將討論均質 (homogeneous) 材料之稜形直樑承受彎曲 (bending) 所發生之變形 (deformations)。 第6章 彎　曲 228 6.3　直構件之彎曲變形 將討論均質 (homogeneous) 材料之稜形直樑承受彎曲 (bending) 所發生之變形 (deformations)。 中性面 (neutral surface)，在此平面上材料縱向纖維之長度不改變，如圖6-18所示。

第6章 彎　曲 228

由這些陳述，吾人將列出下面有關應力使材料變形時之三種假設。首先，位於中性面上之縱向軸 x 其長度不會改變。 229 由這些陳述，吾人將列出下面有關應力使材料變形時之三種假設。首先，位於中性面上之縱向軸 x 其長度不會改變。 其次，變形過程中，樑之所有橫截面維持平面且垂直於縱向軸。 第三、橫截面在自己平面上之任何變形，位於橫截平面上及橫截面旋轉之軸，稱之為中性軸 (neutral axis)。 為說明這些畸變將使材料在縱向產生應變，吾人將分離一沿樑長距離 x 且厚度  x 之部分樑為自由體圖 。 第6章 彎　曲

第6章 彎　曲 229

第6章 彎　曲 230

第6章 彎　曲 230 此重要結果顯示樑內任意元素縱向正向應變 (longitudinal normal strain) 與截面上位置 y 及樑之縱軸曲率半徑有關。對於任意指定橫截面，其縱向正向應變將隨距中性軸 y 呈線性變化。方程式 (6-7) 描述位於中性軸上方 ( y) 之纖維發生收縮，而位於此軸下方 ( y) 之纖維則伸長。 (6-8)

第6章 彎　曲 231 6.4　彎曲公式 將假設材料性質為線 - 彈性 (linear-elastic) 以滿足虎克定律 (Hooke’s law)，應用虎克定律  = E，可寫出 (6-9)

藉由滿足作用在橫截面面積上之分佈應力所產生之合力為零而定出橫截面上中性軸位置。得 第6章 彎　曲 231 藉由滿足作用在橫截面面積上之分佈應力所產生之合力為零而定出橫截面上中性軸位置。得 (6-10)

式中積分式乃樑之橫截面面積對中性軸之慣性矩 (moment of inertia)。以表示其值。因此，式 (6-11) 解出且寫成一般式為 第6章 彎　曲 232 式中積分式乃樑之橫截面面積對中性軸之慣性矩 (moment of inertia)。以表示其值。因此，式 (6-11) 解出且寫成一般式為 (6-11) (6-12) 式中 max = 構件中最大正向應力，其發生在橫截面上距中性軸最遠之一點。 M = 合內彎矩，利用截面法及平衡方程式，對橫截面之中性軸取力矩求得。 I = 橫截面面積對中性軸之慣性矩。 c = 中性軸至離中性軸最遠一點之垂直距離，於此發生 max 。

因 max /c =  /y，式 (6-9)，吾人可得相似於式 (6-12) 介於中間距離 y 之正應力為 第6章 彎　曲 232 因 max /c =  /y，式 (6-9)，吾人可得相似於式 (6-12) 介於中間距離 y 之正應力為 (6-13) 則  必為負的，因其作用在 x 的負方向。 上面兩方程式任一式通常稱之為彎曲公式 (flexure for­mula)。

 當樑因彎曲而變形的時候，直樑的截面仍然維持是平面。此造成樑的一邊產生拉伸應力而另一邊產生壓應力。而中性軸上則為零應力。 第6章 彎　曲 233  當樑因彎曲而變形的時候，直樑的截面仍然維持是平面。此造成樑的一邊產生拉伸應力而另一邊產生壓應力。而中性軸上則為零應力。  由於變形，縱向應變會以線性之變化，由中性軸處的零應變到樑之最外層纖維的最大應變。  對線彈性材料而言，其中性軸會通過其截面區域的形心。此結論是根據截面上的正向合力須為零而得。  彎曲公式係依據截面上的合彎矩須等於由線性正應力對中性軸所產生的彎矩而得。

第6章 彎　曲 233 　　為了使用彎曲公式，列出下列步驟。 內彎矩  在構件上截取一通過欲求彎矩或正向應力三點且垂直於縱軸之切面，然後取一適當自由體圖及平衡方程式以得截面上之內彎矩 M。為達目的，吾人須知道橫截面之形心或中性軸，因 M 乃對此軸旋轉。  若欲求絕對最大彎曲應力，則繪出彎矩圖以求樑內最大彎矩。

截面性質 正向應力 233  計算橫截面面積對中性軸之慣性矩。計算方法在附錄A中討論，在封面內頁一表列出數種常用形狀之 I 值。  距離乃中性軸至欲求正向應力通過點之垂直距離。然後應用方程式  = My / I，或若欲求最大彎曲應力，則 max= Mc / I 。代入數據時，須確定單位的一致性。  應力作用方向與力方向相同，而力對中性軸之力矩方向與內彎矩 M 相同，參考圖6-26(c)。依此類推，吾人可繪出作用在整個截面上之應力分佈，或分離出材料一立方元素用來表示作用在某點上正向應力圖解。 233 第6章 彎　曲

第6章 彎　曲 234 6-14

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第6章 彎　曲 234 6-15

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