第 三 章 複利及年金

利息之本質 利息是使用貨幣的代價，稱為「貨幣的時間價值」。利息隨時間的經過而累積，每期應支付的利息，通常以其佔本金的百分比表示，稱為利率。利率通常以年為單位，稱為年利率或年息。 利息決定於本金的大小、利率的高低以及計息期數的多寡。當計息期間小於一年時，計息的利率和期數均應加以調整。

利息觀念在會計上的應用 長期應收票據及 長期應付票據。 分期付款合約。 長期性資產。 應付公司債或 公司債投資。 償債基金。 債務整理。 資本租賃。 退休金。 企業合併。

複利－－單利法與複利法 每期利息之計算均以原始本金為基礎者，稱為單利法。將已產生之利息計入本金中以計算下期利息之算法，稱為複利法。一般商業習慣均採複利法計算利息。 單利法之利息 ＝ 本金 × 利率 × 期間 複利法之利息 ＝ 本金 ×（1 + 利率）期間 － 本金

複利終值與複利現值之計算 複利終值與複利現值之計算公式包括四項因素：現值（本金）、利率、期數、終值（本利和）。 複利終值 ＝ 本金 ×（1 ＋ 利率）期間 複利現值 ＝ 複利終值 ÷（1 ＋ 利率）期間 複利終值 ＝ 本金 × 複利終值因子（查表值） 複利現值 ＝ 複利終值 × 複利現值因子（查表值）

年 金 所謂年金，係指連續定期支付（或收取）定額之給付。每期相隔之時間相等，支付之金額亦相等。 凡年金於每期期末支付或收受者，稱為普通年金。 年 金 所謂年金，係指連續定期支付（或收取）定額之給付。每期相隔之時間相等，支付之金額亦相等。 凡年金於每期期末支付或收受者，稱為普通年金。 凡年金於每期期初支付或收受者，稱為到期年金。 凡年金於遞延數期之後才開始支付或收受者，稱為遞延年金。

普通年金 普通年金終值之計算 普通年金現值之計算 所謂年金終值，係指一項年金各期支付金額之複利終值的總和。亦即將每一期支付之金額，均按複利計算至最後一期期末之終值，各期複利終值之和即為該年金之終值。 普通年金現值之計算 所謂年金現值，係指一項年金各期支付之金額，按複利折算至該項年金第一期期初之複利現值的總和。

到期年金 到期年金終值之計算 到期年金終值 ＝ 普通年金終值 ×（1 ＋ i） 查表：查（n＋1）期之普通年金終值因子，以查出之值 － 1。 到期年金現值之計算 到期年金現值 ＝ 普通年金現值 ×（1 ＋ i） 查表：查（n － 1）期之普通年金現值因子，以查出之值 ＋ 1。

遞延年金 遞延年金終值之計算 遞延年金現值之計算 遞延年金終值之計算方式與普通年金終值或到期年金終值之計算方式相同，只是選用之期數應以開始有年金流動之年度至期末為準。 遞延年金現值之計算 遞延年金現值之計算，可運用普通年金或到期年金之現值而求得；先假設年金並無遞延之情況，計算全部期數之年金現值，再計算前面遞延期數之年金現值，二者相減即為遞延年金之現值。 亦可先將遞延年金計算至年金起始日之年金現值，再就此現值計算至現在之複利現值而求得。

分期收款銷貨之分期款（一） 淡水公司經營分期付款銷貨業務，某商品現金價$73,057，可分三期付款，每年年底付$30,000。今公司同意某甲於第一年底付款$10,000，及第三年年底付款$50,000。 試求：某甲第二年底應付款若干？

分期收款銷貨之分期款（一） $73,057 == $30,000 $30,000 $30,000 利率 = 11.2% （試誤法） $73,057 == $30,000 $30,000 $30,000 利率 = 11.2% （試誤法） $73,057 == $10,000 A $50,000 利率 = 11.2% $10,000/1.112 = $8,993 $50,000/1.1123 = $36,363 $73,057 - $8,993 - $36,363 = $27,701 $27,701 * 1.1122 = $34,254

分期收款銷貨之分期款（一） $73,057 == $30,000 $30,000 $30,000 利率 = 11.2% （試誤法） $73,057 == $30,000 $30,000 $30,000 利率 = 11.2% （試誤法） $81,239 $79,218 $50,000 $73,057 == $10,000 A $50,000 利率 = 11.2% $71,239 $79,218 - A $73,057 * 1.112 = $81,239 $81,239 - $10,000 = $71,239 $71,239 * 1.112 = $79,218 $79,218 – A = B B * 1.112 = $50,000 B = $44,964 A = $34,254

分期收款銷貨之分期款（二） 淡水公司經營分期收款銷貨業務，某商品現金價$50,807，可分三期付款，自成交日起每年付$20,000。現有某甲購買此項商品，開出一張四年到期之票據，票據上不附息。 試求：該票據之面值。

分期收款銷貨之分期款（二） $50,807*(1+8.8%)4 = $71,193 $50,807 == $20,000 $20,000 $20,000 利率8.8% （試誤法） $50,807 利率 8.8%，複利終值 $71,193 $50,807*(1+8.8%)4 = $71,193

不同的還款方式 淡水公司年初向華南銀行借款$2,000,000，約定還款方式為： 方案一：分期三年，每年年底還$832,698； 方案二：分期三年，第一年底還$200,000，第二年底還 A，第三年底還$1,000,000。 試求：Ａ＝？

不同的還款方式 $2,000,000 == $832,698 $832,698 $832,698 利率=12% （試誤法） $2,000,000 == $832,698 $832,698 $832,698 利率=12% （試誤法） $2,000,000 == $200,000 A $1,000,000 利率=12% $200,000/1.12=$178,571 $1,000,000/1.123=$711,780 $2,000,000-$178,571-$711,780=$1,109,649 $1,109,649*1.122=$1,391,944

不同的還款方式 $2,000,000 == $200,000 $1,391,944 $1,000,000 利率=12% $2,000,000*1.12=$2,240,000 $2,240,000-$200,000=$2,040,000 $2,040,000*1.12=$2,284,800 ($2,284,800-A)*1.12=$1,000,000 A=$1,391,944

是否應借款以取得進貨折扣 滬尾公司進貨$300,000，條件為：1/10，n/30。假定公司向銀行借款之利率為14%，並應回存借款之15%於銀行，該筆存款之利率為3%。 試問：公司應否於第十天向銀行借款償付該筆帳款，以享受進貨折扣？

是否應借款以取得進貨折扣 設借款金額為 X ，則： X*(1-15%)=$300,000*(1-1%) X=$349,412 $349,412*14%*(20/365)=$2,680 $349,412*15%*3% *(20/365)=$86 $2,680-$86=$2,594 $300,000*1%=$3,000 因為 $2,594 < $3,000，所以應借款。

銷貨折扣所隱含的利率 設成交價格為$300,000，銷貨條件為：1/10，n/30，表示顧客如果在10天之內付款，可以享受1%的折扣，至遲應於30天內還款。 10 30 期間20天 $297,000 $300,000 （本金） 利息：$3,000 $3,000 = $297,000 * r * (20/365) r = 18.43%

借款回存後所隱含的利率 $349,412*14%*(20/365)=$2,680 $349,412*15%*3% *(20/365)=$86 $2,680-$86=$2,594 $300,000 * .99 = $297,000 $2,594 / $297,000 = 0.8734% 0.8734% * (365/20) = 15.94% 因為 15.94% < 18.43% ，所以應借款。

長期租約之租金 竹圍公司於96年1月1日出資＄72,994購買一部機器，租給沙崙公司，租期三年，每年年底付租金＄30,000。租期屆滿時該機器無條件移轉給沙崙公司，當時該機器尚有＄10,000之殘值。 試問：若租期屆滿時該機器要還給竹圍公司，則沙崙公司每年底之租金應定為多少？

長期租約之租金 $72,994 == $30,000 $30,000 $30,000 利率11.25% （試誤法） $72,994 $27,015 $27,015 $27,015 利率 11.25% $10,000 $27,015  1.1125 + $27,015  1.11252 + $27,015  1.11253 + $10,000  1.11253 = $72,994

投資決策的選擇（一） 滬尾公司目前有資金＄2,500,000可供投資，該公司正在考慮二個投資方案。方案一可於每年底賺回現金＄750,000，共計五年；方案二可於第五年底賺回現金＄4,500,000。 試問：滬尾公司應選擇那一個方案？

投資決策的選擇（一） $750,000 $750,000 $2,500,000 = $750,000 $750,000 $750,000 報酬率=15.238%（年金現值） $2,500,000 = $4,500,000 報酬率=12.475%（複利現值） 因為 15.238% > 12.475%，所以選方案一。

投資決策的選擇（二） 竹圍公司想增加產能，有二種選擇：（1）購買機器，購價$800,000，殘值$100,000。（2）租用機器，每年年底付租金$250,000。該機器可使用四年，市場利率為12%。 試問：竹圍公司應購買或租用該機器？

投資決策的選擇（二） $800,000 == $100,000 利率=12%，複利現值 (63,552) $736,448 $800,000 == $100,000 利率=12%，複利現值 (63,552) $736,448 $250,000 $250,000 $250,000 $250,000 $759,337 利率 =12%，年金現值 因為 $736,448 < $759,337，所以應購買。

公司債之發行價格 淡江公司於92年1月1日發行面額＄1,000,000之公司債，3年到期，票面利率12﹪，每年6月30日及12月31日付息。發行時市場利率為8﹪。 試求：該公司債之發行價格。

公司債之發行價格 $1,000,000 $1,104,843 $60,000 $60,000 $60,000 = $60,000 $60,000 $60,000 利率 = 4%

分期還本公司債之發行價格 牛津公司於96年1月1日發行分期還本公司債，面值為$1,000,000，票面利率8﹪，自發行日起每年年底還本$200,000，利息於每年年底支付一次，發行當時市場利率為12﹪。 試求：發行價格。

分期還本公司債之發行價格 $264,000 $232,000 $906,985 = $280,000 $248,000 $216,000 市場利率=12%

機會成本的比較 李君和王君即將大學畢業，李君畢業後若立即就業，則年收入$300,000；王君若唸研究所，則在研究所二年期間，平均每年多花$120,000，畢業後則每年薪水可多賺$100,000。假設現金係於年底流動。 假設（1）年利率6%。（2）年利率15%。 試問：王君研究所畢業後要花幾年的時間才能追上李君的財富？

機會成本的比較 $300,000 $300,000 $100,000 $100,000 $100,000 120,000 120,000 $420,000 $445,200 $865,200 利率=6% $865,000*6%=$51,912 < $100,000，可以追得上。 N=12時，$100,000之年金現值=$838,384 < $865,260 N=13時，$100,000之年金現值=$885,268 > $865,260 所以花13年可以追得上。

機會成本的比較 $300,000 $300,000 $100,000 $100,000 $100,000 120,000 120,000 $420,000 $483,000 $903,000 $135,450 利率=15% $903,000*15%=$135,450 > $100,000 所以永遠追不上。