 NPV = 0，表示該方案的利潤等 於付出成本，沒有產生任何增加的價值。

範例3-10 淨現值

範例3-10 淨現值

範例3-10 淨現值

範例3-10 淨現值

範例3-10 淨現值

範例3-11 淨現值

範例3-11 淨現值

範例3-11 淨現值

範例3-11 淨現值