首届全国高校数学微课程教学设计竞赛 济南大学 吕洪波
矩阵的相似对角化 定义 若方阵A能与一个对角阵相似, 则称A可相似对角化. ？ ？ ？ ？
设n阶方阵A可相似对角化, 即存在可逆矩阵 P, 探究 使得 两边左乘 将P按列分块 则有 即 故 所以 线性无关. 因为 是可逆矩阵,
所以, 为A的n个特征值, 是分别对应于特征值 的n个线性无关的特征向量. 反之, 设n阶方阵A有n个线性无关的特征向量 即 令 显然 可逆. 则 所以
定理 推论1 推论2 n阶方阵A可相似对角化的充要条件是 A有n个线性无关的特征向量. 若n 阶方阵 A 的n 个特征值互不相等, 则 A可相似对角化. n阶方阵A可相似对角化的充要条件是 A的每个特征值 的重数与其对应的线性无关特征向量的个数相等. 推论2 即 若 是A的 重特征值, 则 A可相似对角化的充要条件是 的重数 =对应的线性无关特征向量的个数 =线性方程组(A-iE)x=0的基础解系所含解向量的个数 = n-R(A-iE).
注意 的对角线元素 为A的n个特征值; (1) (2) 可逆矩阵P的列向量为A的n个线性无关的特征向量.
例 解 请问A 能相似对角化吗？ 设矩阵 如果能,求出可逆矩阵P 和对角矩阵 所以 A的特征值为 由 得A可相似对角化. 当 添加 由 得A可相似对角化. 当 时,解线性方程组 求得基础解系 的线性无关的特征向量. 即为对应于
求得基础解系 当 时,解线性方程组 的线性无关的特征向量. 即为对应于 令 则
小结 矩阵相似对角化的判别和实现. 思考 矩阵相似对角化的应用.
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