12-1　樑的種類 12-2　剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-3　樑的彎曲應力 12-4　樑的剪應力 12-5　採用複雜斷面的理由 12-6　截面之方向與強度的關係

12-1　樑的種類 一細長之構件用適當之方法支撐，凡能承受與軸向垂直之負荷或彎矩的構件，而使其產生彎曲現象(bending)，此構件即可稱為樑(beam)。

1. 樑的支承 如圖12-2所示，常用於樑的支承有三種，分別為 滾子支承(roller support)。 鉸鏈支承(hinge support)。 固定支承(fixed support)。

2. 樑的種類 依其支承的形式，可分為下列幾種。 (1)簡支樑，如圖12-3所示。 (2)懸臂樑，如圖12-4所示。

(3)外伸樑，如圖12-5所示。 (4)連續樑，如圖12-6所示。

(5)固定樑，如圖12-7所示。 (6)鉗制樑，如圖12-8所示。

樑上之負荷，一般常見的有集中負荷、均布負荷、均變負荷及力偶四種。

12-2　剪力及彎曲力矩的計算 及圖解 當樑受負荷作用後，因樑處於平衡狀態，故在任意截面處會產生一力及一力矩使其獲得平衡，則此力稱為樑之剪力，以「V」表示之，而力矩即為樑之彎曲力矩，以「M」表示之。 剪力及彎曲力矩皆為向量，其方向之判斷為：使樑某一部分產生順時針方向之剪力為「正」，反之為「負」，如圖12-10所示。使樑某一部分彎曲後凹口向上之彎矩為「正」，反之為「負」，如圖12-11所示。

1. 利用自由體圖求樑內之剪力及彎曲力矩 如圖12-12(a)所示，簡支樑承受一集中負荷P作用，設其在支承端所產生之反作用力為RA及RB，則求取樑內任意截面之剪力V及彎曲力矩M。

2. 剪力及彎曲力矩之圖解 若以樑之斷面位置為橫座標，剪力為縱座標，所得剪力與截面位置之關係曲線謂之剪力圖(shearing force diagram)。而以彎矩為縱座標，所得之圖形謂之彎矩圖(bending moment diagram)。畫樑之剪力圖及彎矩圖時，不同之負荷將產生不同之曲線，其基本觀念如下。

剪力圖： 剪力圖之斜率等於同斷面上分布負荷之強度。不同之負荷將產生不同之曲線，如表12-1所示，若負荷向上則曲線往上，負荷向下則曲線往下。

彎矩圖 (a)彎矩大小=剪力圖之面積變化量；即樑上任兩點斷面之彎矩差等於此兩點間之剪力圖面積。如表12-1所示，彎矩圖產生之曲線，恰為剪力圖多一次方的函數。 (b)剪力圖之面積若為正，則彎矩圖之斜率為正(向上)，面積為負，則斜率為負(向下) 。

1. 簡支樑承受集中負荷 如圖12-18(a)所示之簡支樑受一集中負荷P於樑中間，其樑之剪力圖及彎矩圖，以及任一截面mn之剪力及彎矩。

作法： (1) 先求出各支承之反力，如圖12-18(b)所示。 ΣMB=0 RA×L=P× 　 得RA=RB= 自樑上各有負荷之點拉一向下之鉛垂線，並在樑下方適當的位置畫二條水平線作為橫軸，並標註「V」代表剪力，「M」代表彎曲力矩，如圖12-18(c)所示。由左至右，繪出剪力及彎矩圖。

剪力圖 (a)A點有反力RA向上，故剪力圖為垂直向上 。 (b)AC段沒有負荷，故為水平線。 (c)C點為集中負荷P向下，故剪力圖垂直向下P，其座標為－ 。 (d)CB段沒有負荷，故亦為水平線。 (e)B點有反力RB向上，故剪力圖垂直向上 ，並回到0點。

彎矩圖 (a)A點及B點之彎矩均為0。 (b)C點之剪力值由正變負，此處彎矩由正斜率變為負斜率，產生山峰形之最大彎矩。其彎矩大小為A點至C點剪力圖面積之大小，所以 MC= × = 故C點為此樑之最大彎矩，為此樑臨界斷面，如圖12-18(c)所示。 (c)AC段剪力圖面積為正之水平線，故彎矩為斜率向上之斜直線。

(d)CB段剪力圖面積為負之水平線，故彎矩為斜率向下之斜直線。 (e) 如圖12-18(d)得知，mn截面之剪力= 故D點彎矩MD=

2. 簡支樑承受均布負荷 如圖12-19所示之簡支樑受一均布負荷，則樑之剪力圖及彎矩圖為

當負荷為均布或均變負荷時，彎矩圖為二次拋物線及三次拋物線，但並未說明其開口方向，以下利用兩個觀念及圖示說明之，如圖12-20所示。 (1)剪力圖面積為正，則彎矩圖之斜率為正(向上)，如：AB段及DE段。反之，剪力圖面積為負，則彎矩圖斜率為負(向下)，如：BC段及EF段。 (2)剪力圖斜率向下，則拋物線開口向下，如：AB段及BC段。反之，剪力圖斜率向上，則則拋物線開口向上，如：DE段及EF段。

3. 簡支樑承受均變負荷 如圖12-21(a)所示之簡支樑受一均變負荷，則樑之剪力圖及彎矩圖為

4. 懸臂樑承受均布負荷 如圖12-22所示之懸臂樑受一均布負荷，則樑之剪力圖及彎矩圖為

5. 簡支樑與懸臂樑常見負荷之剪力圖及彎矩圖以及最大彎矩，如表12-2所示。

12-3　樑的彎曲應力 1. 彎曲應力 樑受一橫向負荷(與樑垂直)時必產生彎曲現象，如圖12-31所示，而樑因承受彎曲力矩而產生之應力，稱為彎曲應力(bending stress)。

以下為分析樑受彎曲力矩時其截面上應力與應變分布的基本假設。 (1)樑受彎矩前後，其截面仍為平面。 (2)材料為均質，受彎曲後未達比例限度及符合虎克定律。 (3)材料受張力與壓力之彈性係數相同。 (4)所有負荷皆作用於樑之對稱面，如圖12-31所示。

(5)樑為純彎矩(pure bending)負荷，即樑僅受彎曲力矩作用，而無剪力存在之部分(V=0)，如圖12-32所示，AB段只有彎矩作用而無剪力。

2. 樑之基本名詞 如圖12-33所示。 (1) 中立面：樑受一橫向負荷作用後，必產生彎曲，若其上半部收縮，則下半部伸長，而在樑中間，恰有一不收縮亦不伸長之截面，稱為樑之中立面(neutral surface)。 (2) 中立軸：中立面與樑之橫截面的相交線，稱為該平面之中立軸(neutral axis)。 (3) 彈性曲線：中立面與樑之縱截面的相交線，稱為彈性曲線(elastic curve)。

(4) 曲率半徑：曲率中心至中立軸的距離，稱為曲率半徑(radius of curvature)，一般以符號「ρ」表示之。 (5) 曲率：曲率半徑的倒數稱為曲率(curvature)，一般以符號「K」表示之。

如圖12-34所示。

上式中，為曲率半徑，為樑下方邊緣處之彎曲應力，E為彈性係數，y為中立軸至樑下方邊緣之距離。

3. 彎曲應力的分布及公式 當樑受純彎矩之作用後，有關其彎曲應力分布，如圖12-35(a)所示，其公式為

由圖12-35(a)得知，樑之上部受壓應力，下半部受張應力。且彎曲應力之大小與距中立軸之距離(y)成正比，且在上下面最大，而在中立面為0。 如圖12-35(b)所示。

M：樑在該截面所受之彎矩。 I：截面之慣性矩。 y：該點至中立軸之距離。

由上式知，曲率半徑愈大，則曲率愈小，且曲率與彎矩成正比與抗撓剛度(EI)成反比。其中EI稱抗撓剛度(flexural rigidity)。 最大彎曲應力為 由上式知，曲率半徑愈大，則曲率愈小，且曲率與彎矩成正比與抗撓剛度(EI)成反比。其中EI稱抗撓剛度(flexural rigidity)。 Z=斷面模數

12-4　樑的剪應力 1. 樑之剪應力分析 樑受橫向負荷後會產生剪力及彎矩，如圖12-44所示。

(1)樑內的剪應力可分為垂直剪應力(V)及水平剪應力(H)兩種，如圖12-45所示。

由靜力學平衡方程式可知，在左側則會產生向上V，下側會產生向右的H，且V = H，如圖12-46所示。

(2)剪應力之公式 樑內有剪應力發生時，其值在中立面上最大，漸減至外緣為零。如圖12-47(a)為一寬度為b，受集中橫向負荷之簡支樑。

B. ：斷面寬度 I. ：慣性矩 V. ：該斷面之剪力 Q. ：切面以上之面積對中立軸之一次矩， B ：斷面寬度 I ：慣性矩 V ：該斷面之剪力 Q ：切面以上之面積對中立軸之一次矩， 如圖12-48所示。數學式：Q=A× (面積×距離) ：為面積A的形心到中立軸的距離

(3) 在同一橫斷面剪力之變化呈拋物線函數如圖12-48所示，其在中立軸之剪應力最大(Q最大)，而上下二端之剪應力為0 (Q=0)，故樑若因剪應力而破壞，必從中立軸處斷裂。

2. 機械上常見樑之最大剪應力 (1) 矩形樑之最大剪應力 ， 如圖12-49所示。

(2) 圓形樑之最大剪應力 ， 如圖12-50所示。

常見的I形樑及T形樑，其剪應力之分布情形，如圖12-51所示。

12-5　採用複雜斷面的理由 當樑承受相同之負荷時，複雜截面會較簡單截面之面積還小，即重量較輕，故可以節省材料及成本。如圖12-56所示，當面積相同之截面來承受負荷時，其所能承受之負荷大小順序如下。

當樑直立放置時，可得到較大之斷面模數Z，比較不容易被彎曲變形，可以承受較大的彎曲力矩M，即所產生之彎曲應力亦較小，如圖12-60所示。 12-6　截面之方向與強度的關係 當樑直立放置時，可得到較大之斷面模數Z，比較不容易被彎曲變形，可以承受較大的彎曲力矩M，即所產生之彎曲應力亦較小，如圖12-60所示。