對數函數之微分及其 相關之積分 MCU-應用統計資訊系 13講

課程內容摘要 超越函數（Transcendental Functions） 對數觀念複習 對數函數定義 對數律 對數函數的導函數 對數微分法 對數積分 MCU-應用統計資訊系 13講

課程內容 超越函數（Transcendental Functions） 對數觀念複習 對數函數定義 對數律 對數函數的導函數 對數微分法 對數積分 MCU-應用統計資訊系 13講

超越函數 (1) 超越函數（Transcendental Functions）就是指數函數、對數函數、三角函數及反三角函數的統稱。 MCU-應用統計資訊系 13講

超越函數 (2) 對數符號 是與 同義，其中b > 0，b≠1，且x為任意實數 MCU-應用統計資訊系 13講

超越函數 (3) 對數符號方程式 讀作“x為對底為b的對數” MCU-應用統計資訊系 13講

超越函數 (4) 注意到對數等於x，且x為指數。故對數就是指數，亦即x為b要乘方得a的指數。 MCU-應用統計資訊系 13講

超越函數 (5) 正底b的x乘方得a，故在bx=a中永遠為正。換句話說，在x=logba中a必為正，於是logba只在a > 0時有定義。 MCU-應用統計資訊系 13講

超越函數 (6) 以下為某些寫成對數型式之方程式，其右為相等的指數型式。 MCU-應用統計資訊系 13講

超越函數 (7) 現在要用對數於運算中，以解方程式 。 例1: 3x = 11 x =log3 11 MCU-應用統計資訊系 13講

超越函數 (8) 例2: 107x = 9 7x =log 9 x =log 9/7 解:將指數方程式寫成對數形式就可分離出7x 兩邊同除以7 x =log 9/7 MCU-應用統計資訊系 13講

超越函數 (9) 例3: 4e5x =12 5x = ln3 x = ln3 / 5 解:為了解得指數， 似乎很自然就把方程式寫成對數形式， 但底和指數必須單獨地同在一邊才能形成對數形式。 對數符號的定義， 或者例1及例2都是這種情形， 在此處， 僅需將方程式兩邊同除以4之後， 就符合該情形。 5x = ln3 對數形式 x = ln3 / 5 MCU-應用統計資訊系 13講

超越函數 (10) 例4: ln7x = 50 解:就像指數方程式改成對數形式後求解，對數方程式改成指數形式之後亦可求解。 7x = e50 指數形式 x = e50 / 7 MCU-應用統計資訊系 13講

課程內容 超越函數（Transcendental Functions） 對數觀念複習 對數函數定義 對數律 對數函數的導函數 對數微分法 對數積分 MCU-應用統計資訊系 13講

對數觀念複習 (1) 令x為任意正數，並令log x代表以10為底的對數。 則： = ? MCU-應用統計資訊系 13講

對數觀念複習 (2) 事實上，x以10為底的對數， 其定義即為： x = MCU-應用統計資訊系 13講

2 對數觀念複習 (3) 也就是說，一數x的對數，就是10要自乘多少次 才能到達x的次數。此定義只有在x > 0時才成立。 下面是兩個例題： 2 所以log (100) = MCU-應用統計資訊系 13講

對數觀念複習 (4) -3 所以log (.001) = MCU-應用統計資訊系 13講

對數觀念複習 (5) 現在我們試作一個題目： 1： 為下列那一個答案? (1) 1,000,000 (2) 6 (3) 60 (4) 600 MCU-應用統計資訊系 13講

對數觀念複習 (6) 答案是： (1) 1,000,000 (2) 6 (3) 60 (4) 600 MCU-應用統計資訊系 13講

對數觀念複習 (7) 您答對了嗎? 請參看驗算 MCU-應用統計資訊系 13講

對數觀念複習 (8) 答案為 驗算 MCU-應用統計資訊系 13講

對數觀念複習 (9) 現在我們試作另一個題目： 2： 為下列那一個答案? (1) 0 (2) 1 (3) 10 (4) 100 MCU-應用統計資訊系 13講

對數觀念複習 (10) 答案是： (1) 0 (2) 1 (3) 10 (4) 100 MCU-應用統計資訊系 13講

對數觀念複習 (11) 您答對了嗎? 請參看驗算 MCU-應用統計資訊系 13講

對數觀念複習 (12) 答案為 驗算 MCU-應用統計資訊系 13講

對數觀念複習 (13) 現在您應該會作下面的題目： MCU-應用統計資訊系 13講

對數觀念複習 (14) 上面題目的答案分別為： MCU-應用統計資訊系 13講

如果您對這些題目還有疑問，您應該再複習一下對數的定義 對數觀念複習 (15) 如果您對這些題目還有疑問，您應該再複習一下對數的定義 MCU-應用統計資訊系 13講

對數觀念複習 (16) 試作下列問題，看您是否瞭解對數的計算，其中a與b為任意正數： MCU-應用統計資訊系 13講

對數觀念複習 (16) 上述3題正確答案列述如下： MCU-應用統計資訊系 13講

對數觀念複習 (17) 我們可以利用log x的定義以及指數的性質導出所需的法則： 由於 MCU-應用統計資訊系 13講

對數觀念複習 (18) 因此 MCU-應用統計資訊系 13講

對數觀念複習 (19) 在兩邊同時取對數，並利用log (10x) = x的事實可得 MCU-應用統計資訊系 13講

對數觀念複習 (20) 同理 MCU-應用統計資訊系 13講

對數觀念複習 (21) 所以 MCU-應用統計資訊系 13講

對數觀念複習 (22) 同樣的; MCU-應用統計資訊系 13講

對數觀念複習 (23) 且 MCU-應用統計資訊系 13講

對數觀念複習 (24) 以上，我們只討論了以10為底的對數。事實上，任何一個正數都可以作為底數，以其他數為底的對數，通常加入一個下標來說明。 例如，以2為底，8的對數記為log28。一般我們用r來代表底數，則logrx的定義方程式為， MCU-應用統計資訊系 13講

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對數函數定義(1) 設a > 0，a≠1 ，若ay=x <==> y=logax (x > 0)，則g (x) = logax稱為以a為底的對數函數 MCU-應用統計資訊系 13講

對數函數定義(2) 對數函數g (x) = logax的定義域為(0, ∞ ) ， 值域為整個實數域R。 事實上， ax與 logax彼此有反函數的關係。即 MCU-應用統計資訊系 13講

對數函數定義(3) 試計算 MCU-應用統計資訊系 13講

對數函數定義(4) 方法一:依對數定義 因為8 = 23 ， 故 因為 ，故 MCU-應用統計資訊系 13講

對數函數定義(5) 方法二:利用公式logaax = x MCU-應用統計資訊系 13講

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對數律 (1) 設a > 0，a≠1 ，x ， y是正數 (換底公式，b > 0，b≠1 ) MCU-應用統計資訊系 13講

對數律 (2) 已知log102=0.3010，log103=0.4771，試求 MCU-應用統計資訊系 13講

對數律 (3) 解答 MCU-應用統計資訊系 13講

對數律 (4) 解答 MCU-應用統計資訊系 13講

對數律 (5) 解答 MCU-應用統計資訊系 13講

對數律 (6) 解答 MCU-應用統計資訊系 13講

對數律 (7) 對數中最常用的底為10和e，使用底為10的對數稱為常用對數（common logarithm），寫成log10或log ， 不寫底時， 就是底為10。使用底為e的對數稱為自然對數（natural logarithms），寫成loge或ln 。 MCU-應用統計資訊系 13講

對數律 (8) log10x 寫成 log x MCU-應用統計資訊系 13講

對數律 (9) logex 寫成 lnx MCU-應用統計資訊系 13講

對數律 (10) 自然對數函數定義 記作 ln ，定義如下 其定義域為所有正實數的集合 MCU-應用統計資訊系 13講

對數律 (11) 描繪自然對數函數f (x) = ln x (x > 0)的圖形時，可先求出幾個點後，再通過這些點描繪出曲線。使用計算機的“ln”鍵可得出ln的值 ，若無計算機，把方程式y=lnx寫成指數形式的x=ey ，然後選定y值，再求對應的x值。下面為自然對數函數之點及圖形。 MCU-應用統計資訊系 13講

對數律 (12) y = ln x x y 1 2.7 7.4 0.4 2 -1 MCU-應用統計資訊系 13講

對數律 (13) 3 2 自然對數函數 f (x) = lnx MCU-應用統計資訊系 13講

對數律 (14) 由y = ln x的圖形可看出當x值越大時，lnx 也越大。 事實上 ， MCU-應用統計資訊系 13講

對數律 (15) 其次為兩個重要的結果，每個都與自然對數的定義 (即y = ln x 等於 x = ey) 是同義的。 MCU-應用統計資訊系 13講

對數律 (16) ex與ln x的圖形對稱於直線y = x 。 y = x y = ln x y = ex (0, 1) (1, 0) MCU-應用統計資訊系 13講

對數律 (17) 從上圖 lnx的圖形也是遞增的，連續的，經過點 (1, 0)。 2. MCU-應用統計資訊系 13講

對數律 (16) ex與ln x的圖形對稱於直線y = x 。 y = x y = ln x y = ex (0, 1) (1, 0) MCU-應用統計資訊系 13講

對數律 (17) 從上圖 lnx的圖形也是遞增的，連續的，經過點 (1, 0)。 2. MCU-應用統計資訊系 13講

對數律 (16) ex與ln x的圖形對稱於直線y = x 。 y = x y = ln x y = ex (0, 1) (1, 0) MCU-應用統計資訊系 13講

對數律 (17) 從上圖 lnx的圖形也是遞增的，連續的，經過點 (1, 0)。 2. MCU-應用統計資訊系 13講

對數律 (18) 我們將自然對數的性質，以ln x的形式重新表述 設x ， y是正數 (a > 0，a≠1 ) MCU-應用統計資訊系 13講

對數律 (19) 方程式logee = 1和 loge11 = 0在作化簡時常常用到 。以下重新以ln的符號來表示 。 ln 1 = 0 ln e = 1 MCU-應用統計資訊系 13講

對數律 (20) 化簡下列對數值 MCU-應用統計資訊系 13講

對數律 (21) 解答 MCU-應用統計資訊系 13講

對數律 (22) 解答 [對數律(3)] [對數律(5)] MCU-應用統計資訊系 13講

對數律 (23) 解答 [對數律(3)] [對數律(4)] [對數律(1)及 (5)] MCU-應用統計資訊系 13講

對數律 (24) 解下列方程式 MCU-應用統計資訊系 13講

對數律 (25) 解答 [等式兩邊取對數] MCU-應用統計資訊系 13講

對數律 (26) 解答 [等式兩邊取指數] MCU-應用統計資訊系 13講

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對數函數的導函數(1) 先來看圖形 (x > 1) y = 1/t R 1 x 2 若 x > 1, ln x = R的面積 MCU-應用統計資訊系 13講

對數函數的導函數(2) 再來看另一圖形 (0 < x < 1) y = 1/t R x 1 2 若0< x < 1, ln x = - R的面積 MCU-應用統計資訊系 13講

對數函數的導函數(3) 上面所繪製的圖形表示ln x的幾何意義。 當x > 1時，它表示曲線y = 1/t下方介於1及x所 負數。自然對數函數是一累積函數，因為它累 積了曲線 y = 1/t下方的面積。吾人無疑地可知 ln x對x > 0為良好定義；ln x對x 0無定義，因 為此定積分在包含0的區間上不存在 。 MCU-應用統計資訊系 13講

對數函數的導函數(1) 先來看圖形 (x > 1) y = 1/t R 1 x 2 若 x > 1, ln x = R的面積 MCU-應用統計資訊系 13講

對數函數的導函數(3) 上面所繪製的圖形表示ln x的幾何意義。 當x > 1時，它表示曲線y = 1/t下方介於1及x所 負數。自然對數函數是一累積函數，因為它累 積了曲線 y = 1/t下方的面積。吾人無疑地可知 ln x對x > 0為良好定義；ln x對x 0無定義，因 為此定積分在包含0的區間上不存在 。 MCU-應用統計資訊系 13講

對數函數的導函數(2) 再來看另一圖形 (0 < x < 1) y = 1/t R x 1 2 若0< x < 1, ln x = - R的面積 MCU-應用統計資訊系 13講

對數函數的導函數(3) 上面所繪製的圖形表示ln x的幾何意義。 當x > 1時，它表示曲線y = 1/t下方介於1及x所 負數。自然對數函數是一累積函數，因為它累 積了曲線 y = 1/t下方的面積。吾人無疑地可知 ln x對x > 0為良好定義；ln x對x 0無定義，因 為此定積分在包含0的區間上不存在 。 MCU-應用統計資訊系 13講

對數函數的導函數(4) 因e lnx = x，在左邊代入x = e lnx ， 代入後 這也是一個重要的結果。為使ln x有定義 ，故x > 0 。 x > 0 MCU-應用統計資訊系 13講

對數函數的導函數(5) 為了求得對數函數f (x) = ln x之導函數的公式，從下列方程式開始。 微分此式的兩邊得 MCU-應用統計資訊系 13講

對數函數的導函數(5) x ≠ 0 自然對數函數的導函數 MCU-應用統計資訊系 13講

對數函數的導函數(6) 求導函數f'(x): MCU-應用統計資訊系 13講

對數函數的導函數(7) 解答 MCU-應用統計資訊系 13講

對數函數的導函數(8) 解答 MCU-應用統計資訊系 13講

對數函數的導函數(9) 若f(x) = ln x ，利用連鎖律 MCU-應用統計資訊系 13講

對數函數的導函數(10) 所以對數連鎖律公式歸納如下: 若g(x)是一可微分函數且g(x) ≠0 ，則 MCU-應用統計資訊系 13講

對數函數的導函數(11) 求導函數f'(x): MCU-應用統計資訊系 13講

對數函數的導函數(12) 解答 MCU-應用統計資訊系 13講

對數函數的導函數(10) 所以對數連鎖律公式歸納如下: 若g(x)是一可微分函數且g(x) ≠0 ，則 MCU-應用統計資訊系 13講

對數函數的導函數(13) 解答 MCU-應用統計資訊系 13講

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對數微分法 (1) 有時候先對函數取對數，利用對 數的性質簡化再求導，這種化繁為 簡的微分過程，稱為對數微分法， 常用到複雜或特殊的微分問題上。 MCU-應用統計資訊系 13講

對數微分法 (2) 以對數微分法求導函數f'(x): MCU-應用統計資訊系 13講

對數微分法 (3) 先將函數對數化: 解答 MCU-應用統計資訊系 13講

對數微分法 (4) 等式兩邊求導: 解答 所以 MCU-應用統計資訊系 13講

對數微分法 (5) 取對數: 解答 等式兩邊求導: MCU-應用統計資訊系 13講

對數微分法 (6) 解答 所以 MCU-應用統計資訊系 13講

對數微分法 (7) 以對數微分法證明羃法則 證明 MCU-應用統計資訊系 13講

對數微分法 (8) 以對數微分法證明羃法則 證明 即 MCU-應用統計資訊系 13講

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對數積分(1) 在上節中，我們已經導出對數函數的 導函數，經由這些公式，再利用反導函數 的定義，可以得到一些相對應的積分公式。 MCU-應用統計資訊系 13講

對數積分(2) 定理: MCU-應用統計資訊系 13講

對數積分(3) 證明 推論 若令g(x)=x MCU-應用統計資訊系 13講

對數積分(4) 所以 MCU-應用統計資訊系 13講

對數積分(5) 例題1: 解答 MCU-應用統計資訊系 13講

對數積分(6) 依定理 得 解答 MCU-應用統計資訊系 13講

對數積分(7) 例題2: 解答 MCU-應用統計資訊系 13講

對數積分(8) 依定理 得 解答 MCU-應用統計資訊系 13講

對數積分(9) 例題3: 解答 MCU-應用統計資訊系 13講

對數積分(10) 解答 MCU-應用統計資訊系 13講

對數積分(11) 解答 MCU-應用統計資訊系 13講

對數積分(12) 例題4: 解答 MCU-應用統計資訊系 13講

對數積分(13) 解答 依定理 得 MCU-應用統計資訊系 13講

對數積分(14) 解答 MCU-應用統計資訊系 13講

對數積分(15) 例題5: 依定理 得 解答 MCU-應用統計資訊系 13講

對數積分(16) 解答 MCU-應用統計資訊系 13講

課程回顧 MCU-應用統計資訊系 13講

對數函數之微分及其 相關之積分 MCU-應用統計資訊系 13講

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