数轴、相反数与绝对值 本节内容 本课内容 1.2

1.2.1 数 轴

我们看到的刻度尺的边缘上都有一些点，并且这些点在一条直线上，它们分别表示一些数.由此联想，能不能用一条直线上的点来表示数？

观察 小丽从点O出发，沿一条笔直的东西向人行道行走的示意图. 由图你能受到什么启发？

让出发点O表示0，向东走1m到达点A，就让点A表示1； 向西走1m到达点B，就让点B表示-1. 向东走3m到达点C，就让点C表示3； 向西走3m到达点D，就让点D表示-3.

从上面的例子受到启发，我们可以用一条直线上的点来直观地表示数.

结论 画一条直线(通常把它水平放置)， 在直线上取一点O，把点O叫做原点， 用原点表示数0. O

规定直线的正方向（标上箭头）. 通常把直线上从原点向右的方向规定为正方向，从原点向左的方向规定为负方向. O

从原点向右，距原点1个单位长度的点表示数1， 距原点2个单位长度的点表示数2，…； 从原点向左，距原点1个单位长度的点表示数-1， 选取适当的长度为单位长度. 从原点向右，距原点1个单位长度的点表示数1， 距原点2个单位长度的点表示数2，…； 从原点向左，距原点1个单位长度的点表示数-1， 距原点2个单位长度的点表示数-2，…. O -2 -1 1 2

像这样，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.

结论 任何有理数都可以用数轴上唯一的一个点来表示.

举 例 例1 如图1-7，数轴上的点M，P，Q分别表示哪 个有理数？ 图1-7 解：M ， P ，Q分别表示-3，-0.5，2.5.

例2 画一条数轴， 并标出表示下列各数的点： 解：所画数轴及各数在数轴上对应的点如图.

练习 1. 把下列各数和数轴上对应的点用线连起来： -2 3 -3.5 4.25

2.填空： （1） 数轴上在原点右边距原点3.7个单位长度 的点表示的数是 ； 3.7 （2） 数轴上在原点左边距原点 个单位长度 的点表示的数是 ； 3.7 （2） 数轴上在原点左边距原点 个单位长度 的点表示的数是 ； 两 （3） 数轴上距原点2个单位长度的点有 个， 它们分别表示数 . 2和-2

3.画一条数轴，并标出表示下列各数的点： -2， -0.8， 0.8， 2. 1 2 -1 -2 -0.8 0.8

1.2.2 相反数

观察 如图1-9，点A和点B表示的有理数之间有什么关系？ 点A表示-5，点B表示5，它们只有符号不同.

像5和-5这样，如果两个数只有符号不同，那么其中一个数叫做另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数. 例如，2.6的相反数是-2.6， -2.6的相反数是2.6. 我们把数a的相反数记做-a．于是“-2.6 的相反数是2.6”就可以记做“-(-2.6)= 2.6”．

结论 0 的相反数是 0.

表示互为相反数的两个数的点，在数轴上分别位于原点的两侧， 并且与原点的距离相等.

例3 画一条数轴， 并标出表示下列各数的相反 数的点： 3，1.5，-6 . 解：3的相反数是-3；1.5的相反数是-1.5；-6 的 例3 画一条数轴， 并标出表示下列各数的相反 数的点： 3，1.5，-6 . 解：3的相反数是-3；1.5的相反数是-1.5；-6 的 相反数是6，且-3，-1.5，6在数轴上对应的 点分别为A，B，C，如图所示

说一说 -(+1)= ? -(-1)= ? 因为+1的相反数是-1，所以-(+1)=-1. 因为-1的相反数是1，所以-(-1)=1.

例4 填空： -(+0.8)= ；-(-3)= . 解： -(+0.8)= ； -0.8 -(-3)= . 3

练习 1. 把右边各数中互为相反数的两个数用线连起 来，并在一条数轴上标出表示它们的点. 9 2.5 1 -2.5 -9 -1

2. 填空： -6.7 -8 -(+6.7)= ；-(+8）= ； -(-4)= ； = . 4

3. 已知a的相反数是3.5，则a等于多少？ 答：a 是-3.5 .

1.2.3 绝对值

动脑筋 小明家、学校、小李家在数轴上的位置分别如图中点A， O， B所示. 若数轴的单位长度表示1km，则A，B两点表示的有理数分别是多少？ 小明、小李各自从家到学校要走多远？ 1km

点A表示-4，小明从家到学校要走4km 点B表示2，小李从家到学校要走2km.

我们把4叫做-4的绝对值，记做“|-4|=4”； 把2叫做2的绝对值，记做“|2|=2”.

结论 正数的绝对值是它本身. 负数的绝对值是它的相反数. 0 的绝对值是0. 从而，互为相反数的两个数的绝对值相等.

从上述例子看到，-4的绝对值等于数轴上表示-4 的点A与原点之间的距离， 2的绝对值等于数轴上表示2的点B与原点之间的距离，如图所示.

一般地，有下述结论： 一个数的绝对值等于数轴上表示这个数的点与原点的距离.

举 例 例5 求下列各数的绝对值： 12， ， -7.5， 0.

12是正数，正数的绝对值等于它本身. 解 | 12 | = 12 = 是负数，负数的绝对值等于它的相反数.

-7.5是负数，负数绝对值等于它相反数. | -7.5 | = 7.5 0 的绝对值等于0. | 0 | =

说一说 如果 a 表示一个数，则|a|等于多少？ 一般地，如果 a 表示一个数，则 （1）当a是正数时，| a |= a；

例6 若|a|= 8.7,求a. 解 因为绝对值等于8.7的有理数有8.7和-8.7两个， 所以a=8.7或a=-8.7. 互为相反数的两个数的绝对值相等. 例6 若|a|= 8.7,求a. 因为绝对值等于8.7的有理数有8.7和-8.7两个， 解 所以a=8.7或a=-8.7.

练习 1.求下列各数的绝对值：3，3.14， ，-2.8. | 3 |=3； 解 | 3.14 |=3.14； ； 1.求下列各数的绝对值：3，3.14， ，-2.8. | 3 |=3； | 3.14 |=3.14； ； | -2.8 |=2.8 . 解

2. 填空： -|-2010|= ； -| -2.8 | = ； = . -2010 -2.8

3. 画一条数轴，并标出表示绝对值等于2，3.5 的数的点.

中考 试题 例1 在一条东西走向的马路上，有青少年宫、学校、商场、医院四家公共场所.已知青少年宫在学校东300米，商场在学校西200米，医院在学校东500米.若将马路近似地看成一条直线，以学校为原点，向东方向为正方向，用1个单位长度表示100米. 1.在数轴上表示出四家公共场所的位置. 2.列式计算青少年宫与商场之间的距离. 分析 画数轴要注意数轴的三要素，选择适当的点（学校）为坐标原点，求数轴上两点的距离时要利用数形结合思想. 解 (1) 商场 学校 青少年宫 医院 -200 100 -100 200 300 400 500 青少年宫与商场之间的距离为500米. (2)

中考 试题 例2 C 点A为数轴上表示-2的动点，当点A沿数轴移动4个单位长度到点B时，点B所表示的实数为（ ）. A.2 B. -6 C.2或-6 D.不同于以上答案 C 分析 利用数轴，可以直观地看到问题的答案. 解 如果点A是向左移动，则点B表示-6，如果点A是向右移动，则点B表示2，故选C.

-a 中考 试题 例3 由数轴可以看出，点A到原点的距离为|a|，因为a小于0，由绝对值的意义可知，点A到原点的距离为-a. A 由数轴可以看出，点A到原点的距离为|a|，因为a小于0，由绝对值的意义可知，点A到原点的距离为-a. 解

结 束