第8章 线性电路中的过渡过程 8.1 换路定律与初始条件 8.2 一阶电路的零输入响应 8.3 一阶电路的零状态响应 第8章 线性电路中的过渡过程 8.1 换路定律与初始条件 8.2 一阶电路的零输入响应 8.3 一阶电路的零状态响应 8.4 一阶电路的全响应 8.5 一阶电路的三要素法 *8.6 RLC串联电路的零输入响应

8.1 换路定律与初始条件 8.1.1 过渡过程的概念 图 8.1 过渡过程演示电路图

在电路理论中, 通常把电路状态的改变（如通电、断电、短路、电信号突变、电路参数的变化等）, 统称为换路。 换路是外因, 电路中有储能元件（也叫动态元件）是内因。

8.1.2 换路定律 具有电感的电路 2. 具有电容的电路

8.1.3 初始值的计算 换路后的最初一瞬间（即t=0+时刻）的电流、电压值, 统称为初始值。

(a) 电原理图； (b) t=0+时的等效电路 例8.1 图8.2（a）所示电路中, 已知Us=12V, R1=4kΩ, R2=8kΩ, C=1μF, 开关S原来处于断开状态, 电容上电压uC(0-)=0。求开关S闭合后, t=0+时, 各电流及电容电压的数值。 图 8.2 例 8.1电路图 (a) 电原理图； (b) t=0+时的等效电路

解 选定有关参考方向如图所示。  (1) 由已知条件可知: uC(0-)=0。 (2) 由换路定律可知: uC(0+)=uC(0-)=0。 (3) 求其它各电流、电压的初始值。画出t=0+时刻的等效电路, 如图8.1（b）所示。由于uC(0+)=0, 所以在等效电路中电容相当于短路。故有 由KCL有iC(0+)=i1（0+）-i2（0+）=3-0=3mA。

(a) 电原理图； (b) t=0+时的等效电路 例8.2 如图8.3（a）所示电路, 已知Us=10V, R1=6Ω, R2=4Ω, L=2mH, 开关S原处于断开状态。求开关S闭合后t=0+时, 各电流及电感电压uL的数值。  图8.3 例 8.2 电路图 (a) 电原理图； (b) t=0+时的等效电路

解 选定有关参考方向如图所示。  (1) 求t=0-时电感电流iL(0-)。  由原电路已知条件得 (2) 求t=0+时iL(0+)。 由换路定律知

(3) 求其它各电压、电流的初始值。画出t=0+时的等效电路如图8 (3) 求其它各电压、电流的初始值。画出t=0+时的等效电路如图8.3（b）所示。由于S闭合, R2被短路, 则R2两端电压为零, 故i2(0+)=0。  由KCL有 由KVL有

(a) 电原理图； (b) t=0+时的等效电路 例8.3 如图8.4（a）所示电路, 已知Us=12V, R1=4Ω, R2=8Ω, R3=4Ω, uC（0-）=0, iL（0-）=0, 当t=0时开关S闭合。 求当开关S闭合后, 各支路电流的初始值和电感上电压的初始值。 图8.4 例 8.3电路图 (a) 电原理图； (b) t=0+时的等效电路

解 (1) 由已知条件可得 (2) 求t=0+时, uC(0+)和iL（0+）的值。 由换路定律知 （3） 求其它各电压电流的初始值。

8.2 一阶电路的零输入响应 8.2.1 RC串联电路的零输入响应 只含有一个储能元件的电路称为一阶电路。 8.2 一阶电路的零输入响应 只含有一个储能元件的电路称为一阶电路。 8.2.1 RC串联电路的零输入响应 图8.7 一阶RC电路的零输入响应 (a) 电路图； (b) 换路瞬间等效电路

根据KVL, uR=uC=Ri, 而i=-C(duC/dt)(式中负号表明iC与uC的参考方向相反)。将i=-C(duC/dt)代入uC=Ri得

由换路定律知： uC(0+)=uC(0-)=U0, 即 将A=U0代入式（8.6）, 得 τ的数值大小反映了电路过渡过程的快慢, 故把τ叫RC电路的时间常数。

图 8.8 一阶 RC电路的零输入响应波形 (a) uC波形； (b) i波形

表8.1 电容电压及电流随时间变化的规律 t i e0=1 τ 2τ 3τ 4τ 5τ … ∞

例8.4 供电局向某一企业供电电压为１０kV, 在切断电源瞬间, 电网上遗留有 的电压。已知送电线路长L=30km, 电网对地绝缘电阻为500MΩ, 电网的分布每千米电容为C0=0.008 μF/km, 求 (1) 拉闸后1分钟, 电网对地的残余电压为多少？ (2) 拉闸后10分钟, 电网对地的残余电压为多少？ 解 电网拉闸后, 储存在电网电容上的电能逐渐通过对地绝缘电阻放电, 这是一个RC串联电路的零输入响应问题。  由题意知, 长30 km的电网总电容量为

放电电阻为 时间常数为 电容上初始电压为 在电容放电过程中, 电容电压(即电网电压)的变化规律为 故

8.2.2 ＲＬ串联电路的零输入响应 图 8.9 一阶RL电路的零输入响应

由KVL得 而uR=iLR, uL=L(diL/dt)。故 或

图 8.10 一阶RL电路的零输入响应波形 (1) 一阶电路的零输入响应都是按指数规律随时间变化而衰减到零的。 (2) 零输入响应取决于电路的初始状态和电路的时间常数。

8.3 一阶电路的零状态响应 若在一阶电路中, 换路前储能元件没有储能, 即uC（0-）, iL（0-）都为零, 此情况下由外加激励而引起的响应叫做零状态响应。 8.3.1 RC串联电路的零状态响应  图 8.12 RC电路的零状态响应

由KVL有 （8.11） 将各元件的伏安关系uR=iR和 代入式(8.11)得 (8.12) (8.13) (8.14) (8.15) 上式中τ=RC。

将式（8.14）、（8.15）代入式（8.13）, 得 于是 式中, Us为电容充电电压的最大值, 称为稳态分量或强迫分量。

是随时间按指数规律衰减的分量，称为暂态分量 或自由分量。 。

图 8.13 RC 电路的零状态响应曲线

例8.5 如图8.14(a）所示电路, 已知Us=220V, R=200Ω, C=1μF, 电容事先未充电, 在t=0时合上开关S。求 (1） 时间常数;  （2） 最大充电电流;  （3） uC, uR和i的表达式;  （4） 作uC , uR和i随时间的变化曲线;  （5） 开关合上后1ms时的uC, uR和i的值。 

解 （1） 时间常数 （2） 最大充电电流 （3） uC, uR, i的表达式为

（4） 画出uC, uR, i的曲线如图8.14(b)所示。  图 8.14 例8.5 图

（5） 当 时

8.3.2 RL串联电路的零状态响应 图8.15 一阶RL电路零状态响应电路

由KVL有: uR+uL=Us。 根据元件的伏安关系得 即 (8.22)

即 将A=-Us/R 代入式(8.22), 得 式中, I=Us/R。 求得电感上电压为

图8.16 一阶RL电路零状态响应波形

例8.5 如图8.14(a）所示电路, 已知Us=220V, R=200Ω, C=1μF, 电容事先未充电, 在t=0时合上开关S。 求 (1） 时间常数;  （2） 最大充电电流;  （3） uC, uR和i的表达式;  （4） 作uC , uR和i随时间的变化曲线;  （5）开关合上后 1 ms时的uC, uR和i的值。 

解 （1） 时间常数 （2） 最大充电电流 （3） uC, uR, i的表达式为

（4） 画出uC、 uR、 i的曲线如图8.14(b)所示。 图 8.14 例8.5 图

（5） 当t=1ms=10-3s 时

8.3.2 RL串联电路的零状态响应 图8.15 一阶RL电路零状态响应电路

由KVL有: uR+uL=Us。 根据元件的伏安关系得 即 (8.22)

即 将A=-Us/R 代入式(8.22), 得 式中,I=Us/R。 求得电感上电压为

图8.16 一阶RL电路零状态响应波形

例8.6 图8.17所示电路为一直流发电机电路简图, 已知励磁电阻R=20Ω, 励磁电感L=20H, 外加电压为Us=200V, 试求

图8.17 例 8.6图

解 (1） 这是一个RL零状态响应的问题, 由RL串联电路的分析知: 式中Us=200 V, R=20 Ω, τ=L/R=20/20=1s, 所以 一般认为当t=（3～5）τ时过渡过程基本结束, 取t=5τ, 则合上开关S后, 电流达到稳态所需的时间为5秒。

（2） 由上述计算知使励磁电流达到稳态需要5秒钟时间。

图8.18 强迫励磁法的励磁电流波形

8.4 一阶电路的全响应 当一个非零初始状态的一阶电路受到激励时, 电路中所产生的响应叫做一阶电路的全响应。 8.4 一阶电路的全响应 当一个非零初始状态的一阶电路受到激励时, 电路中所产生的响应叫做一阶电路的全响应。 图 8.19 一阶RC电路的全响应

由KVL有 由初始条件:uC(0+)=uC(0-)=U0, 代入上式有U0=Us+A, 即A=U0-Us。所以, 电容上电压的表达式为 (8.26) 由式（8.26）可见, Us为电路的稳态分量, 为电路的暂态分量, 即 全响应=稳态分量+暂态分量

有三种情况: (a) U0<Us, (b) U0=Us, (c) U0>Us 图 8.20 一阶RC电路全响应曲线

电路中的电流为 (8.27) 上式中 是电容初始值电压为零时的零状态响应, 是电容初始值电压为U0时的零输入响应。 故又有 全响应=零状态响应+零输入响应

例8.7 图8.21所示电路中, 开关S断开前电路处于稳态。 设已知Us=20V, R1=R2=1kΩ, C=1μF。求开关打开后, uC和iC的解析式, 并画出其曲线。  图8.21 例 8.7图

解 选定各电流电压的参考方向如图所示。 因为换路前电容上电流iC（0-）=0, 故有 换路前电容上电压为 即 U0=10V。

由于Uo<Us, 所以换路后电容将继续充电, 其充电时间常数为 将上述数据代入式(8.26) , (8.27), 得

uC , iC随时间的变化曲线如图8.22所示。 图8.22 例8.7 uC、iC随时间变化曲线

(a) 电路图； (b) 零输入； (c) 零状态 例8.8 如图8.23(a)所示电路, 已知Us=100V, R0=150Ω, R=50Ω, L=2H, 在开关S闭合前电路已处于稳态, t=0时将开关S闭合, 求开关闭合后电流i和电压UL的变化规律。  图8.23 例8.8图 (a) 电路图； (b) 零输入； (c) 零状态

解法1 全响应=稳态分量+暂态分量 开关S 闭合前电路已处于稳态, 故有 当开关S 闭合后, R0被短路, 其时间常数为 电流的稳态分量为

电流的暂态分量为 全响应为 由初始条件和换路定律知 故 即 所以

解法2 全响应=零输入响应+零状态响应 电流的零输入响应如图8.23 (b)所示, i(0+)=I0=0.5A。于是 电流的零状态响应如图8.23 (c)所示, i(0+)=0。所以 全响应

8.5 一阶电路的三要素法 稳态值, 初始值和时间常数, 我们称这三个量为一阶电路的三要素, 由三要素可以直接写出一阶电路过渡过程的解。 此方法叫三要素法。  设 f（0+）表示电压或电流的初始值，f（∞）表示电压或电流的新稳态值,τ表示电路的时间常数, f（t）表示要求解的电压或电流。这样, 电路的全响应表达式为 （8.30）

表 8.2 经典法与三要素法求解一阶电路比较表 名 称 微分方程之解 三要素表示法 RC电路的零输入响应 直流激励下RC电路的零状态响应

表 8.2 经典法与三要素法求解一阶电路比较表 名 称 微分方程之解 三要素表示法 直流激励下RL电路的零状态响应 RL电路的零输入响应 表 8.2 经典法与三要素法求解一阶电路比较表 名 称 微分方程之解 三要素表示法 直流激励下RL电路的零状态响应 RL电路的零输入响应 一阶RC电路的全响应

下面归纳出用三要素法解题的一般步骤:  (1) 画出换路前（t=0-）的等效电路。求出电容电压uC（0-）或电感电流iL(0-)。  (2) 根据换路定律uC(0+)=uC(0-), iL(0+)=iL(0-), 画出换路瞬间（t=0+）时的等效电路, 求出响应电流或电压的初始值i(0+)或u(0+), 即f(0+)。 (3) 画出t=∞时的稳态等效电路（稳态时电容相当于开路, 电感相当于短路）, 求出稳态下响应电流或电压的稳态值 i(∞)或u(∞), 即f(∞)。 (4) 求出电路的时间常数τ。τ=RC或L/R, 其中R值是换路后断开储能元件C或L, 由储能元件两端看进去, 用戴维南或诺顿等效电路求得的等效内阻。  (5) 根据所求得的三要素, 代入式(8.30)即可得响应电流或电压的动态过程表达式。

例 8.9 如图8.26（a）所示电路, 已知R1=100Ω, R2=400Ω, C=125μF, Us=200V, 在换路前电容有电压uC(0-)=50V。求S闭合后电容电压和电流的变化规律。  解 用三要素法求解:  (1) 画t=0- 时的等效电路，如图8.26(b)所示。由题意已知uC(0-)=50V。  (2) 画t=0+时的等效电路, 如图8.26 (c)所示。由换路定律可得uC(0+)=uC(0-)=50V。 (3) 画t=∞时的等效电路, 如图8.26(d)所示。

(4) 求电路时间常数τ (5) 由公式(8.30)得

图 8.26 例 8.9图

例8.9波形图

例8.10 电路如图8.28所示, 已知R1=1Ω, R2=1Ω, R3=2Ω, L=3H, t=0时开关由a拨向b, 试求iL和i的表达式, 并绘出波形图。 (假定换路前电路已处于稳态。 ) 解 (1) 画出t=0- 时的等效电路, 如图8.28(b)所示。因换路前电路已处于稳态, 故电感L相当于短路, 于是

(2) 由换路定律 得 (3) 画出t=0+时的等效电路, 如图8.28(c)所示, 求i(0+)。对3V电源R1、R3回路有 对节点A有 将上式代入回路方程, 得 即

(4) 画出t=∞时的等效电路，如图8.28(d)所示,求iL(∞), i(∞)。  

(5) 画出电感开路时求等效内阻的电路， 如图8.28(e)所示。 于是有

(6) 代入三要素法表达式, 得

画出i(t) , iL(t)的波形, 如图8.28(f)所示。

图 8.28 例 8.10 图

*8.6 RLC串联电路的零输入响应 对于含有两个独立储能元件的电路叫二阶电路。 图8.32 RLC 串联电路的过渡过程

又由于i=-C(duC/dt), 即 代入上式得

为简化表达式, 令 ,并且称δ为衰减系数, ω0为回路谐振角频率, 于是有 又令 , 则有

（8.33）

再将A , B代入式(8.33)得 由于α的取值不同, 则会有三种情况: 或

下面分三种情况进行讨论。 1) 非振荡放电过程

图 8.33 过阻尼放电情况曲线

2) (或δ<ω0)振荡放电过程 因为

由于 所以

图8.34 欠阻尼振荡放电曲线 此时，

3) 临界情况 在这种情况下, p1=p2=-δ, 得到重根, 有 i=e-δt(C1t+C2) 由初始条件 t=0时 i=0, 得C2=0。 又由

即 所以回路方程为 图8.35 临界阻尼情况电流波形

解得 由于

例8.11 如图8.32所示电路, 已知L=50mH, C=100F, Us=1000V, 求 (1) 电容放电为非振荡放电时, R应为多大?  (2) R=0.4Ω时, 电路的振荡频率和衰减系数δ。 （3）电路处于临界状态时的最大电流Imax。  解 (1) 非振荡放电状态, 就是过阻尼放电状态, 此时 。 由已知条件得 可见, 要使电容处于过阻尼放电状态, R必须大于44.7Ω。

(2) 当R=0.4Ω时, ，为振荡放电状态, 由于 , 其中 因δ<<ω0, 所以 ω≈ω0=447.2 1/s

 (3) 电路处于临界放电状态, 即临界阻尼状态, R=44.7Ω。