12-1 樑的種類 12-2 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-3 樑的彎曲應力 12-4 樑的剪應力 12-5 採用複雜斷面的理由

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12-1 樑的種類 12-2 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-3 樑的彎曲應力 12-4 樑的剪應力 12-5 採用複雜斷面的理由 12-6 截面之方向與強度的關係

12-1 樑的種類 一細長之構件用適當之方法支撐,凡能承受與軸向垂直之負荷或彎矩的構件,而使其產生彎曲現象(bending),此構件即可稱為樑(beam)。

1. 樑的支承 如圖12-2所示,常用於樑的支承有三種,分別為 滾子支承(roller support)。 鉸鏈支承(hinge support)。 固定支承(fixed support)。

2. 樑的種類 依其支承的形式,可分為下列幾種。 (1)簡支樑,如圖12-3所示。 (2)懸臂樑,如圖12-4所示。

(3)外伸樑,如圖12-5所示。 (4)連續樑,如圖12-6所示。

(5)固定樑,如圖12-7所示。 (6)鉗制樑,如圖12-8所示。

樑上之負荷,一般常見的有集中負荷、均布負荷、均變負荷及力偶四種。

12-2 剪力及彎曲力矩的計算 及圖解 當樑受負荷作用後,因樑處於平衡狀態,故在任意截面處會產生一力及一力矩使其獲得平衡,則此力稱為樑之剪力,以「V」表示之,而力矩即為樑之彎曲力矩,以「M」表示之。 剪力及彎曲力矩皆為向量,其方向之判斷為:使樑某一部分產生順時針方向之剪力為「正」,反之為「負」,如圖12-10所示。使樑某一部分彎曲後凹口向上之彎矩為「正」,反之為「負」,如圖12-11所示。

1. 利用自由體圖求樑內之剪力及彎曲力矩 如圖12-12(a)所示,簡支樑承受一集中負荷P作用,設其在支承端所產生之反作用力為RA及RB,則求取樑內任意截面之剪力V及彎曲力矩M。

2. 剪力及彎曲力矩之圖解 若以樑之斷面位置為橫座標,剪力為縱座標,所得剪力與截面位置之關係曲線謂之剪力圖(shearing force diagram)。而以彎矩為縱座標,所得之圖形謂之彎矩圖(bending moment diagram)。畫樑之剪力圖及彎矩圖時,不同之負荷將產生不同之曲線,其基本觀念如下。

剪力圖: 剪力圖之斜率等於同斷面上分布負荷之強度。不同之負荷將產生不同之曲線,如表12-1所示,若負荷向上則曲線往上,負荷向下則曲線往下。

彎矩圖 (a)彎矩大小=剪力圖之面積變化量;即樑上任兩點斷面之彎矩差等於此兩點間之剪力圖面積。如表12-1所示,彎矩圖產生之曲線,恰為剪力圖多一次方的函數。 (b)剪力圖之面積若為正,則彎矩圖之斜率為正(向上),面積為負,則斜率為負(向下) 。

1. 簡支樑承受集中負荷 如圖12-18(a)所示之簡支樑受一集中負荷P於樑中間,其樑之剪力圖及彎矩圖,以及任一截面mn之剪力及彎矩。

作法: (1) 先求出各支承之反力,如圖12-18(b)所示。 ΣMB=0 RA×L=P×   得RA=RB= 自樑上各有負荷之點拉一向下之鉛垂線,並在樑下方適當的位置畫二條水平線作為橫軸,並標註「V」代表剪力,「M」代表彎曲力矩,如圖12-18(c)所示。由左至右,繪出剪力及彎矩圖。

剪力圖 (a)A點有反力RA向上,故剪力圖為垂直向上 。 (b)AC段沒有負荷,故為水平線。 (c)C點為集中負荷P向下,故剪力圖垂直向下P,其座標為- 。 (d)CB段沒有負荷,故亦為水平線。 (e)B點有反力RB向上,故剪力圖垂直向上 ,並回到0點。

彎矩圖 (a)A點及B點之彎矩均為0。 (b)C點之剪力值由正變負,此處彎矩由正斜率變為負斜率,產生山峰形之最大彎矩。其彎矩大小為A點至C點剪力圖面積之大小,所以 MC= × = 故C點為此樑之最大彎矩,為此樑臨界斷面,如圖12-18(c)所示。 (c)AC段剪力圖面積為正之水平線,故彎矩為斜率向上之斜直線。

(d)CB段剪力圖面積為負之水平線,故彎矩為斜率向下之斜直線。 (e) 如圖12-18(d)得知,mn截面之剪力= 故D點彎矩MD=

2. 簡支樑承受均布負荷 如圖12-19所示之簡支樑受一均布負荷,則樑之剪力圖及彎矩圖為

當負荷為均布或均變負荷時,彎矩圖為二次拋物線及三次拋物線,但並未說明其開口方向,以下利用兩個觀念及圖示說明之,如圖12-20所示。 (1)剪力圖面積為正,則彎矩圖之斜率為正(向上),如:AB段及DE段。反之,剪力圖面積為負,則彎矩圖斜率為負(向下),如:BC段及EF段。 (2)剪力圖斜率向下,則拋物線開口向下,如:AB段及BC段。反之,剪力圖斜率向上,則則拋物線開口向上,如:DE段及EF段。

3. 簡支樑承受均變負荷 如圖12-21(a)所示之簡支樑受一均變負荷,則樑之剪力圖及彎矩圖為

4. 懸臂樑承受均布負荷 如圖12-22所示之懸臂樑受一均布負荷,則樑之剪力圖及彎矩圖為

5. 簡支樑與懸臂樑常見負荷之剪力圖及彎矩圖以及最大彎矩,如表12-2所示。

12-3 樑的彎曲應力 1. 彎曲應力 樑受一橫向負荷(與樑垂直)時必產生彎曲現象,如圖12-31所示,而樑因承受彎曲力矩而產生之應力,稱為彎曲應力(bending stress)。

以下為分析樑受彎曲力矩時其截面上應力與應變分布的基本假設。 (1)樑受彎矩前後,其截面仍為平面。 (2)材料為均質,受彎曲後未達比例限度及符合虎克定律。 (3)材料受張力與壓力之彈性係數相同。 (4)所有負荷皆作用於樑之對稱面,如圖12-31所示。

(5)樑為純彎矩(pure bending)負荷,即樑僅受彎曲力矩作用,而無剪力存在之部分(V=0),如圖12-32所示,AB段只有彎矩作用而無剪力。

2. 樑之基本名詞 如圖12-33所示。 (1) 中立面:樑受一橫向負荷作用後,必產生彎曲,若其上半部收縮,則下半部伸長,而在樑中間,恰有一不收縮亦不伸長之截面,稱為樑之中立面(neutral surface)。 (2) 中立軸:中立面與樑之橫截面的相交線,稱為該平面之中立軸(neutral axis)。 (3) 彈性曲線:中立面與樑之縱截面的相交線,稱為彈性曲線(elastic curve)。

(4) 曲率半徑:曲率中心至中立軸的距離,稱為曲率半徑(radius of curvature),一般以符號「ρ」表示之。 (5) 曲率:曲率半徑的倒數稱為曲率(curvature),一般以符號「K」表示之。

如圖12-34所示。

上式中,為曲率半徑,為樑下方邊緣處之彎曲應力,E為彈性係數,y為中立軸至樑下方邊緣之距離。

3. 彎曲應力的分布及公式 當樑受純彎矩之作用後,有關其彎曲應力分布,如圖12-35(a)所示,其公式為

由圖12-35(a)得知,樑之上部受壓應力,下半部受張應力。且彎曲應力之大小與距中立軸之距離(y)成正比,且在上下面最大,而在中立面為0。 如圖12-35(b)所示。

M:樑在該截面所受之彎矩。 I:截面之慣性矩。 y:該點至中立軸之距離。

由上式知,曲率半徑愈大,則曲率愈小,且曲率與彎矩成正比與抗撓剛度(EI)成反比。其中EI稱抗撓剛度(flexural rigidity)。 最大彎曲應力為 由上式知,曲率半徑愈大,則曲率愈小,且曲率與彎矩成正比與抗撓剛度(EI)成反比。其中EI稱抗撓剛度(flexural rigidity)。 Z=斷面模數

12-4 樑的剪應力 1. 樑之剪應力分析 樑受橫向負荷後會產生剪力及彎矩,如圖12-44所示。

(1)樑內的剪應力可分為垂直剪應力(V)及水平剪應力(H)兩種,如圖12-45所示。

由靜力學平衡方程式可知,在左側則會產生向上V,下側會產生向右的H,且V = H,如圖12-46所示。

(2)剪應力之公式 樑內有剪應力發生時,其值在中立面上最大,漸減至外緣為零。如圖12-47(a)為一寬度為b,受集中橫向負荷之簡支樑。

B. :斷面寬度 I. :慣性矩 V. :該斷面之剪力 Q. :切面以上之面積對中立軸之一次矩, B :斷面寬度 I :慣性矩 V :該斷面之剪力 Q :切面以上之面積對中立軸之一次矩, 如圖12-48所示。數學式:Q=A× (面積×距離) :為面積A的形心到中立軸的距離

(3) 在同一橫斷面剪力之變化呈拋物線函數如圖12-48所示,其在中立軸之剪應力最大(Q最大),而上下二端之剪應力為0 (Q=0),故樑若因剪應力而破壞,必從中立軸處斷裂。

2. 機械上常見樑之最大剪應力 (1) 矩形樑之最大剪應力 , 如圖12-49所示。

(2) 圓形樑之最大剪應力 , 如圖12-50所示。

常見的I形樑及T形樑,其剪應力之分布情形,如圖12-51所示。

12-5 採用複雜斷面的理由 當樑承受相同之負荷時,複雜截面會較簡單截面之面積還小,即重量較輕,故可以節省材料及成本。如圖12-56所示,當面積相同之截面來承受負荷時,其所能承受之負荷大小順序如下。

當樑直立放置時,可得到較大之斷面模數Z,比較不容易被彎曲變形,可以承受較大的彎曲力矩M,即所產生之彎曲應力亦較小,如圖12-60所示。 12-6 截面之方向與強度的關係 當樑直立放置時,可得到較大之斷面模數Z,比較不容易被彎曲變形,可以承受較大的彎曲力矩M,即所產生之彎曲應力亦較小,如圖12-60所示。