定义19.13:设p,qP(Y),若{p}╞q且{q}╞p,则称p,q语义等价，记为p │==│ q (1)如果p和q语义等价，则xp│==│ xq (2)在p中将xq(x)的某些(不一定所有)出现替换为yq(y)而得到p'(这里y不在q(x)中出现)，则p │==│ p' 定理19.4：设p,p1,p2P(Y)，p1 │==│ p2，现在p中将p1的某些(不一定所有)出现替换为p2而得到的结果记为p'，则p │==│ p'。

§3 谓词演算的形式证明 一、形式证明 P(Y)上的一阶谓词演算用Pred(Y)表示 §3 谓词演算的形式证明 一、形式证明 P(Y)上的一阶谓词演算用Pred(Y)表示 定义19.14：称A=A1∪A2∪A3∪A4∪A5 中的所有元素为Pred(Y)上的公理集。其中： A1={p→(q→p)|p,qP(Y)}； A2={(p→(q→r))→((p→q)→(p→r))|p,q,rP(Y)}； A3={p→p|pP(Y)}。 A4={x(p→q)→(p→xq)|p,qP(Y),xvar(p)} A5={xp(x)→p(t)|p(x)P(Y),项t对p(x)中的x是自由的}

除了MP规则外，还要用一个推理规则，这个规则在以后的论证中常会用到：对任意的x证明了p(x)，则有xp(x)成立。这个推理规则称为全称推广规则，它使得在对一般的x证明了p(x)后，可推出xp(x)。在使用全称推广规则时必须仔细地陈述限制。全称推广规则也称为G规则。

定义19.15:设pP(Y)，AP(Y)，由假设A导出p的长度为n的证明是一组有限序列 p1,…,pn，这里piP(Y)(i=1,…,n)，pn=p，而p1,…,pn-1是长度为n-1的由A导出pn-1的证明序列，并且：对所有kn， (1)pkA∪A，或者 (2)存在i,j(i,j<k)，有pi=(pj→pk)。或者 (3)pk=xw(x)，并且p1,…,pk-1的某个子序列pk1,…,pkr是一个由A的子集A0(xvar(A0))导出w(x)的证明(长度小于n)。

如果存在一个由A导出p的证明，则记为A┣p，且用Ded(A)表示满足A┣p所有p的全体。对于Ø┣p，简写为┣p，并称p为 Pred(Y)的定理。 例:{xp}┣xp, pP(Y) 根据定义，xp就是xp。 p1=xp 假设 p2=xp→xp A3 p3=xp p1, p2 MP p4=xp→p A5 p5=p p3, p4 MP p6=p→p A3 p7=p p5, p6 MP p8=xp p7 G规则(xvar({xp}))

例: 设yvar(p(x))，且p(x)中的自由变元x不会出现在y的辖域中。证明：{xp(x)}┣yp(y)，这里p(x)P(Y).

定理19.5:(演绎定理)设AP=P(Y)，设p,qP。则A┣p→q当且仅当A∪{p}┣q 存在A导出p→q的有限证明序列 p1,…,pn=p→q， 由MP规则即得. (2)若A∪{p}┣q 对证明序列长度用归纳法 其他与命题逻辑类似,主要考虑q=xr(x) 设A0是导出r(x)的假设集 (i)pA0 (ii)pA0

二、等价替换定理与代换定理 定义19.16：设p,qP(Y)，若{p}┣q且{q}┣p，则称p,q语法等价，记为p┣┫q。 引理19.2:若p┣┫q，则xp┣┫xq 因为{p}┣q,由演绎定理知┣ p→q,同样有 ┣ q→p 然后分别证明{xp}┣xq, {xq}┣xp

定理19.6(等价替换定理):设p,p1,p2P(Y)，p1 ┣┫p2，现在p中将p1的某些(不一定所有)出现替换为p2而得到的结果记为p'，则p┣┫p'。 证明:对p在P(Y)中的层次l用归纳法 l=0,则p是原子公式或p=F, 因此p=p1,当用p1替换为p2而得到p', 则p1┣┫p2得p┣┫p',成立 对l >0,假设对一切l <k结论成立, 对l=k,除p=p1这种平凡情况外, 分以下几种情况 (1)p=(q→r) (2)p=xq

定理19.7(约束变元符可替换性):设在p中将xq(x)的某些(不一定所有)出现替换为yq(y)而得到p'(这里yvar(q(x))，且p(x)中的自由变元x不会出现在y的辖域中)，则p┣┫p'。 定理19.8:在P(Y)中有： (1)p→q┣┫pq； (2)pq┣┫(pq)(pq)； (3)pq┣┫(pq)(pq)； (4)p┣┫p；

(5)xp(x)┣┫'xp(x)，这里我们约定：用'和'分别表示和； (6)pxq(x)┣┫x(pq(x))，xvar(p)； (7)pxq(x)┣┫x(pq(x))，xvar(p) ； (8)xp(x)xq(x)┣┫x(p(x)q(x))； (9)xp(x)xq(x)┣┫x(p(x)q(x))； (10)1xp(x)2yq(y)┣┫1x2y(p(x)q(y))，xvar(q(y)),yvar(p(x))； (11)1xp(x)2yq(y)┣┫1x2y(p(x)q(y))，xvar(q(y)),yvar(p(x))。

作业:P257 18,21(1)