第二章 运用独立电流、电压变 量的分析方法 2018年9月17日

§2-1网孔分析法 在n个节点的电路中, b个支路电流是用(n-1)个KCL 方程联系的，因而给定[b-(n-1)]个电流即能确定余 下的(n-1)个电流。 第一步求解的对象必须为[b-(n-1)]个独立电流变量。 第二步用KCL解决的(n-1)个电流，使问题得到完全 解决。 使用的网孔电流可以得到一组完备的独立电流变量。

网孔电流 一个平面电路共有[b-(n-1)]个网孔，因而也有[b-(n- 1)]个网孔电流。 网孔电流可作为电路的一组独立电流变量。 电路中所有的支路电流都可以用网孔电流线性表示。

网孔方程 网孔电流不能用KCL相联系，但能根据KVL及支路 VAR为每一个网孔列写一个KVL方程，方程中的支 路电压可以通过欧姆定律用网孔电流来表示。 整理得

网孔方程一般表达式 R11、R22、R33分别称为网孔1、网孔2和网孔3的自电 阻。它们分别是各自网孔内所有电阻的总和。 R13称为网孔1与网孔3的互电阻，取负值，即R13=- R4。因为iM1和iM3以相反的方向流过公有电阻R4。 其他电阻类推。 us11、us22和us33分别为网孔1、网孔2、网孔3中各电 压源电压升的代数和。

m个网孔的电路网孔方程 具有m个网孔的电路，网孔方程的形式应为：

例 用网孔分析法求解电路的各支路电流。 已知Rl=5、R2＝10、R3＝20。 解 该电路有2个网孔，假设每一个网孔内网孔电流为iM1和iM2, 并假定它们都是顺时针方向。 第一网孔的自电阻；R11＝R1+R3＝25 第一和第二网孔的互电阻：R12=R21＝-R3＝-20 第二网孔的自电阻：R22＝R2+R3=20

解答 电源（升压为正，降压为负）： 网孔方程为： 各支路电流：

例 含电流源情况 试求流经30电阻的电流i。 解 电路含有电流源，其支路电流即为电流源的电流值，因此，流经50电阻的电流等于2A， iM2 按电流源的方向，iM2=2A。只要列出网孔1的方程即可。

例含受控源情况 用网孔法求含受控源电路中的ix(r=8)。 解 先把受控源当作独立源，按照规则写出网孔方程，再把受控源的控制量用网孔电流表示：

例 试用网孔法求电路中各电压源对电路提供的功率。 解：列方程如下 解得 各电压源提供的功率分别为：

说明 网孔电流不是支路电流，网孔电流在网孔中所有支路 上是一样的。 在含电流源的网孔中，电流源的电流值就是网孔电流 (电流源不是公共支路)，因此可以不再列此网孔方程。 对含有受控源的网孔，先将受控源看成独立电源带入 网孔方程，再把受控源的控制量用网孔电流表示。

练习题 电路中, 若R1=1、R2=3、 R3=4、Is1=0、Is2=8A、 Us=24V，试求各网孔电 流。 - u 解：因Im2=-Is1为已知，所以不必列出网孔2方程。 + 这个电流源需要假定端电压 代入Im2=0

§2-2 节点分析法 在电路中任选一个节点为参考点，其余的每一节点到 参考点的电压降，就称为这个节点的节点电压。 §2-2 节点分析法 在电路中任选一个节点为参考点，其余的每一节点到 参考点的电压降，就称为这个节点的节点电压。 节点电压是一组完备的独立电压变量。一个具有n个 节点的电路有(n-1)个节点电压。 下图所示电路有4个节点，若选节点4为参考节点，则其余3个节点分别对参考节点的电压为uN1、uN2和uN3 。

节点电压 电路中所有支路电压都 可以用节点电压线性表 示。 电路中的支路或是接在 节点与参考节点之间， 或是接在两节点之间。 一旦求得了节点电压， 所有支路电压就可根据 KVL随之而定。 因此，节点电压是完备 的。

节点方程组 在节点l、2、3运用KCL得： 由欧姆定律

节点方程组一般形式 对于只含独立电源和电阻的电路 Gii称为节点i的自电导，其为第i节点上所有电导的总和。 G12称为节点l和节点2的互电导，它是该两节点间的公有电导的负值，出现负号是由于uN1及uN2都假定为电压降的缘故。 isii分别为电流源输送给节点1、2、3的电流的代数和。

例 列出电路的节点方程。 解 该电路共有5个节点，选其中的一个作为参考节点， 设其余4个节点的电压分别为uN1、uN2、 uN3、uN4。 解 该电路共有5个节点，选其中的一个作为参考节点， 设其余4个节点的电压分别为uN1、uN2、 uN3、uN4。 节点1 节点2 节点3 节点4

例 电压源处理 试用节点分析法求电路的各电流。 解 电路中共有三个独立节点，且节点2、3分别与参考节点间接的都是已知的电压源，故节点电压uN2和uN3是己知的，其值分别为21V和42V。仅需对节点1列写节点方程： 带入uN2和uN3

电源跨接在两个节点的情况 u = - 选节点4为参考点，使之出现 电压源接于节点间的情况。 在这种情况下，三个节点电压 均属未知，故必须对这三个节 点都列方程，得： 其中i为电压源支路的电流，注意不要忽略。再增加一个方程 S N u = - 3 1

例 受控源处理 用节点分析法求4电阻的功率。 解：选择参考节点及独立节点如右图，用观察法列出节点分析方程： 2A 节点1 节点3

说明 由于各节点电压都一律假定为电压降，因而各互电 导都是负值。 如果电路的独立节点数少于网孔数，和网孔法相 比，节点法联立方程数就少些。 如果已知的电源是电流源，则节点分析法更为方 便；如果电源为电压源，则网孔分析法较方便。 网孔分析法只适用于平面网络，节点分析法则无此 限制，因此，节点法更具有普遍意义。 把受控电流源暂时看作独立电流源列出方程，再设 法把受控源的控制量用节点电压表示。

练习题 用节点分析法求电路的u和i。 解：把受控电流源暂时看作独立电流源列出方程： 求出i

习题2-9 求电路的Un1。 解：这个电路共有5个独立节点，但其中4个节点电压力已知量，若求Un1只需列一个节点方程。 节点电压定义为电压降

§2-3 电路的对偶性 网孔方程 节点方程 比较两式，将式中的网孔电流换以节点电压，电阻 换以电导，电压源换以电流源就可得到节点方程式。反 之，也可由后者得到前者。

电路的一些对偶量 串联电阻电路的等效电阻公式、分压公式和并联电导 电路的等效电导公式、分流公式之间也存着这种对等 关系式，作适当的更换，就可得出另一相对应关系 式。

§2-4 含运算放大器的电阻电路 运算放大器，简称运放，是现代电子技术中应用广泛 的一种器件。运放的内部结构虽然复杂，但其端钮上 的VAR却是简单的。 下图分别是电气图符号、模型符号、输出-输入特性 曲线。

线性运放的模型 Ri为运放的输入电阻， Ro为输出电阻。 受控源则表明运放的电 压放大作用，A为运放 的电压放大倍数(电压增 益)。 u+和u-分别为施加同相 输入端和反相输入端的 输入电压。 当u+与u-同时作用时， 受控源的电压为： 当u-接公共端，受控源的电压为Au+ 当u+接公共端，受控源的电压为-Au- 差动电压

运放的三个参数的典型数据 符合理想值条件的运放称为理想运放。对理想运放， 由于A为无限大，且输出电压uo为有限值， 因此，uD=u+-u-=0， 即 u+=u- 不论是反相端还是同相端接地，都有u+=u-=0 由于输入电阻为无限大，因此，不论是同相端还是反 相端，输入电流为零，以i+和i-分别表示这两个输入 端的电流，则 i+=i-=0

用节点分析法分析含运放电路 在理想运故的情况下，请注意以下的规则： (1)在运放的输出端应假设一个节点电压，但不必为该 节点列写节点方程(求输出电流是很困难的！) (2)在列写节点方程时，注意运用u+=u-式及i+=i-=0式， 以减少未知量的数目。

例 比例器为反相放大器，试 求图中运放电路输出uo与 输入us的关系。 解 电路有三个独立节点1、2、3。因节点l与电压源相接，毋需列写节点方程，对节点3也不必列写节点方程，节点2的方程为： 由于u+=u-，可知反相端相当于接地。

例 运放电路输入端无一接地， 试求输出电压uo与输入电压 us之间的关系。 解 电路共有4个独立节点，节点2和4的节点方程分别为

作业 习题二 2、3、6、10、14、16、22、23 预习第四章