數學黃金講座 JHMC解題 朱峻賢 老師

JHMC簡介 九九文教基金會自民國九十三年，應許多學校老師與家長之要求，比照已受高中職熱烈迴響的TRML高中數學競賽方式舉辦JHMC，能向下紮根至國中學生，帶動以團隊競賽方式讓學生藉由接觸、探索、互動、與分工合作等團體歷程中，達成提昇解決問題的能力與目的。並承襲團隊合作、隊員中相互激發的精神。 活動競賽的目的希望藉由數學競賽活動提升國中學生對數學學習的興趣，讓學生跳脫學習的窠臼，在競賽過程中發揮自我創意，達成「快樂學習的目標」。用團隊競賽模式來培養學生團隊合作的精神，藉競賽的方式選拔並培養數學資優的學生，提升國家人才的培育與競爭力。

競賽項目 一、競速賽(Sprint) 1. 共30題 2. 考試時間：40分鐘 3. 作答方式 (1) 個人獨立作答 (2) 簡答 (3) 每人均需繳交答案卷 二、個人賽(Target) 1. 每回2題，共四回8題 2. 考試時間：每回6分鐘，共24分鐘 3. 作答方式 (1) 個人獨立作答 (2) 簡答 (3) 每人均需繳交答案卷 三、團體賽(Team) 1. 共10題 2. 考試時間：20分鐘 3. 作答方式 (1) 全隊共同作答 (2) 簡答 (3) 全隊共同繳交一份答案卷

競賽項目 一、競速賽(Sprint) 1. 共30題 2. 考試時間：40分鐘 3. 作答方式 (1) 個人獨立作答 (2) 簡答 (3) 每人均需繳交答案卷 二、個人賽(Target) 1. 每回2題，共四回8題 2. 考試時間：每回6分鐘，共24分鐘 3. 作答方式 (1) 個人獨立作答 (2) 簡答 (3) 每人均需繳交答案卷 三、團體賽(Team) 1. 共10題 2. 考試時間：20分鐘 3. 作答方式 (1) 全隊共同作答 (2) 簡答 (3) 全隊共同繳交一份答案卷

阿丹、阿珍、阿牛在一家醫院擔任住院醫師。 (1)一星期中只有一天阿丹、阿珍、阿牛三位 同時值班。 (2)他們三人沒有一位會連續三天值班。 (3)他們其中任兩位在一星期中同一天休假的 情況不會超過一次。 (4)阿丹在星期日、星期二和星期四休假。 (5)阿珍在星期四和星期六休假。 (6)阿牛在星期日休假。 他們三位會在星期幾同時值班呢?

解答： 日 一 二 三 四 五 六 阿丹 阿珍 阿牛 × × × ○ ○ ○ × ○ × ○ × × ○ × ○ ○ (1)一星期中只有一天阿丹、阿珍、阿牛三位同時值班。 (2)他們三人沒有一位會連續三天值班。 (3)他們其中任兩位在一星期中同一天休假的情況不會超過一次。 (4)阿丹在星期日、星期二和星期四休假。 (5)阿珍在星期四和星期六休假。 (6)阿牛在星期日休假。 日 一 二 三 四 五 六 阿丹 × × × ○ ○ 阿珍 ○ × ○ × ○ × 阿牛 × ○ × ○ ○

整數31001 × 71003的個位數字是多少？ 解答： 31=3，32=9，33=27，34=81 35=243，36=729，…… ∴個位數字為3、9 、7 、1，四個為一循環 1001÷4=250……1 71=7，72=49，73=343，74=2401 75=16807，…… ∴個位數字為7、9 、3 、1，四個為一循環 1003÷4=250……3 ∴31001×71003的個位數字是9

把30，33，39，75，140，350，1430，1690這八個數平均分成甲、乙兩組，已知1430在甲組，若甲組4個數的乘積等於乙組4個數的乘積，那麼甲組另外3個數字的和為？ 解答： 30 甲 30 = 2 × 3 × 5 33 33 = 3 × 11 39 39 = 3 × 13 75 75 = 3 × 52 乙 140 140 = 22 × 5 × 7 350 350 = 2 × 52 × 7 39+30+350=419 39+140+75=254 1430 1430 = 2 × 5 × 11 × 13 1690 1690 = 2 × 5 × 132

把30，33，39，75，140，350，1430，1690這八個數平均分成甲、乙兩組，已知1430在甲組，若甲組4個數的乘積等於乙組4個數的乘積，那麼甲組另外3個數字的和為？ 解答： 30 甲 30 = 2 × 3 × 5 33 33 = 3 × 11 39 39 = 3 × 13 75 75 = 3 × 52 乙 140 140 = 22 × 5 × 7 350 350 = 2 × 52 × 7 39+30+350=419 39+140+75=254 1430 1430 = 2 × 5 × 11 × 13 1690 1690 = 2 × 5 × 132

由100個6寫成的100位整數66… …6，求這個100位數被7除的商各個數字的和為何？ 解答： ∵666666÷7=95238 100÷6=16…4 而其後四位6666除以7的商為952 ∴ 6666……6 ÷7時 100個 其商為95238095238095238……095238952 16組 ∴和=(9+5+2+3+8) ×16+9+5+2=448

有100個能站能坐的哆啦A夢玩偶遊戲機，有紅綠兩種按鈕：每按一次紅色按鈕，就會有一個站著的哆啦A夢玩偶坐下；每按一次綠色按鈕，就會使站著的哆啦A夢玩偶增加一倍。現在假設只有3個多啦A夢玩偶站著，若要使站著的哆啦A夢玩偶變為91個，則最少需要按遊戲機上的按鈕幾次？

解答： 紅色→一個站著的坐下，綠色→站著的增加一倍 正向推理 (1) 3→6→12→24→48→96→95→94→93 →92→91，共10次 (2) 3→6→12→24→48→47→46→92→91 共8次 (3) 3→6→12→24→23→46→92→91 共7次，為最少 反向推理 91 →92 →46 →23 →24 →12 →6 →3，共7次

右邊是一個除法直式算式，試問這個算式中的「商數」是多少？ 解答︰ 由此1可發現商與除數的百位數為1 □ □ □ □ □ □）□ □ □ □ □ 1 □ □ □ □ 4 5 6 1 □ 1 2 3 1 8 7 1 561=商的個位數 × 除數 =1×561(不合) =3×187 =3×11×17 (不合) ∴除數=187，商數=123

若六位數96a96b可被45整除， 則a之最大值為多少？ 解答： 45=5×9，則96a96b必是5的倍數且是9的倍數 ∴b=0或b=5且9+6+a+9+6+b是9的倍數 1. b=0→30+a 為 9 的倍數→a=6 2. b=5→35+a 為 9 的倍數→a=1 故最大值為 6

設a=95，b=212，c=38，將a、b、c由小至大的順序寫出來。 解答： 利用指數律：(am)n =am×n c=38=(32)4=94＜95=a b=212=(23)4=84＜94=c ∴b＜c＜a

若 ， 則 末尾連續的“0”有幾個？ 解答： a=999……9 × 999……9 + 1999……9 若 ， 則 末尾連續的“0”有幾個？ 解答： a=999……9 × 999……9 + 1999……9 =(102004－1) × (102004－1) + 2 × 102004－1 =104008－2 × 102004 + 1 + 2 × 102004－1 =104008 故共有4008個0

某旅館一樓的客房比二樓的客房少5間，今有一旅遊團48人，若全部安排住在一樓，每間住4人時，房間不夠，每間住5人時，有的房間未住滿；又若全部安排住在二樓，每間住3人時，房間不夠，每間住4人時，有的房間沒有住滿；則這家旅館的一樓共有幾間客房？ 解答： 設一樓 間，二樓 間 ∴ ，故一樓客房有10間

六位數abcxyz×6=xyzabc，求原六位數？ × 6 x y z a b c 解答： 令abc = A，xyz = B (A × 1000 + B) × 6 = B × 1000 + A 6000A + 6B = 1000B + A 5999A = 994B 857A = 142B 故A = 142，B = 857 原六位數為142857

若792整除七位數13xy45z，則x+2y+z=？ 解答： 將792作分解，792=8×9 ×11 (1) 8的倍數→看末3位，∴45z為8的倍數，則z=6 (2) 9的倍數→數字和為9的倍數， ∴1+3+x+y+4+5+6為9的倍數 x+y+19=9k，則k=3或4，∴x+y=8或17 (3) 11的倍數→奇數位數字和與偶數位數字和 之差 為0或11的倍數 (1+x+4+6)－(3+y+5)=3+x－y=0或3+x－y=11t,t=1 x-y=－3或x－y=8 ∴只有 x+y=8 符合條件，則 x=8，y=0 x－y=8 ∴x+2y+z=8+0+6=14

有19個連續正整數之和恰等於一個質數p的立方，試問此19個整數中最小的數是多少？ 解答： 設19個數為 a-9，……，a-2，a-1，a，a+1，……，a+9 (a-9)+……+(a-1)+a+(a+1)+……+(a+9)=19a=p3 ∴p=19且a=192=361 ∴最小值=a-9=361-9=352

下列五個數中，哪一個不等於其他任何一數？ 解答： 利用擴分 故 與其他數不同

有偶數個連續正整數的和為1000，試求這些「連續正整數」中的最大數？ 解答： 設有 x 個連續正整數，x 為偶數，令首項為a a，a+1，a+2，……，a+x－1 x(2a+x－1)=2000=24×53 2a+x－1必為奇數 ∴2a+x－1=1 或 5 或 25 或 125 但只有 x=16 符合題意，∴2a=100，a=55 2a+x-1=125 故最大數=55+(16-1) ×1=70

若正整數n，使得1+2+3+…+n的總和是形如ABAB的四位數，則n的最大值是多少？ 解答： 1+2+3+……+n= =ABAB=101×AB ∵101 為質數 ∴n+1=101 或 n=101 1. n+1=101→n=100 →AB=50 成立 2. n=101→AB=51 成立 ∴n=101或100 故最大值=101

？ 解答： 考慮一般項

已知a2＋b2＝c2－d2＝257，其中a，b，c，d，都是正整數，且a＞b。 試求a＋c之值？ 解答： ∵a，b，c，d為正整數，又a>b ∴a2 + b2=257，可得a=16，b=1 而c2－d2=257 (c + d)(c－d)=257=257×1 ∴ c + d=257……(1) c－d=1……(2) (1) + (2)可得2c=258，c=129，d=128 故a + c=16 + 129=145

考慮分數 ，其中k=1，2，3，… ， 200，在這200個分數中最簡分數有幾個？ 解答： 將 考慮成倒數 要算最簡分數的個數 務必將 是95的因數或倍數的個數扣除 95=5 × 19 ， ， ∴有 200－(40 + 10－2) = 152 個

光明、正大、兩袖和清風四個人各從事不同的職業，其中有老師、警衛、組頭及軍人。 已知： (1)光明和正大是鄰居，每天一起騎車去上班。 (2)正大的年齡比兩袖大。 (3)光明每天都敎清風打太極拳。 (4)老師每天步行上班。 (5)警衛的鄰居不是軍人。 (6)軍人和組頭互不相識。 (7)軍人的年齡比警衛和組頭都大。 請問這四個人的職業各是什麼？

老師 警衛 組頭 軍人 正大 × × ○ × 光明 × ○ × × 兩袖 ○ × × × 清風 × × × ○ 解答： (1)光明和正大是鄰居，每天一起騎車去上班 (2)正大的年齡比兩袖大。 (3)光明每天都敎清風打太極拳。 (4)老師每天步行上班。 (5)警衛的鄰居不是軍人。 (6)軍人和組頭互不相識。 (7)軍人的年齡比警衛和組頭都大。 老師 警衛 組頭 軍人 正大 × × ○ × 光明 × ○ × × 兩袖 ○ × × × 清風 × × × ○

郭靜、黃融和陽過是三位武林高手，分別擅長輕功、暗器、劍法、拳腳、內力和點穴中的兩門功夫，但確定的對應關係並不清楚。某天，他們三人合開道場，分別傳授自己擅長的兩門功夫。已知： (1)劍法老師和暗器老師有心結。 (2)黃融最年輕。 (3)郭靜經常對拳腳老師和暗器老師抱怨 學生的素質不好。 (4)拳腳老師比輕功老師年紀大。 (5)黃融、內力老師和輕功老師三人經常 一起切磋武藝。 請問他們三人分別擅長哪兩門功夫？

輕功 暗器 劍法 拳腳 內力 點穴 郭靜 黃融 楊過 解答： ○ × ○ × × × × ○ × × × ○ × × × ○ ○ × (1)劍法老師和暗器老師有心結。 (2)黃融最年輕。 (3)郭靜經常對拳腳老師和暗器老師抱怨學生的素質不好。 (4)拳腳老師比輕功老師年紀大。 (5)黃融、內力老師和輕功老師三人經常一起切磋武藝。 輕功 暗器 劍法 拳腳 內力 點穴 郭靜 ○ × ○ × × × 黃融 × ○ × × × ○ 楊過 × × × ○ ○ ×

THE END