6.4 特征根与特征向量 授课题目：6.4 特征根与特征向量 授课时数：4学时 教学目标：掌握特征根与特征向量的定义、 性质与求法 教学重点：特征根与特征向量的定义与性质 教学难点：特征根与特征向量的求法

一. 特征根与特征向量的定义与例子 1. 一个问题 对n维线性空间V的线性变换σ，能否在它 所对应的相似矩阵类中找到一个最简单的矩阵 ――对角矩阵来表示．换句话说，能否在V中找 到一个基{α1，α2，…，αn}，使σ在这个基下 的矩阵是对角形

即有 （σ（α1），σ（α2），…，σ（αn）） ＝(α1，α2，…，αn)　 具体写出来，就是σ(αi)= λiαi , i=1,2, …,n.

由上面的分析可知，要寻找这样的基（如果有的 话），首先要寻找满足条件σ（ξ）= ξ的数 和非零向量ξ． 2. 特征根与特征向量的定义 定义1　设σ是数域F上线性空间V的一个线性变 换．如果对应F中的一个数λ，存在V中的非零向 量ξ，使得σ（ξ）=λξ　 （1） 那么λ就叫做σ的一个特征根（值），而ξ叫做 σ的属于特征根λ的一个特征向量．

其中（1）式的几何意义是：特征向量ξ与它在 σ下的象σ（ξ）保持在同一直线L（ξ）上， ＞0时方向相同， ＜0时方向相反， ＝0时，σ（ξ）= 0．

3. 几个基本事实 设 是σ的特征根，存在如下基本事实： 1）若ξ1，ξ2，是σ的属于特征根 的特征向 量，则当ξ1+ξ2≠0时，ξ1+ξ2也是σ的属于 特征根 的特征向量．因为 σ(ξ1+ξ2)=σ(ξ1)+σ(ξ2) = （ξ1+ξ2）．

2）若ξ是σ的属于特征根 的特征向量，则对 任意k∈F，k≠0，kξ也是σ的属于特征根 的特征向量，这是因为kξ≠0，且 ξ)= （kξ）． σ(kξ)=kσ(ξ)=k( 3）一个特征向量只能属于一个特征值． 事实上，设ξ≠0是σ的属于特征值 与 的特 ξ= - ′ 征向量，就有σ(ξ)= ξ, ( )ξ=0， ＝0，从而 而ξ≠0，只有

的全部 从上面的性质可知,把σ的属于特征根 的全部特征向量再添上零向量组成V 的一个子集, 它对V的加法和数量乘法作成V的一个子空间, 记为Vλ.Vλ= 称为σ的属于特征根 的特征子空间． 当 是σ的特征根时,Vλ≠{0},因此,Vλ含有 无限多个向量.但我们只要求出Vλ的一个基. Vλ就被确定了． 4. 几个例子

二. 特征根与特征向量的求法

1. 问题的转化 直接由定义来求线性变换的特征值与特征向 量往往是困难的，我们可用线性变换的矩阵来解 决这个问题． 设V是数域F上的n维线性空间，取定它的基 ｛α1，α2，…，αn｝，令线性变换σ在这个 基下的矩阵是A＝（aij）. 如果ξ＝k1α1+ k2α2+…+ knαn是线性变换σ的 属于特征根 的一个特征向量，那么，

σ（ξ）关于基｛α1，α2，…，αn｝的坐标是 而λξ的坐标是 这样，就有 或

这说明特征向量ξ的坐标（k1，k2，…，kn）是 齐次线性方程组 （2） 的非零解．从而（2）的系数行列式为

反过来，如果λ∈F，满足等式（3），则齐次线 性方程组（2）有非零解（k1，k2，…，kn）， ξ＝k1α1+ k2α2+…+ knαn满足等式（1）， 是σ的一个特征根，ξ就是σ的属于特征根 的特征向量．

由上面的分析，可以得到以下的结论 1） ∈F是σ的特征根的充分必要条件是它满足 方程（3）； , 子空间Vλ中一切向量在基 2）对于特征根 ｛α1，α2，…，αn｝下的坐标正好构成齐次 线性方程组（ I-A）X=0的在F上的解空间． I-A）X=0的解空间同构. Vλ的 实际上Vλ与（ 一个基｛β1，β2，…，βn｝可由齐次线性方

程组（ I-A）X= 0的一个基础解系 ｛η1，η2，…，ηn｝给出. （其中βi=(α1，α2，…，αn)ηi, i=1,2, …,r）. 2. 矩阵的特征多项式与特征根

定义3　设A=(aij)是数域F上的一个n阶矩阵， 行列式 叫做矩阵A的特征多项式．fA(x)在C内的根叫做 矩阵A的特征根．

设λ0∈C是矩阵A的特征根，而x0∈Cn是一个 非零的列向量，使Ax0=λ0 x0 , 就是说，x0是齐 次线性方程组(λ0I-A)X=0的一个非零解． 我们称x0是矩阵A的属于特征根λ0的特征向量．

3. 线性变换的特征根与矩阵的特征根的关系 （1）如果σ关于某个基的矩阵是A,那么σ的特 征根一定是A的特征根，但A的特征根却不一定 是σ的特征根，A的n个特征根中属于数域F的数 才是σ的特征根； （2）σ的特征向量是V中满足（1）式的非零向 量ξ，而A的特征向量是Cn中的满足 Ax0= x0的非零列向量x0；

（3）若λ∈F是A的特征根，则A的Fn中属于 的特征向量就是σ的属于 的特征向量关于给 定基的坐标． 4. 线性变换的特征根与特征向量的求法 现在把求线性变换σ的特征根和特征向量的步 骤归纳如下： 1）在线性空间V中取一个基 ｛α1，α2，…，αn｝， 求出σ在这个基下的矩阵A；

2) 计算特征多项式fA(x)=|XI-A|,求出它的属于数 域F的根λ1，λ2，…，λ s; 3) 对每个λi(i=1,2, …,s)求齐次线性方程组 (λiI-A)X=0的基础解系； 4) 以上面求出的基础解系为坐标，写出V中对应 的向量组，它就是特征子空间Vλi的一个基，从 而可确定σ的特征向量．

例4　设R上的三维线性空间V的线性变换σ在 基｛α1，α2，α3｝下的矩阵是 求σ的特征根和对应的特征向量．

解　σ的矩阵A已给出，先求特征多项式和特 征根． fA(x)的根为λ1＝1（二重根），λ2＝-2都是σ 的特征根． 对特征根λ1＝1，解齐次线性方程组 （1·I-A）X=0，即

得基础解系 ξ1＝（-2，1，0），ξ2＝（0，0，1）．

对应的特征向量组是｛-2α1+α2,α3｝，它 是特征子空间V1的一个基，所以 V1＝L（-2α1+α2，α3）． 而σ的属于特征根1的一切特征向量为 k1（-2α1+α2）+k2α3，k1，k2∈R，不全为0． 对特征根λ2＝-2，解齐次线性方程组

得基础解系ξ3＝（-1，1，1），对应的σ的特征 向量是-α1+α2+α3，它可构成V-2的一个基，所 以　V-2＝L（-α1+α2+α3）． 因此σ的属于特征根-2的一切特征向量为　 k（-α1+α2+α3），k∈R，k≠0．

例5　在线性空间Fn［x］中，线性变换D: D(f(x))= f′(x)在基 {1, x , ,…, }下的矩阵是

A的特征多项式是 它的根仅有一个（n+1重根）λ1＝0∈F，即D 仅有特征根λ＝0（n+1重根）．

对于这个特征根λ1＝0，解相应的方程组 得基础解系η1＝（1，0，0，…，0）．它对应 的D的特征向量是1·1+0·x+…+0· =1.

于是，Vλ1 =V0=L(1).即D的属于特征根0的特征 向量为任一非零常数，这与数学分析中的结论是 一致的． 例6　分别在实数域R和复数域C内求矩阵 的特征根和相应的特征向量．

解 ①　在R内，A只有特征根1，A的属于特征根1 的特征向量为k（2，-1，-1），k∈R，k≠0． ②　在C内，A有特征根λ1＝1，λ2＝i, λ3＝-i. A的属于特征根1的特征向量为k（2，-1，-1），

k∈C，k≠0；A的属于特征根i的特征向量为 K1(-1+2i,1-i,2), k1∈C, k1≠0 A的属于特征根-i的特征向量为k2(-1-2i,1+i,2), k2∈C, k2≠0 注意：求A的特征根时，要考虑给定的数域， 若没有指定数域，就在C内讨论；表示属于某 个特征根的特征向量(关于基础解系)组合系数 要取自指定的数域F(或C)，且不全为零．

三．特征多项式的基本性质． 定理6.4.1　相似的矩阵有相同的特征多项式． 证　设A~B,即存在可逆矩阵T使得B=T-1AT.于是 FB(x)=|xI-B|=| x I - T-1AT |=| T-1(x I-A)T | =|T-1||x I-A ||T|=| x I-A |= fA(x).□

一个线性变换σ在不同基下的矩阵是相似的， 根据定理，它们有相同的特征多项式．因而， 我们可以把σ在任一个基下的矩阵的特征多项 式叫做σ的特征多项式，记为fσ (x)． 如果把n阶矩阵A的特征多项式

展开，得到F［x］中的一个多项式．它的最高 次数项xn，出现在主对角线上元素的乘积 (x-a11) (x-a22) …(x-ann) (5) 中．行列式fA(x)的展开式里，其余项至多含有 n-2个主对角线线上的元素．因此，fA(x)是乘积 （5）和一个至多是x的一个n-2次多项式的和， fA(x)中次数大于n-2的项只出现在乘积（5）中． fA(x)＝x n -( a11+ a22+…+ a nn)x n-1+….

上式右端没有写出的项的次数最多是n-2．由此 可知： （1）fA(x)是x的首项系数为1的n次多项式． （2）fA(x)的n-1次项的系数乘以-1就是A的主对 角线上元素的和，叫做矩阵A的迹，记为tr(A)． tr(A)= a11+ a22+…+ ann. （3）fA(x)的常数项是fA(0)．它由在(4)式中 令x=0得.即fA(0)＝ |-A|=(-1) n|A|.

(4)若λ1,λ2, … ,λn是fA(x)在复数域C内的n个 根（可能有重根），根据根与系数的关系应有 tr(A)＝λ1+λ2+… +λn ,｜A｜＝λ1λ2…λn． 就是说，矩阵A的迹等于A的全部特征根的和， 而A的行列式等于它的全部特征根的乘积．特征 多项式还有下面重要性质．

定理6.4.2(Hamilton-Caylay定理) 设A是数域F上的一个n阶矩阵， 而fA(x)=｜x I-A｜=x n+a1 x n-1+…+a n-1x+a n 是A的特征多项式，则 fA(x)＝An+ a1An-1+…+an-1A+anI=0. 证　设B(x)=( x I-A)*是x I-A的伴随矩阵， 由伴随矩阵的性质有 B(x) ( x I-A)=| x I-A |·I=fA(x)I

因为B(x)中的元素都是｜x I-A｜中各元素的代 数余子式，它们的次数都是不超过n-1的x多项 式，由矩阵的运算性质，B(x)可写成 B(x)= xn-1B0+ xn-2B1+…+xBn-2+Bn-1 , 其中B0, B1, …, Bn-1都是n阶数字矩阵．于是有 B(x)(xI-A)=(xn-1B0+xn-2B1+…+xBn-2+Bn-1)(xI-A) =xn B0+ xn-1(B1- B0 A)+ xn-2(B2- B1A)+ … +x(Bn-1- Bn-2A)- Bn-1A . （1）

fA(x)I=xnI+a1xn-1I+an-1xI+anI. （2） 比较（1）和（2）得 B0=I, B1- B0A= a1I, B2- B1A= a2I , …………, Bn-1-Bn-2A= an-1 I , -Bn-1A= anI . 用An, An-1 , …, A, I分别依次从右边乘上面各个等 式再相加可得 0=An+a1 An-1+…+ an-1A+ anI= fA(A) , 即fA(A)=0.□

习题　6.4 1. 在V3中，H是过原点的平面,σ是把任意向量 变成它在H上的正投影的线性变换,指出σ的特 征根与特征向量． 2. 设σ是线性空间V的线性变换， σ(α)=λ0α, f(x)= a0xm+α1 xm-1+…+ am-1x+ am .　 证明：f(σ)(α)= f(λ0)(α).

3.设σ,τ是数域F上线性空间V的两个线性变换, 则τ(α) ∈ ( ={ξ∈V|σ(ξ)=λ0ξ}). 4.设数域F上的三维线性空间V的一个线性变换 σ在基{α1,α2,α3}下的矩阵是 求σ的特征根和相应的特征向量．

5.设R上的三维线性空间V的一个线性变换σ在 基{α1,α2,α3}下的矩阵是 求σ的特征根与相应的特征向量． 6. 求下列矩阵在复数域C内的特征根与特征向量： ,

7.设σ是F上线性空间V的一个可逆的线性变换． 证明： 1）σ的特征根不等于零； 2）若λ0是σ的特征根，则 是σ-1 的特征根． 8．设σ是数域F上线性空间V的一个线性变换， 且σ2＝σ,称σ为幂等变换．证明： 幂等变换的特征根只能是0或1．

9. A是n阶矩阵．证明，A可逆的充分必要条件 10. 证明:n阶方阵A与它的转置A′有相同的特 征多形式. 11.设A、B都是n阶方阵.证明： 1）tr(AB)= tr(BA) ; 2)若A~B, 则tr(A)= tr(B).