不等式圖解的應用 應用問題 自我評量

上一節，我們學習了如何在數線上圖示不等式的解。將一個不等式的解以圖示表示時，除了可以給人較具體的感覺之外，假如問題中還有其他的限制條件時，藉由畫出不等式的圖解，可以幫助我們解決問題，請看下面的例題。

1利用圖示法求最大整數 不等式 4x－（2x－12）＜x＋ 的解中，最大的整數是多少？

解 4x－（2x－12）＜ x＋ 4x－2x＋12＜ x＋ 2x＋12＜ x＋ x＜－

其解圖示如下： 由上圖可看出，滿足不等式 4x－（2x－12） ＜x＋　　的解中，最大的整數為 －2。

不等式 2x－（－3x＋1）＞4x＋1 的解中，最小的整數是多少？

上學期，我們學習了將一個數記成科學記號 a×10n 的形式（其中 1≦a＜10，n 為整數） 。不等式「1≦a＜10 」的意義是「1≦a 且 a＜10 」 ，也就是說，它的解必須使「1≦a」與「a＜10」同時成立。

在同一條數線上分別圖示 2≦x 的解與 x＜6 的解，重疊的部分就是不等式 2≦x＜6 的解。圖示如下： 2圖解含有兩個不等號的不等式 在數線上圖示不等式 2≦x＜6 的解。 2≦x＜6 就是「2≦x 且 x＜6」。 在同一條數線上分別圖示 2≦x 的解與 x＜6 的解，重疊的部分就是不等式 2≦x＜6 的解。圖示如下： 解 也可以將左圖簡化成：

1.在數線上圖示－2＜x≦3 的解。 2.在數線上圖示 ≦x≦7的解。

3圖解含有兩個不等號的不等式 解一元一次不等式－1＜2x－3≦5，並圖示其解。

－1＜2x－3≦5表示「－1＜2x－3且2x－3≦5」。 由－1＜2x－3 得 x＞1……… 由 2x－3≦5 得 x≦4……… 解 －1＜2x－3≦5表示「－1＜2x－3且2x－3≦5」。 由－1＜2x－3　 得 x＞1……… 由 2x－3≦5　 得 x≦4……… 分別畫出、兩式的圖解， 重疊的部分就是不等式－1＜2x－3≦5 的解。 圖示如下： 不等式－1＜2x－3≦5 的解為 1＜x≦4

解一元一次不等式－5≦3x＋1≦10，並圖示其解 。 由－5≦3x＋1 得－2≦x 由 3x＋1≦10 得 x≦3 所以其解為－2≦x≦3

要打好數學基礎有兩個必經過程：先學習、接受「由薄到厚」；再消化、提煉「由厚到薄」。 ——華羅庚（1910-1985）

在日常生活情境中，某些數量的大小關係可用一元一次不等式表達，但是求出不等式的解，並不見得就是原問題的解。這是因為真實環境中有一些我們習以為常的「條件」，這些條件並不見得會在問題中被強調出來，例如：長度為正數、人數是正整數、⋯⋯。因此，當我們解應用問題時，這些隱含的限制條件必須自行列入考慮，並寫成不等式。

4 最小整數的應用題 煌奇想買一輛價格 3200 元的腳踏車，已知他現有存款1000元，他計畫從這個月起每月存款250元，問至少要幾個月後他才有足夠的錢可買這輛腳踏車？

設煌奇存了 x 個月， 則總存款為（1000＋250x）元， 依題意可列出不等式 1000＋250x≧3200 解

其解圖示如下： 由圖可知滿足不等式的最小整數解為 9，所以至少要存款 9 個月。

綺貞的父親今年 56 歲，六年前父親的年齡小於綺貞年齡的 4 倍，問綺貞今年至少多少歲？ 19歲

5 圖示解不等式的應用 已知一個長方形的長為（x－2）公分、寬為 6 公分，若此長方形的面積不大於 48 平方公分，求 x 的範圍。

因為面積不大於 48 平方公分，可列出不等式 6（x－2）≦48 x－2≦8 得 x≦10 在數線上圖示其解，可得

又因為邊長必大於 0，所以可列出不等式 x－2＞0，解得 x＞2 在上面的數線圖加上這個解，可得 所以原問題的解為 2＜x≦10

6 圖示解不等式的應用 已知一個三角形的底長為 5 公分，高為（x－5）公分，若此三角形的面積不小於 20 平方公分，求 x 的範圍。

因為面積不小於 20 平方公分， 可列出不等式 5×（x－5） × ≧20 x－5≧8 得 x≧13…….. 又因為高必大於 0， 解 因為面積不小於 20 平方公分， 可列出不等式　 5×（x－5） × ≧20 x－5≧8　 得 x≧13…….. 又因為高必大於 0， 所以列出不等式 x－5＞0，解得 x＞5…......  由式、式可以畫出以下的圖形： 故 x≧13

1.已知一個長方形的長為 （x－1）公分，寬為 5 公分，若此長方形的面積不小於 30 平方公分， 求 x 的範圍。 x≧7

2.已知一個三角形的底長為 ( x＋3 )公分，高為 4 公分，若此三角形的面積不大於 18 平方公 分，求 x 的範圍。 －3＜x≦6

7 圖示解不等式的應用 純美買了每本 15 元的筆記本 5 本，每枝 7 元的原子筆 3 枝，及每枝 24元的鋼珠筆若干枝（至少買 3 枝），總共花費不超過 240 元，請問純美可能買了幾枝鋼珠筆？

因為總共花費不超過 240 元，可列出不等式 15×5＋7×3＋24x≦240 24x＋96≦240 24x≦240－96 24x≦144 解 設純美買了 x 枝鋼珠筆， 因為總共花費不超過 240 元，可列出不等式　15×5＋7×3＋24x≦240 24x＋96≦240 24x≦240－96 24x≦144 x≦6……… 又因為至少買 3 枝，故 x≧3……. 

將、式圖示在同一數線上，可得 又 x 為整數，所以純美可能買了 3 枝、4 枝、5 枝或 6 枝鋼珠筆。

志祥買了每個 15 元的麵包 5 個，每個 20 元的蛋糕若干個（至少買 2個），總共花費不超過 200 元，請問志祥可能買了幾個蛋糕？ 2 個、3 個、4 個、5 個或 6 個

1.利用圖示法求最大（或最小）整數： 例如：求 x＜－ 中，x 的最大整數 圖示如下： 由圖知最大整數為－2

2.圖示兩個不等號的圖形： 例如：圖示 1≦x＜4，求出 x 的整數解 由圖知整數解為 1、2、3

3.解一元一次不等式的應用問題步驟： (1)設定一個未知數。 (2)依題意列一元一次不等式。 (3)解一元一次不等式。 (4)求出與題意相符的解。

5-2 自我評量 1.不等式 2（x－4）－6＞x－11 的解中，最小的 整數是多少？ 4 2.在數線上，圖示－2＜x≦7 的解。

3.解一元一次不等式－12＜3x－7≦11。 － ＜x≦6 4.有一梯形的上底為 5 公分，已知下底比上底長，若高為 4 公分，面積不大於 40 平方公分，求下底的範圍。 5＜下底≦15

5. 某人欲購買價值 30000 元的電腦，已知他有積 蓄7500 元，若他每週可儲蓄450 元，則最少還 需幾週後，才可以買到他想買的電腦？ 50 週

不等號的介紹 不等號（Sign of Inequality）是用以表示兩數（或兩量）之間大小關係的符號。除了課本中介紹過的「＞、＜、≧、≦、≠」外，在數學上，也會用「＞」來表示不大於，用「＜」來表示不小於。

1629年，法國數學家笛卡兒( René Descartes，1596-1650 ) 在其代數教程裡，用「A ff B」代表 A 大於 B，以及用「BξA」代表 B 小於 A。 1631 年，英國著名的代數學家哈里奧特（Thomas Harriot，1560-1621）在其出版的數學著作中，首先創用了「＞」（大於）及「＜」（小於），但未被廣泛採用。

同時期的英國數學家奧特雷德（William Oughtred ， 1574-1660）以「 」表示大於，以「 」表示小於，這兩種符號至十八世紀仍被採用。 1655 年，沃利斯（John Wallis，1616-1703，英國）曾以「 」表示「等於或大於」；到了1670 年，他以「 」、「 」分別表示「等於或大於」和「等於或小於」。

而根據哥德巴赫（Christian Goldbach，1690-1764，俄羅斯）於 1734 年 1 月寫給尤拉（Leonhard Euler，1707-1783，瑞士）的一封信所述，現今通用之「≧」與「≦」符號則為法國人布蓋（Pierre Bouguer，1698-1758）所首先採用，然後再逐漸流行。

到了近代，「＞」、「＜」分別表示大於及小於的符號，逐漸被廣泛採用，並以「＞」、「＜」、及「≠」來表示不大於、不小於及不等於。 而在1901年，法國數學家龐加萊（Jules Henri Poincare，1854-1912）與波萊爾（Borel，1871-1956）則引入了符號「》」表示遠大於，「《」表示遠小於。