第十章 机械振动和电磁振荡 §10-1 谐振动 §10-2 阻尼振动 §10-3 受迫振动 共振 §10-4 电磁振荡 第十章 机械振动和电磁振荡 §10-1 谐振动 §10-2 阻尼振动 §10-3 受迫振动 共振 §10-4 电磁振荡 §10-5 一维谐振动的合成 §10-6 二维谐振动的合成 §10-7 振动的分解 频谱 §10-8 非线性振动与混沌

§10-1 谐振动 一、谐振动的特征及其表达式 简谐振动（simple harmonic motion, SHM）： 物体运动时，离开平衡位置的位移(或角位移)按余弦(或正弦)规律随时间变化。 受力特点： 线性回复力 动力学特征

令 简谐振动的特征方程 其解为 简谐振动表达式

简谐振动的速度和加速度： vm=A 称为速度幅值 ； am=2A 称为加速度幅值 。

简谐振动的运动学特征方程

由初始条件(x0 ， v0 )求解振幅和初相位： 设 t =0时，振动位移：x = x0 振动速度：v = v0

x t 二、描述谐振动的特征量 1. 振幅(amplitude) : A （即最大位移，x=±A ） 2. 周期(period) T : 完成一次完全振动所经历的时间。 频率(frequency)  : 单位时间内完成完全振动的次数。  = 1/T 角频率 （或称圆频率） ： x t O A T

3. 相位（phase）： （ t + 0 ）——描述振动状态 初相位（initial phase） ：0 相位差：  = ( 2 t + 20 ) -(1t + 10) 对两同频率的谐振动  = 20 - 10 初相差 当 =  2k ，( k =0,1,2,…)，两振动步调相同，称同相。 当 =  (2k+1)， ( k =0,1,2,…)，两振动步调相反， 称反相。 若 0< 20- 10<，则 x2比x1较早达到正最大，称x2比x1超前 (或x1比x2落后)。

x2超前于x1 t 反相 x1 同相 x1 x x1 O x2 x x A1 A1 A2 A2 T T O O t t - A2 - A2

速度相位比位移相位超前/2。 加速度与位移反相位。

三、谐振动的旋转矢量图示法 旋转矢量 的端点在x 轴上的投影点P的位移： 逆时针转动  P x O 投影点P 的运动为简谐振动。

P 旋转矢量 的模即为简谐振动的振幅。 旋转矢量 的角速度 即为振动的角频率。 旋转矢量 的模即为简谐振动的振幅。 旋转矢量 的角速度 即为振动的角频率。 旋转矢量 与 x轴的夹角(  t + 0 )，为简谐振动的相位。 x P  O t =0 时， 与x轴的夹角0 即为简谐振动的初相位。 旋转矢量 旋转一周，P点完成一次完全振动 周期：

O x v a

例10-1 一物体沿x轴作简谐振动，振幅A=0. 12 m,周期T=2 s。当t=0时,物体的位移x=0 例10-1 一物体沿x轴作简谐振动，振幅A=0.12 m,周期T=2 s。当t=0时,物体的位移x=0.06 m,且向x 轴正向运动。求：(1)简谐振动表达式;(2) t =T/4时物体的位置、速度和加速度;(3)物体从x =-0.06 m向x 轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需时间。 解：(1) 设简谐振动表达式为 由初始条件：

简谐振动表达式： (2) 或

(3) 设在某一时刻 t1， x = -0.06 m 且向x 轴负方向运动。

设t2时刻第一次回到平衡位置

四、几种常见的谐振动 1. 单摆 重物所受合外力矩： (q 很小时) 由转动定律 令

振动表达式为 角振幅 和初相 由初始条件求得。 当q 不是很小时： 单摆周期T与角振幅的关系为 T0为 很小时单摆的周期。

2. 复摆 一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆。 q 很小时

例10-2 一质量为m 的平底船，其平均水平截面积为S，吃水深度为h，如不计水的阻力，求此船在竖直方向的振动周期。 解： 船静止时浮力与重力平衡， 船在任一位置时，以水面为坐标原点，竖直向下的坐标轴为y 轴，船的位移用y 表示。

船的位移为y 时船所受合力为 船在竖直方向做简谐振动，其角频率和周期为

五、谐振动的能量 以水平弹簧振子为例 动能 势能 机械能 简谐振动系统机械能守恒!

六、用能量法解谐振动问题 以水平弹簧振子为例 系统机械能守恒：

例10-3 劲度系数为k，原长为L，质量为 的均匀弹簧，一端固定，另一端系一质量为m ( > )的物体，在光滑水平面内做直线运动。求解其运动。 解： 当物体处于位移x 速度为v时， 弹簧元 dl 的质量为 位移为 速度为 弹簧、物体的动能分别为

系统弹性势能为 系统机械能守恒，有 常量 常量 对时间求导， 仍为简谐振动

§10-2 阻尼振动 振动物体不受任何阻力的影响，只在回复力作用下所做的振动，称为无阻尼自由振动。 在回复力和阻力作用下的振动称为阻尼振动。 阻尼：消耗振动系统能量的原因。 阻尼种类：摩擦阻尼 辐射阻尼 对在流体(液体、气体)中运动的物体，当物体速度较小时，阻力大小正比于速度，且方向相反，表示为 ：阻力系数

阻尼振动方程： 引入 阻尼因子 固有频率 在小阻尼条件下 ，微分方程的解为 其中 和 为积分常数，由初始条件决定。

余弦项表征了在弹性力和阻力作用下的周期运动； ——减幅振动 反映了阻尼对振幅的影响。 阻尼振动的周期： 阻尼振动的准周期性

阻尼振动的三种情形： 过阻尼 欠阻尼 临界阻尼

§10-3 受迫振动 共振 一、受迫振动 物体在周期性外力（驱动力）的持续作用下发生的振动称为受迫振动（forced vibration）。 驱动力： 运动方程： 设

当阻尼较小,  ＜0时, 方程的解： 暂态项 稳定项 稳定振动状态：

在稳定振动状态下，受迫振动的频率等于驱动力的频率。

稳态时振动物体速度： 在受迫振动中，周期性的驱动力对振动系统提供能量，另一方面系统又因阻尼而消耗能量，若二者相等，则系统达到稳定振动状态。

二、共振 当驱动力的角频率等于某个特定值时，位移振幅达到最大值的现象称为位移共振（displacement resonance）。

受迫振动速度在一定条件下发生共振的的现象称为速度共振（velocity resonance）。 在阻尼很小的前提下，速度共振和位移共振可以认为等同。

§10-4 电磁振荡 一、LC电路的振荡 电路中电压和电流的周期性变化称为电磁振荡。 LC振荡电路 向左合上开关，使电源给电容器充电，然后将开关接通LC 回路，出现电磁振荡效应。

电荷与电流（电场能量与磁场能量）随时间作周期性变化，且不断相互转换。若电路中无能量损耗，这种变化将一直持续下去，称为(无阻尼)自由振荡。 LC回路的振荡过程 C L +Q -Q I I +Q -Q 电荷与电流（电场能量与磁场能量）随时间作周期性变化，且不断相互转换。若电路中无能量损耗，这种变化将一直持续下去，称为(无阻尼)自由振荡。

（无阻尼）自由振荡的定量分析 设 t 时刻电容器极板上电荷量为 q，电路中电流为 i ，顺时针方向为电流正向， C L i 振荡角频率 Q0是电荷量振幅，0是振荡初相。

电荷和电流都做简谐振动，电流的振动超前电荷/2。

电场能量为 磁场能量为 电磁场总能量守恒

二、受迫振荡 电共振 LRC 电路在外加周期性电动势持续作用下产生的振荡，称为受迫振荡。 电动势： 对受迫振荡： 稳态解：

其中 当电路满足 时，电流振幅最大，称为电共振。 即 电流振幅最大值为

三、力电类比 机械振动 电磁振荡(串联电路) 位移 x 速度 v 质量 m 劲度系数 k 阻力系数  驱动力 F 弹性势能 kx2/2 动能 mv2/2 电荷 q 电流 i 电感 L 电容的倒数 1/C 电阻 R 电动势  电场能量 q2/2C 磁场能量 Li2/2

§10-5 一维谐振动的合成 一、同一直线上两个同频率谐振动的合成 某一质点同时参与两个独立的、同方向、同频率的简谐振动，其振动位移分别为 合振动： （由振动的叠加原理） 合振动仍为同方向同频率的简谐振动。

合振动： （1）若 则 （2）若 则

求合振动。 例10-3 解：

讨论

二、同一直线上两个不同频率谐振动的合成 拍 设同方向、角频率分别为 和 的两简谐振动（ > ），它们所对应的旋转矢量分别为 和 相对于 的转动角速度：

振幅： 随时间缓慢变化 谐振因子： 拍：合振动的振幅时强时弱的现象( |2-1|<< 2, 1时) 拍的周期： 拍的频率：

§10-6 二维谐振动的合成 同频率垂直简谐振动的合成 消去 t ，得 两相互垂直同频率简谐振动的合成, 其振动轨迹为一椭圆。椭圆轨迹的形状取决于振幅和相位差。

讨论几种特殊情形： y x 1. s 质点做线振动

y x 合振动的振幅： 质点做线振动

2. y x y方向振动超前于x方向 质点振动轨迹为右旋正椭圆。特别当A1=A2时，合成为右旋圆轨迹。 质点振动轨迹为左旋正椭圆。

两同频率垂直简谐振动在不同相位差时的合成

2. 当两振动频率恰成整数比时，得封闭稳定轨道， 不同频率垂直简谐振动的合成 看成 ，但相位差缓慢变化。 合运动轨迹将按不同相位差的合成图形依次缓慢变化。 2. 当两振动频率恰成整数比时，得封闭稳定轨道， 称为李萨如(Lissajous)图。

李萨如图 ωx:ωy

§10-7 振动的分解 频谱 傅里叶分析： 对周期性函数 f (t) 周期性振动可分解为一系列频率分立的简谐振动——离散频谱。 若周期性振动的频率为 0 则各分振动的频率为 0, 20, 30, (基频 , 二次谐频 , 三次谐频 , )

方波的分解 t x x1 x3 x5 x1+x3+x5+x0 x0

§10-8 非线性振动与混沌 单摆运动方程： 摆角很小时 线性微分方程 解为线性（简谐）振动： 摆角较大时 非线性微分方程 解为非线性振动。

振动物体在非线性回复力作用下所做的振动为非线性振动。 非线性方程一般没有解析解，而采用数值求解。非线性方程的解取决于方程的参数，可以是周期性的，也可以是混沌的。 混沌(chaos) 是一个非线性方程所描述的确定性系统出现的貌似不规则的运动，其特征表现为对初态的敏感性和未来的不可预见性。 混沌是回复性非周期运动。

蝴蝶效应