在運動過程中,粒子在每一特定時間對應一特定位置:位置是時間的函數! 這個單變數函數是力學研究的對象與目標
速度是位置對時間的微分 加速度是速度對時間的微分,位置的二次微分
速度是位置對時間的微分 加速度是速度對時間的微分,位置的二次微分
速度,加速度向量(以分量計算)
運動的物理
如果沒有空氣,所有物體,無論輕重落地時間相同
沒有介質阻力下,所有物體將以同樣的方法下落 物體的運動與物體大部分的性質無關!無關的性質在討論時可以被忽略!
這些無關的性質在討論時可以被忽略! 為了簡化討論,可以以忽略許多無關性質的 Model 模型來研究! Models is a simplification of reality. It allows us to focus on the important aspects by excluding those aspects that play only a minor role. 模型畢竟與真實的物體不同,也因此比真實的物體方便操作。
The particle model of motion is a simplification in which we treat a moving object as if all its mass were concentrated at a single point. 文學家會抱怨這是可怕的簡化與謀殺:你丟掉了色彩、衣服的質料、表情、心事……但….. 我們可以專心於她的位置,而且可以去測量並研究!
而且細節可以慢慢加回去、一件一件有系統地加以考慮:
粒子的模型竟然比我們原來預期的更真實! 所有物質都是由沒有大小的粒子所構成:基本粒子!
在運動過程中,粒子在每一特定時間對應一特定位置:位置是時間的函數! 這個單變數函數是力學研究的對象與目標
這個單變數函數可以用圖形表示: 位移
沒有介質阻力下,所有物體將以同樣的方法下落 地表上物體的下落運動是普遍的,因此非常特別。 物體的下落是等加速度運動! 這個非常特別的運動,它的加速度是定值! 對物體運動的研究應該由速度轉移到加速度!
http://techtv.mit.edu/collections/physicsdemos/videos/831-strobe-of-a-falling-ball
天上的月球與地上的物體,運動速度(特別是方向)雖然完全不同,但運動的加速度卻都指向地心! 如果以加速度來研究,月球與蘋果的運動本質上是一樣的。
何謂加速度? 速度是位置的變化率! 加速度是速度的變化率!
這個單變數函數可以用圖形表示: 位移
但是,在時間Δt 中,速度可能一直在變化。
這看來是一個無意義的數學式! 這個式子是有意義的!
任一特定時間都有一速度:
等加速度運動
任一特定時間都有一速度,速度也是一個時間函數: 加速度是速度的瞬時變化率
以上的運算對任一單變數函數都可以定義,稱為導數: 而且在所有 x 都可以定義: 所得為一函數,稱為導函數 導函數即在 x 處的切線斜率 f f Δf Δx x x
以上的數學運算稱為微分 Differentiation 微分是由一個函數得到另一個函數的運算
高次微分
速度是位置對時間的微分 加速度是速度對時間的微分,位置的二次微分
常數的微分為零
線性組合
多項式的微分
等加速度運動
等加速度運動
自由落體
垂直拋體
高次微分
導函數可以求極值 在極值處切線斜率為零 f x x0 f x x0
倒函數的微分: 乘積律
連鎖律(合成函數的微分) x g f
例子: x g f
Motion in 2-3 Dimensions
3D 向量 Vector 向量的要素:大小,方向 圖示法
分量法
由分量可以得到向量的大小 由分量可以得到向量的方向: 分量法 分量的值與座標軸的選取有關!
位置是一個向量 分量法
由分量可以得到向量的大小 由分量可以得到向量的方向: 分量法 分量的值與座標軸的選取有關!
位移也是一個向量 其分量就是位置向量各分量的差! 位置 位移
速度 Vector 向量 如此定義速度向量的方向是沿著運動的切線方向,大小是移動的速率。
加速度向量(以圖形討論)
加速度向量(以分量計算)
加速度向量(以分量計算)
等速圓周運動的加速度 以圖形討論
以等速圓周運動的位置向量分量直接計算向心加速度向量: ω是角度增加的速度,稱角速度
Δx Δx
等速圓周運動的加速度
等速圓周運動的加速度 向心加速度指向圓心
Isaac Newton (1642-1727) 月球的運動也是等加速度運動! 加速度的方向也是指向地球!
天上的月球與地上的物體,運動速度(特別是方向)雖然完全不同,但運動的加速度卻都指向地心! 如果以加速度來研究,月球與蘋果的運動在本質上是一樣的。
= 塵世的物體可以成為神聖的天體! 天體與地面物體本質上是平等的!
天體與蘋果服從同樣的物理定律 Isaac Newton (1642-1727) 物理定律是普遍的 (universal)
指數函數的微分 指數函數的微分和它自己成正比
原子核的衰變也是如此,我們無法預測單一一顆原子核何時衰變,只能預測機率。 λ 每單位時間衰變率為 λ 1-λ
如果是處理一大群原子核: λ即是一個原子核每秒衰變的機率! 隨時間增加以指數遞減