第五章 正弦稳态电路 第一节 正弦量的基本概念 第二节 正弦量的相量表示法 第三节 电阻元件伏安关系的向量形式 第五章 正弦稳态电路 第一节 正弦量的基本概念 第二节 正弦量的相量表示法 第三节 电阻元件伏安关系的向量形式 第四节 电感元件及其伏安关系的向量形式 第五节 电容元件及其伏安关系的向量形式 第六节 基尔霍夫定律的相量形式 第七节 R、L、C串联电路及复阻抗 第八节 R、L、C并联电路及复导纳 第九节 无源二端网络的等效复阻抗和复导纳 第十节 正弦电流电路的分析计算 第十一节 正弦交流电路的功率 第十二节 电路的谐振

    u(t) 5-1 正弦量的基本概念 t 正弦量： 随时间按正弦规律变化的电流或电压或功率等。 i(t) 正弦稳态电路： 5-1 正弦量的基本概念 正弦量： 随时间按正弦规律变化的电流或电压或功率等。   i(t) t 正弦稳态电路： 激励为正弦量，且加入激励的时间为t=-时的电路。

一、正弦量的时域表示   u(t)=Umcos(t+u)  u(t) t 1、波形表示： Um t =2f=2/T T 1、波形表示： Um 一、正弦量的时域表示 t =2f=2/T T 2 2、函数表示： u(t)=Umcos(t+u) i(t)=Imcos(t +i) -Um （瞬时值）   i(t) 2 Im -Im 其中： Um、Im 最大值   角频率 i 、u 初相位 t （三要素）

i(t)=Imcos(t+i) 3、相位差 相位差：= u- i       >0 超前 u(t)=Umcos(t+u) i(t)=Imcos(t+i) 相位差：= u- i       >0 超前  <0 滞后  =±180º 反相  =0 同相  =±90º 正交

4、有效值：周期信号一个周期内的方均根值。 电流： 电压： 对于正弦量： i(t)=Imcos(t+i) u(t)=Umcos(t+) 物理意义： 在一个周期内与其产生相等热量的直流电量。

相量为一个复数，它可表示为极坐标形式，也可表示为直角坐标形式。 5-2、正弦量的向量表示法 1、正弦稳态电路特点： 若所有激励为频率相同的正弦量，则线性电路响应为同频率的正弦量。 2、正弦量相量表示： i(t)=Imcos(t+i) u(t)=Umcos(t+u) 相量为一个复数，它可表示为极坐标形式，也可表示为直角坐标形式。

3、相量图:在一个复平面表示相量的图。   Ime[Ůme jt] =Umsin(t+u) +1 i(t)=Imcos(t+i) u(t)=Umcos(t+u) 复平面表示的相量意义 ▲  Ime[Ůme jt] =Umsin(t+u) Re[Ůme jt]=Umcos(t+u)

4、相量法：以相量表示正弦量对正弦稳态电路进行分析的方法。 例1：写出下列正弦量的相量形式： 解： 例2：写出下列正弦量的时域形式： 4、相量法：以相量表示正弦量对正弦稳态电路进行分析的方法。

5-3 电阻元件伏安关系的向量形式 一、时域分析： 二、频域分析 ∴ U=IR u=i +j   +1 （波形） (相量图)

三、功率 1）瞬时功率:   p(t) t 2UI 2）平均功率:

dt t di L u ） ( ) = 5-4、电感元件及其伏安关系的向量形式 1、定义：韦安特性为-i平面一条过原点直线的二端元件。 L 2、特性： 1） (t)=Li(t)； 2) WAR为-i平面过原点的一条直线； 3）VAR: 4) 无源元件 5) 储能元件 6）动态元件 7）记忆元件 dt t di L u ） ( ) =

一、时域分析： 二、频域分析 L (复感抗) ∴ U= L I +j   +1 u=i+90º (感抗) (相量图) (波形)

三、功率 1）瞬时功率:   p(t) t 2）平均功率: 3）无功功率: 意义:反映电感元件与电源进行能量交换的最大速率.

四、实际电感模型 例：如图所示实际电感模型中的R=10, L=50mH ,通过的电流为： 求电压uR(t),uL(t)和u(t)。 解：

5-5 电容元件及其伏安关系的向量形式 dt t du C i ） ( ) = 一、线性电容元件： 5-5 电容元件及其伏安关系的向量形式 一、线性电容元件： 1、定义：库伏特性为q-u平面一条过原点直线的二端元件。 2、特性： 1） q(t)=Cu(t)； 2) 库伏特性为q-u平面过原点的一条直线； 3）VAR: 4) 无源元件 5）储能元件 6）动态元件 7）记忆元件 dt t du C i ） ( ) =

二、时域分析： i=u+90º ∴ I=UC (波形) 三、频域分析 +j   +1 (容抗) 或 (容纳) (相量图)

四、功率 1）瞬时功率:   p(t) t 2）平均功率: 3）无功功率: 意义:反映电容元件与电源进行能量交换的最大速率.

五、应用举例   例1：已知：图示电路中电压有效值UR=6V,UL=18V, UC=10V。求U=？ 解： （参考相量） UL +j +1 UR UC (相量图)

例2：已知： 图示电路中电流表A1、A2读数均为10A。求电流表A的读数。 解： 所以，电流表A的读数为零。 说明： （1）参考相量选择：一般串联电路可选电流、并联电路可选电压作为参考相量； （2）有效值不满足KCL、KVL。

5-6 基尔霍夫定律的相量形式 一、KCL： 时域: 对于任一集中参数电路，在任一时刻，流出（或流入）任一节点的电流代数和等于零。 频域: 5-6 基尔霍夫定律的相量形式 一、KCL： 时域: 对于任一集中参数电路，在任一时刻，流出（或流入）任一节点的电流代数和等于零。 频域: 以相量表示正弦量，有 在正弦稳态电路中，对于任一节点，流出（或流入）该节点的电流相量代数和等于零。

二、KVL： 时域: 对于任一集中参数电路，在任一时刻，对任一回路，按一定绕行方向，其电压降的代数和等于零。 频域: 以相量表示正弦量，有 在正弦稳态电路中，对任一回路，按一定绕行方向，其电压降相量的代数和等于零。

例1： 求： 解： 正弦量以相量表示，有

+ u1(t) - 例2 图示电路，已知： - u2(t) + u3(t) 求 解： 正弦量以相量表示，有

5-7 R、L、C串联电路及复阻抗 一、复阻抗： 令： 其中：R：电阻 X：电抗 Z： 复阻抗 |Z|—阻抗模 Z—阻抗角 阻抗三角形

讨论： 1、复阻抗Z取决于电路结构、元件参数和电路工作频率； 2、Z反映电路的固有特性： Z=R+jX X=0 Z=R Z=0 电阻性 X>0 XL>XC Z>0 电感性 X<0 XL<XC Z<0 电容性 3、Z的物理意义： 4、Z为复数，描述电路的频域模型，但不是相量。

举例：图示电路中已知R=15,L=12mH,C=5F, 解： 15

5-8、R、L、C并联电路及复导纳 例： 其中：G：电导 B：电纳 Y： 复导纳 |Y|—导纳模 Y—导纳角 令： （复导纳） 导纳三角形： 例：

讨论： 1、复导纳取决于电路结构、元件参数和电路工作频率； 2、Y反映电路的固有特性： Y=G+jB B=0 Y=G Y=0 电阻性 B>0 BL<BC Y>0 电容性 B<0 BL>BC Y<0 电感性 3、Y的物理意义： 4、Y为复数，描述电路的频域模型，但不是相量。

5-9、无源二端网络的等效 复阻抗和复导纳 1、已知复阻抗 则: 意义： 其中： 2、已知复导纳 则: 其中：

例1: 已知R=6，X=8，f=50Hz. 求G=? B=? 并求串联和并联结构的元件参数分别为多少？ L R’ L’ 解：

例2: 图示二端网络，已知： 求频域Z、Y及其等效元件参数。 解：

5-10 正弦电流电路的分析计算 基本分析思路： 1) 从时域电路模型转化为频域模型: 正弦电流、电压用相量表示； 无源支路用复阻抗表示。 5-10 正弦电流电路的分析计算 基本分析思路： 1) 从时域电路模型转化为频域模型: 正弦电流、电压用相量表示； 无源支路用复阻抗表示。 2）选择适当的电路分析方法： 等效变换法（阻抗等效变换、电源等效变换） 网孔法、节点法、应用电路定理分析法等； 3）频域求解（复数运算）得到相量解； 4）频域解转化为时域解。

20F i1 (t) i2 (t) 例1：图示电路。已知 求i1 (t) 、i2 (t)和i (t)以及对应 相量的相量图。 İB İA 解：

例2：图示电路。已知 分别求R=75、25  时负载电流i(t)。 1/3F 1/3F 解：移去待求支路的频域电路模型如右。 当R=75时 当R=25  时 对应等效频域电路模型如右。

例3：图示电路， 求电流İ。 解：节点电位法 50 0  

* 图示电路， 求电流İ。 解：网孔电流法 İ1 İ2 İ3 50 0 

R1 例4： 图示电路。已知U=100V， R=20，R1=6.5  。 当调C使得Ucd达到最小值，此时Ucd =30V Rac =4时。求Z=？ 解： R1 调c点时，Rac变，若Ucd最小，则

  * 图示电路。已知U=100V， R=20，R1=6.5  。 当调C使得Ucd达到最小值，此时Ucd =30V Rac =4时。求Z=？ R1 IR  解： +j   e d 若Z=Ro-jxo为容性负载，I超前U。 其余相量如图示。 a c b 若调c点时，使Ucd最小，则有

例5： 图所示电路。用相量法证明当从0到变化时，U2=U1，2从180+1到1变化。 证明：

图示电路。用相量法证明当从0到变化时，U2=U1，2从180+1到1变化。 * d 证明： 则有相量图如下： a c b 可见，当在（0，）变化时，d、b点的轨迹为一个圆，bd为其直径，且Ubd= U2 = U1。 即：当从0到变化时，U2=U1，2从180到0变化。

图示电路。已知U=100V， 练习1： 求Z=？ 解：

练习2： 右图所示电路。改变R，要求电流I不变。求L、C、应满足何种关系？ 解： 当R=0时： 当R=时： 依题意，有 （无解）

练习3：图示电路。U=380V，f=50Hz。改变C=80.95F，电流表A读数最小为2 . 59A。求电流表A1和A2读数。 解： 则有相量图： 若改变C则I2变化，当I2 = I1 sin1时I最小。 此时有 1

5-11 正弦交流电路的功率 一、无源单口网络功率 1）瞬时功率: （恒定分量） （正弦分量：2）

P = UI cos  UI； cos 称作功率因数； —功率因数角 P = P1 + P2 + P3…….； 2）平均功率: 说明： P = UI cos  UI； cos 称作功率因数； —功率因数角 P = P1 + P2 + P3…….； P =I12R1 + I22 R2 + I32R3……. (无源单口网络: = Z):

Q > 0 ( 感性）；Q < 0 (容性）: Q = Q1 + Q2 + Q3…….: 3）无功功率: 说明： Q > 0 ( 感性）；Q < 0 (容性）: Q = Q1 + Q2 + Q3…….: Q = I12X1 + I22 X2 + I32X3…….; 反映网络与电源能量交换最大速率。 4）视在功率： 定义： 计算： 1） S=UI 2) 注意：S  S1 + S2 + S3…….

有功功率、无功功率、视在功率之间的关系 :  功率三角形 例1： 图示电路，u=707cos10t(V)，i=1.41cos(t-53.1)(A)。求P、Q、S。 解： ) ( 400 Var =

İ İ S=UI=316VA İ1 İ2 例2：图示电路，已知f=50Hz，求P、Q、S、cos。 解： S=UI=500VA P=Scos=300W Q=Ssin=400Var İ İ S=UI=316VA =-18.43 cos=0.9487 P=Scos=300W Q=Ssin=-100Var -j10 İ1 İ2

说明：并入电容后现象与结果 现象: 结果： 1）P不变条件下： 对输电线要求降低，输电效率提高； 电源容量要求降低。 2）S不变条件下： 电路负载能力增大 总电流I减小; 功率因数角减小; 功率因数cos 增大; 有功功率P不变; 视在功率S减小。 注意： 1）一般不要求提高到1； 2） 并联电容要适当，才可提高。

N 二、有源单口网络功率 注意：功率因数角不等于网络的除源阻抗角。

三、复功率（功率与相量之间的关系） 1、定义： 则 其中： 为İ的共轭相量。即若 2、物理意义： ∴

3、计算： 1） 2） 3） 1、复功率从频域反映了各功率关系； 2、P = P1 + P2 + P3……. Q = Q1 + Q2 + Q3……. 但 S  S1 + S2 + S3……. 注意：

已知Is=10A，=103rad/s，求各无源支路吸收的复功率和电流源发出的复功率。 例： İ1 İ2 解： 设İs=100A，则 İs

} } 5-12 谐振电路 谐振现象: 含有RLC 的无源单口网络在正弦激励作用下, 对于某些频率出现端口电压、电流同相位。 谐振条件： 5-12 谐振电路 谐振现象: 含有RLC 的无源单口网络在正弦激励作用下, 对于某些频率出现端口电压、电流同相位。 谐振条件： 谐振分类： 1、串联谐振 2、并联谐振 3、串并谐振 4、耦合谐振 } X = XL - XC =0 或: B= BC - BL =0 } Z=R+jX 或 Y=G+jB

1 串联谐振 或 一、谐振条件与谐振频率： 谐振条件： 谐振频率： 谐振产生方法： 1）信号源给定，改变电路参数； 1 串联谐振 一、谐振条件与谐振频率： 谐振条件： 谐振频率： 或 谐振产生方法： 1）信号源给定，改变电路参数； 2）电路给定，改变信号源频率。

二、谐振参数： 1、谐振阻抗：谐振时电路的输入阻抗Z0 串联谐振电路： Z0=R 2、特征阻抗：谐振时的感抗或容抗。 串联谐振电路： 3、品质因数：

İ 三、串联谐振特性 1）阻抗最小：Z0=R 2) u-i = 0 3) cos =1 4) 电流达到最大值： Im=U/R 4) 电流达到最大值： Im=U/R 5) L、C端出现过电压: UL=UC=QU 6) 相量图 İ （电流与电压同相位）

例1： 图示谐振电路中，L=300H， R=10，Us=100 V, f=540kHz。 求电容C、品质因数Q、电压U2。 解： UL=UC=QU =10.68mV U2=nUL =100.68mV

四、频率特性： 电路各个物理量随激励信号频率变化的特性。 1、阻抗频率特性： 其中：

2、导纳频率特性： 3、电流频率特性 其中：

4、电压频率特性： 5、相对频率特性： （通用频率特性、 归一化频率特性） 1 1

6、Q对频率特性的影响： 7、选择性： 选择有用信号、 抑制无用信号的能力。 1 8、通频带： 1

例1: 图示谐振电路, 已知Us=1.0V , 求f0、Q、f、UL0、I0。 10 解: 160H 250pF

例2: 图2所示谐振电路, 已知Q =50， Us1=1mV , f1=540kHz； Us2=1mV , f2 =600kHz .求Uc。 R 解： 310H 可见，f1= fo 电路对540kHz谐振 + uc - 280pF 电路对600kHz处于失谐：

2、并联谐振 一、谐振条件与谐振频率 电路模型( a) ： 谐振条件： 谐振频率： 谐振阻抗： 或 特征阻抗：

电路模型( b) ： 谐振条件： 谐振阻抗： 特征阻抗： 谐振频率： 或

二、并联谐振特性 1）导纳最小： 2) u-i = 0 3) cos =1 4) 电压达到最大值： U = Is Z0 5) L、C中出现过电流: IL  IC=Q Is 6) 相量图 （电流与电压同相位）

三、电路等效变换： (a) (b) 谐振阻抗： 等效参数： 品质因数：

四、频率特性： 1、阻抗频率特性： 1 1

2、电压频率特性： 1 1 五、Q对频率特性的影响： Q增大，特性曲线尖锐； Q减小，特性曲线平坦。

Ri 可见： 选择性与Q成正比； 通频带与Q 成反比。且： 六、并联电阻Ri的影响： Ri ：称为展宽电阻 C L / = r Ri Ri ：称为展宽电阻 品质因数、谐振阻抗下降；通频带增宽。

例1: 图示谐振电路, 已知Us=12V , 求f0、、Q、f、U、Z0。 解: + - 54H 60k 10pF 90pF 60k 9 30k 100pF 20k

例2: 图示谐振电路, 已知Is=1mA , Ri=40k , L=100 H, C=100pF, r=25  。1）求谐振回路0、、Q、Z0、  ; 2）求整个电路0、、Qe、Z0e、  e; 3）求各支路电流和电压U。 解: 1）谐振回路： Ri 2）整个回路： 3）各支路电流：

* 串、并联谐振 （谐振频率） 求图示电路谐振频率： 串联谐振：Z=0 ( 短路 ）；并联谐振：Z= ( 开路 ）

求图示电路谐振频率： 串联谐振：Z=0 ( 短路 ）；并联谐振：Z= ( 开路 ）

1、 正弦量的时域与频域表示；相位差、有效值 本章小结: 1、 正弦量的时域与频域表示；相位差、有效值 i(t)=Imcos(t+i) 2、 相量形式KCL和KVL 3、 正弦交流电路中电阻、电感、电容元件伏安关系 元件性质 电 阻 电 感 电 容 时域关系 U=RI；=0 U= L I；=90° U=I/(C) =-90° 频域关系 4、 复阻抗、复导纳及等效变换：

5、 正弦稳态电路分析： 1) 从时域电路模型转化为频域模型: 正弦电流、电压用相量表示； 无源支路用复阻抗表示。 5、 正弦稳态电路分析： 1) 从时域电路模型转化为频域模型: 正弦电流、电压用相量表示； 无源支路用复阻抗表示。 2）选择适当的电路分析方法： 等效变换法（阻抗等效变换、电源等效变换） 网孔法、节点法、应用电路定理分析法等； 3）频域求解（复数运算）得到相量解； 4）频域解转化为时域解。 6、 正弦稳态电路功率： 1) p(t)、P、Q、S、cos； 功率因数提高；