第二章 初 等 模 型

一、公平的席位问题

问题的提出 把定量的席位分配给不同的单位，并使得分配尽可能 地“公正”，这就是所谓的“席位分配”问题.

问题 某学校有3个系，共200名学生，其中甲系有学 生100名，乙系有学生60名，丙系有学生40名。现拟成 立有20人组成的学生会，问应如何分配学生会名额？ 解 3个系的学生数所占须生总额的比例为 ，由 此不难得到名额分配方案为 。 若丙系有6名学生转到他系，其中甲系3人，乙系3人， 此时应如何分配名额呢？ 一般原则是先取整数分配，小数部分按取大原则。

甲系： ； 乙系： ； 丙系： 。 即：甲系10人，乙系6人，丙系4人。 这样的分配方案是否公平呢？

假设学生会成员数上升到21人，问应该如何分配？ 甲系： ; 乙系： ; 丙系： . 即：甲系11人，乙系7人，丙系3人.

从中可以看出这样的分配方案并不合理. 作为丙系的 代表是不会接受这样的分配方案的.

模型的建立 假设 1.席位是以整数计量的，并且为有限个，设为 个; 2.参加分配的单位为有限个，并且不超过席位数. 设 单位数为 ，即 ; 3.每个单位有有限个人，席位是按各集体的人员多少 来分配的.

所谓公平原则指的是: 每个席位在各自的集体中所代 表的人员数希望是相等的.

到的席位数为 ，故每个席位所代表的人员数分别 为 建模 为体现公平性，引入指标: 设 有 两个集体，人员数分别是 ，分配 到的席位数为 ，故每个席位所代表的人员数分别 为 ⑴ (1)式所反映的是每个席位所代表的人员数. 显然，若 ，则对 两个集体而言，分配是绝

对公平的: 若不相等，则“绝对不公平度”为 ⑵ 但下面的例子说明这样的刻画还是有缺陷的.

集体名 人员数 席位数 代表数 绝对不公平度 A 120 10 12 2 B 100 C 1020 102 D 1000

在上面的例子中，绝对不公平度都相等: 但实际问题是: 间存在的不公平显然要比 间 存在的不公平要大. 为此我们引入: 当 时， 吃亏，称 ⑶ 为 的相对不公平度；

当 时， 吃亏，称 ⑷ 为 的相对不公平度。 在前例中， 我们的目标是：在每一次分配时都使得相对不公平度 都达到最小.

解模 设 单位已有席位 ， 单位有席位 ，并假定 吃 亏，即 ，因而 有意义. 现考虑下一个席位的分配: ⑴席位分配给 仍然是 吃亏，即 毫无疑问，该席位应该分配给

⑵把下一个席位分配给 使 吃亏，即 此时可算出 的相对不公平度 ⑸ ⑶把下一个席位分配给 一定是 吃亏，此时相对不 公平度为 ⑹

⑷把下一个席位给 使 吃亏，这是不可能的。 问题的关键就是在⑵⑶情况下，通过比较相对不公平 度的大小，确定下一个席位的分配方案，原则是把下一 席位分配给相对不公平度大的一方。由此得到以下结论: 当 时，这一席位分配 给 ; 当 时，这一席位分配 给 .

若 ，即 上式等价于 ⑺ 引入 ⑻

则在⑵⑶的情况下，席位应分配给 值大的那一方。 在情况⑴，由于 所以，

因而把席位分配给 符合上面的原则. 把上面讨论的情况一般化就得到 个单位 个席位的 分配方法： 当分配一个新的席位时，首先按⑼计算各单位的 ， ⑼ 再根据 值最大的一方进行分配。

再回到本节一开始的问题，此时 首先先给各系一个席位，因而 再计算 由此，第4个席位应该给甲系，此时 再计算 值:

而 值没有变化，因此得到第5个席位给乙系. 由 此得到余下的席位的分配情况（具体分配见下表）.

序号 1 5304.5(4) 1984.5(5) 578.0(9) 2 1768.17(6) 661.5(8) 192.67(15) 3 884.08(7) 330.75(12) 96.33(21) 4 530.45(10) 198.45(14) 5 353.63(11) 132.3(18) 6 252.6(13) 7 198.45(16)

序号 8 147.35(17) 9 117.88(19) 10 96.45(20) 席位个数 11 6 4 上面的计算结果表明: 丙系最终保住了一个席位.

二、双层玻璃窗的功效

问题的提出 在北方城市的某些建筑中，玻璃窗是用 双层玻璃构成的，并且两层玻璃之间还留有一定的空 问题的提出 在北方城市的某些建筑中，玻璃窗是用 双层玻璃构成的，并且两层玻璃之间还留有一定的空 隙。其作用是减少热量的流失。假定玻璃窗的厚度为 ， 今建立一个相应的数学模型来讨论这个问题，并与一个 厚度为 的玻璃窗进行热量流失的比较。 热传导方向 墙 墙

模型假设 1.热量的传播过程中只有传导，没有对流，即假设窗 户的密封性能很好，双层玻璃之间的空气是不流通的； 2.室内温度 和室外温度 保持不变，热传导过程处 于稳定状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积 的热量是常数； 3.玻璃材料均匀，热传导系数是常数。

建模 由假设，热传导过程遵从下面的物理定律: 厚度为 的均匀介质，两侧温度差为 ，则单位时间 由温度高的一侧流过单位面积的热量 与 成正比，与 成反比，即 ⑴ 其中 为热传导系数。

记双层窗内层玻璃的外侧温度是 ，外层玻璃的内侧 温度是 ，玻璃的热传导系数为 ，空气的热传导系数 为 ，则由⑴式，单位时间单位面积的热量传导（热 量流失）为 ⑵ 由此得到：

即： ⑶ 再由 代入⑶式得： 移项整理后得：

所以： ⑷ 其中

再注意到，厚度为 的单层玻璃窗的热传导过程为 ⑸ 两者之比为 ⑹ 为了得到更进一步的结果，需要传导系数 的值。 实验数据表明，常用玻璃的热传导系数为

不流动、干燥空气的热传导系数为 所以 取最保守的估计，即取 由⑷，⑹得 ⑺

比值 反映了双层玻璃窗在减少热量流失上的功 效。它只与 有关。下图给出了 曲线， 当 上升时， 迅速下降；而当 到达一定值后， 下降趣缓。由此可见， 不必过大。

模型应用 该模型具有一定的应用价值。尽管双层玻璃窗会增加 制作工艺上的成本，但它在降低热量流失上的功效是相 当可观的。通常，建筑规范要求 ，按照该 模型， ，即双层玻璃窗比同样多的玻璃材 料制成的单层玻璃窗节约热量约 左右。

三、四足动物的身材

问题的提出 如何根据四足动物的外部尺寸来估计它的重量？ 要点：本模型是希望建立四足动物的躯干特征来估计 其重量，而并不是研究其生理结构的特征。

模型假设 1.四足动物的躯干的外形为圆柱体； 2.躯干被架在四条腿上，把躯干看作简支弹性梁。

设躯干的长度为 ，躯干截面（圆）的面积为 ，直径 为 ，四足动物的质量为 ，体重为 ，由于体重的作 建模 设躯干的长度为 ，躯干截面（圆）的面积为 ，直径 为 ，四足动物的质量为 ，体重为 ，由于体重的作 用，躯干（弹性）的垂度（梁的最大挠度）为 。 由弹性力学知道： ⑴ 符号∝表示成正比。 又： ，所以

比值 是动物的相对下垂度。 太大，四肢将无法支 撑； 太小，无疑是一种浪费。因此，从生物学的角度 来说，因此对每一种动物而言， 已经达到最佳状态， 故可假设：相对下垂度 为常数。在该假设下有： ⑶

在该假定之下，有 所以： 即：体重与躯干长度的4次方成正比。

四、汽车的刹车距离

问题的提出 美国的某些司机培训课程中有这样的规则: 正常驾驶条 件下, 车速每增加10英里/小时, 后面与前面一辆车的距 离应增加一个车身的距离. 又云: 实现这个规则的一种简 便方法是所谓“两秒准则”: 即后车司机从前车经过某一 标志开始默数2秒后到达同一标志，而不管车速如何.

制定这样的规则是为了在后车急刹车情况下不致撞上 前车，即要保持汽车的刹车距离. 显然刹车距离与车速 问题分析 制定这样的规则是为了在后车急刹车情况下不致撞上 前车，即要保持汽车的刹车距离. 显然刹车距离与车速 有关. 先看汽车在10英里/小时（约16km/h）的车速下两 秒钟内汽车能行驶的距离: 1英里=1.61公里，1英寸=2.54厘米。1英里=5280英尺。 所以，行驶距离用公制来表示为：

而这个距离远大于一个车身平均长度（15英寸=4.6m）. 所以“两秒准则”与上述规则并不一致. 为此，我们需要 对刹车距离作仔细的分析. 注意到刹车距离是由反映距离和制动距离两部分构成 的. 反映距离由反映时间和车速决定的，反映时间取决于 司机个人的状态和制动系统的灵敏性，一般情况下，把 它视为常数，且在这段时间内车速为常数.

制动距离与制动器作用力、车速、车重及道路、气候 等因素有关. 设计制动器的一个合理原则是: 最大制动 力与车的质量成正比，使汽车的减速度基本上是常数. 基于以上分析，我们可以做这样的一些假设:

模型假设 1.刹车距离 等于反应距离 与制动距离 之和； 2.反应距离 与车速 成正比，比例系数为反应时间 ; 3.刹车时使用最大制动力 ， 所做的功等于汽车动能 的改变，且 与车的质量 成正比.

建模 由假设2， ⑴ 再由假设3，在力 作用下行驶距离 作的功 使 车速从 变成 ，动能的变化为 ，即 又 由牛顿第二定律 再由上式得 ⑵

其中 由假设1刹车距离为 ⑶ 为了将模型应用于实际，需要知道参数 的值. 取 的经验估计值 而 用曲线拟合来得到: 车速 实际刹车距离 计算刹车距离 刹车时间 20 42 39 1.5 30 73.5 76.6 1.8 40 116 126.2 2.1

车速 实际刹车距离 计算刹车距离 刹车时间 50 173 187.8 2.5 60 248 261.4 3.0 70 343 347.1 3.6 80 464 444.8 4.3 利用表中的数据及 得 ，于是 ⑷ 上表中的第三列的数据是由⑷式计算得到的，下图给

出了实际刹车距离与计算刹车距离的比较。 计算刹车距离 实际刹车距离

模型的应用 按照上述模型可以将所谓“2秒准则”修正为“ 秒准则”， 即后车司机可以从前车经过某一标志开始默数 后到达 同一标志， 由下表给出:（单位：英里） 车速 0-10 10-40 40-60 60-80 t秒 1 2 3 4

五、扬帆远航

海面上东风劲吹，帆船从 点驶向正东方的 点，为 了借助风力，船应该先朝东北方向前进，然后再转向东 问题的提出 海面上东风劲吹，帆船从 点驶向正东方的 点，为 了借助风力，船应该先朝东北方向前进，然后再转向东 南方，问题是如何选择起航时的航向 和帆的朝向 . 模型分析 北 风向 帆船 帆 帆船在航行过程中既受到风通 过帆对船的推力，又受到风对船 的阻力.

的阻力，因为 与 的方向正好相反，所以船受到的 净推力为 风的推力分解成 其中 与帆垂直， 与帆平行. 又分解成 为风在航向上的推 力, 风的阻力 分解成 其中 为风在航向上 的阻力，因为 与 的方向正好相反，所以船受到的 净推力为 图2 由流体力学知道：在船速不大的 情况下航速与净推力成正比. 于是 当船的航向 与帆的朝向 确定之 后，应该使船在正东方的速度，即

净推力在正东方向的分力达到最大. 图2

模型假设 记帆的迎风面积为 ，船的迎风面积为 ， 1. 风通过对帆的推力 与 成正比，风对船体的阻力 与 成正比，比例系数相同； 2. 的分力 与帆面平行，可以忽略； 3.分力 和 垂直于船身，可以被船舵抵消，不予考 虑；

4.航速 与净推力 成正比，比例系数为 建模 根据模型假设和图2中各个力之间的几何关系，得到 ⑴ ⑵ ⑶

⑷ 记船在正东方的速度分量为 则 ⑸ 则问题是确定 和 ，使 最大.

该问题是一个二元函数的极值问题。由⑶， 与 无 关，故首先在 固定时，使 最大，解出 ，然后再求 使 最大. 解模 该问题是一个二元函数的极值问题。由⑶， 与 无 关，故首先在 固定时，使 最大，解出 ，然后再求 使 最大. 由⑵式 (6)由三角函数中的积化和差得到.sinx*siny=[cos(x-y)-cos(x+y)]/2. ⑹

在⑹式对 求导, 并令其为令, 则有 得 此时 ⑺ 最大. 将上述结果代入到⑸式，得 ⑻

由⑴式，记 ⑼ 则⑻式为 ⑽ 对⑹求导,并令其为0,得⑺ 由上式, 知当 时, 达到最大, 又

因而有 从而有 即 ⑾ 1<t<2.

结果分析 航向 角应在 和 之间（具体数值取决于 和 之比），帆的朝向 角为 的一半。这是 点出发时 船的航向及帆的朝向. 行驶时点 将不在船的正东方， 上述结论不再成立，此时，应不断调整 和 ，才能尽 快达到 点.

六、量纲分析法

量纲分析法是20世纪初提出的在物理领域中建立数学 模型的一种方法。它通过物理定律中的量纲齐次原则， 确定各物理量之间的关系，最终建立相应的数学关系， 从而得到对应问题的数学模型.

许多物理量是有量纲的。有些物理量的量纲是基本的， 我们把它们称为“基本量纲”；而某些量纲是由这些量纲 组成的，因而把它们称为“复合量纲”. 时间量纲 长度量纲 在不同的领域中，基本量纲可能是不相同的。 质量量纲

复合量纲 速度量纲 加速度量纲 力的量纲 万有引力系数 上式说明：万有引力系数是一个有量纲的量。

无量纲的量记作 定理1 设 个物理量 间有关系式 ⑴ 其中 有基本量纲，而 各量的量纲为由上述量纲表示的复合量纲，则关系式⑴ 可表示为 个无量纲 间的关系式 ⑵

定理2 设 个物理量 间有关系式 ⑶ 又设有 个基本量纲 ，且所有的物理 量 的量纲可表示为 ⑷ 若矩阵 的秩为 ，则关系式⑶可表示为 ⑸

其中 为无量纲的量，它们可表示为 ⑹ 而 是线性方程组 ⑺ 的基本解，其中

由以上两个定理可以看到：若假定各物理量间的关系 式⑶的形式为 ⑻ 则量纲分析法所用的数学方法就是求解线性方程组。 由于式⑻两端的量纲必须相同，则有 ⑼

例1 设质量为 的小球系在长度为 绳的一端，稍偏 离平衡位置后，小球在重力的作用下做往复运动，求摆 动周期 的表达式。 解 设在这个周期运动中各个量之间有下列关系： ⒀ 其中 是个无量纲的比例系数， 是 重力加速度， 为待定常数。 由于关系⒀两边的两量纲应该相等

故得 由基本量纲得 由此得关系式

该方程组的唯一解是 代入到⒀得 而我们知道正确的公式是

注意得是，上面两个公式仅有常数的差别。此说明在 利用量纲分析法得到了所需要的关系之后，还要用实验 数据来确定未知常数。 另外在例中的关系式中，小球的质量 没有出现，此 说明周期与小球质量无关。

例2 速度为 的风吹在迎风面积为 的风车上，空气 密度为 试用量纲分析法建立风车功率与 之间 的关系。 例2 速度为 的风吹在迎风面积为 的风车上，空气 密度为 试用量纲分析法建立风车功率与 之间 的关系。 解 设功率为 且 由功率的定义： 所以 功率的定义：在单位时间内所做的功。功的定义：力乘位移。

又由假设： 从而得到： 比较上两式即得：

即有： 所以关系式为

例3 不可压缩粘滞流体在管道内的稳定流动问题。 例3 不可压缩粘滞流体在管道内的稳定流动问题。 解 在该问题中牵涉到的物理量有：管长 流速 流 体密度 管道两端的压强差 和重力加速度 基本量 纲是 其它的物理量纲有： 压强=压力/面积. 设粘滞系数为 则由定义 得

再假设这些物理量之间有关系 上式两边的量纲必须相同，即有： 由此得到方程组：

方程组的系数矩阵为

注意到三阶行列式 从而系数矩阵的秩为3，方程组有3个基本解：

由此获得三个关系式： 由定理2得 其中 在理论力学中分别被称为Reynold数和Froude 常数。

七、练习 1.某学校有1000名学生, 其中255人住在 楼, 333住在 楼, 432住在 楼, 学生们要成立一个10人的委员会, 试 1.某学校有1000名学生, 其中255人住在 楼, 333住在 楼, 432住在 楼, 学生们要成立一个10人的委员会, 试 用两中方法确定各宿舍的委员个数. 并当委员数上升15 人时, 确定分配方案. 2.在商品社会里, 有些大包装商品的单位重量价格比小 包装商品的单位重量价格要低一些, 试用比例法来构造 产生这种现象的数学模型.

提示: 可以按下面的思路来构造模型: ⑴商品价格与商品生产成本, 运输成本, 包装成本等 因素有关, 先确定哪些量与商品重量成正比, 哪些量与 商品包装的表面积成正比. 当商品的外形不变时来确 定商品重量和商品包装的表面积的关系, 在此基础上, 建立起保装商品的单位重量的价格 与商品重量 的 关系. ⑵根据在⑴中所建立的关系式, 计算出单位的变化率.

如此, 就能根据这个模型来解释本题所提出的商品现象. ⑶设某商品有三种不同的包装, 它们的重量分别为 并且 相应的单价为 和 试证明 并说明上式的实际意义.

3.用量纲分析法研究人体浸在均匀流动的水中时损失的 热量. 记水的流速 密度 粘性系数 热传导系数 人体尺寸 证明人体与水的热交换系数 与上述各物理 量的关系可表为 其中 是未定函数, 定义为单位时间内人体的单位面积 在人体与水的温差为 时的热量交换.