平方根解法 配方法解一元二次方程式 一元二次方程式的公式解 自我評量

在4-1節我們學過利用因式分解來解一元二次方程式，但對於x2－7＝0或x2＋6x＋4＝0這類方程式，用因式分解法解題似乎發生了困難。接下來，我們要學習解一元二次方程式的另一種方法。首先，我們來觀察方程式x2－7＝0，如果整理成x2＝7的形式，根據平方根的概念，就可得到x＝ 。

1 運用平方根求解 解下列一元二次方程式： (1) x2＝9 (2)（x－5）2＝9 (3) x2＝－9 解 配合習作P46基礎題 1 1 運用平方根求解 解下列一元二次方程式： (1) x2＝9 (2)（x－5）2＝9 (3) x2＝－9 解 (1)因為x2＝9，由平方根的概念可得 x＝ ＝±3。 方程式x2＝9的解為3與－3。

(2)將( x－5 )2＝9 看成A2＝9，其中A代表x－5。 由平方根的概念可得A＝±3， 也就是說 x－5＝±3。 由x－5＝3，得x＝8。 由x－5＝－3，得x＝2。 方程式（x－5）2＝9 的解為8 與2。 (3)因為負數沒有平方根，所以方程式x2＝－9 沒有解。 解 可寫成： x－5＝±3 x＝5±3 x＝8 或x＝2

解下列一元二次方程式： (1) x2＝25 (2)（2x－5）2＝49 2x－5＝±7 x＝6 或 x＝－1。 x＝ ＝±5 (3) x2＋4＝0 方程式 x2＋4＝0 沒有解。

解下列一元二次方程式，並將求得的解代回原方程式檢驗： (1)（x－5）2＝7 (2)（3x－1）2＝8 2 運用平方根求解，並檢驗 解下列一元二次方程式，並將求得的解代回原方程式檢驗： (1)（x－5）2＝7 (2)（3x－1）2＝8 (1)將(x－5)2＝7 看成A2＝7，其中A代表x－5， 所以A＝ 即x－5＝ x＝5 方程式(x－5)2＝7 的解為5＋ 與5－ 。 解 檢驗：〔（5＋ ）－5〕2＝（ ）2＝7，〔（5－ ）－5〕2 ＝（－ ） 2 ＝7

(2) 8的平方根為 ，所以3x－1＝ 解 3x－1＝ 3x＝1 x＝ （或 ） 整理成最簡根式 方程式(3x－1)2＝8 的解為 與 檢驗： （3 × －1）2＝（ ）2＝8，（3× －1） 2 ＝（－ ）2＝8

解下列各方程式，並將求得的解代回原方程式檢驗： (1)（x＋3）2＝5 x＋3＝± ，x＝－3± 檢驗：〔（－3＋ ）＋3〕2＝（ ）2＝5 〔（－3－ ）＋3〕2＝（－ ）2＝5

(2)（2x－7）2－4＝8 ( 2x－7 ) 2＝12，x＝ 檢驗: 〔2 ( ＋ )－7〕2－4＝8 〔2 ( － )－7〕2－4＝8

由前面的練習可知，形如（ax＋b）2＝c的一元二次方程式，可利用平方根的概念來求解。 但方程式x2＋6x＋4＝0無法用因式分解法來求解，也不是（ax＋b）2＝c 的形式，該如何求解呢？ 在前面的隨堂練習中， 方程式　（x＋3）2＝5 ───  可展開成x2＋6x＋9＝5 ───  再整理為x2＋6x＋4＝0 ─── 

式即是我們要求解的方程式，因此若能將x2＋6x＋4＝0整理成（x＋3）2＝5，就可利用平方根的概念，求得此方程式的解。 我們試著將∼式逆寫如下來觀察： x2＋6x＋4＝0 ───  x2＋6x＋9＝5 ───  （x＋3）2＝5 ─── 

可發現關鍵在於如何利用和的平方公式，將x2＋6x配成完全平方式（x＋3）2。 因此我們先來學習，如何將一個式子依照和（或差的平方公式）配成完全平方式。 沒有知識的人總愛議論別人的無知，而知識豐富的人卻時時發現自己的無知。 —笛卡兒（Rene Descartes，1596-1650）

3 配方 解 x2＋8x＋□＝ x2＋2‧x‧4＋ □ 所以b＝4，b2＝42＝16。 即x2＋8x＋□＝x2＋2‧x‧4＋ □ 3 配方 配合習作P46基礎題2 分別將適當的數填入□中，使該式子可以配成一個完全平方式，並將它寫成完全平方的形式。 (1) x2＋8x＋□ (2) x2－5x＋□ (3) x2－ x＋□ 解 (1) 和的平方公式：a2＋2‧a‧b＋ b2 ＝(a＋b)2 因為x的係數是正數，所以對照和的平方公式。 x2＋8x＋□＝ x2＋2‧x‧4＋ □ 所以b＝4，b2＝42＝16。 即x2＋8x＋□＝x2＋2‧x‧4＋ □ ＝(x＋4)2 16 42

因為 x 的係數是負數，所以對照差的平方公式。 (2) 解 差的平方公式：a2－2‧a ‧ b＋ b2 ＝（a－b）2 x2－5x＋□＝ x2－2‧x‧ ＋□ 所以b＝ ，b2＝（ ）2＝ 。 即x2－5x＋ ＝x2－2‧x‧ ＋（ ）2 ＝（x－ ）2 因為 x 的係數是負數，所以對照差的平方公式。

因為 x 的係數是負數，所以對照差的平方公式。 (3) 解 差的平方公式：a2－2‧a‧b＋ b2 ＝（a－b）2 x2－ x＋□＝ x2－2‧x‧ ＋□ 所以b＝ ，b2＝（ ）2＝ 。 即x2－ x＋ ＝x2－2‧x‧ ＋（ ）2 ＝ ( x－ )2 因為 x 的係數是負數，所以對照差的平方公式。

在□中填入適當的數，使得下列各式可以配成完全平方式。 (1) x2－12x＋□ (2) x2＋9x＋□ (3) x2＋ x＋□ 36

觀察例題3 的結果： (1) x2＋8x＋42＝（x＋4）2 (2) x2－5x＋（ ）2＝（x－ ）2 (3) x2－ x＋（ ）2＝（x－ ）2 我們可以得到下列的結論： x2＋mx＋（ ）2＝（x＋ ）2 x2－mx＋（ ）2＝（x－ ）2 利用上面的結論，讓我們再來練習下面的問題。

在空格中填入適當的數，使得下列各式可以配成完全平方式。 (1) x2－16x＋________＝（x－ _____ ）2 (2) x2＋7x＋_________＝（x＋ _____ ）2 (3) x2－ x＋________＝（x－ _____ ）2 64 8

學會將式子配成完全平方式後，對於使用因式分解法求解有困難的一元二次方程式，我們就可以將方程式整理成左邊是一個完全平方式，右邊是一個常數的形式，再利用平方根的概念來求解。

配合習作P47基礎題3(1) 4 二次項係數為 1 解下列一元二次方程式： (1) x2－6x－3＝0 (2) x2＋8x＋3＝0

(1) x2－6x－3＝0 解 x2－6x＝3 x2－2‧x‧3＋32＝3＋32 （x－3）2＝12 x－3＝ x＝3 3＋ 與3－ 。 解 將常數項移到等號右邊 等號兩邊同加( )2 平方根概念 化簡

解 (2) x2＋8x＋3＝0 x2＋8x＝－3 x2＋2‧x‧4＋42＝－3＋42 （x＋4）2＝13 x＋4＝ x＝－4 所以方程式x2＋8x＋3＝0的解為 －4＋ 與－4－

解下列一元二次方程式： (1) x2＋4x＋1＝0 (2) x2－12x＋5＝0 x2＋4x＝－1 （x＋2）2 ＝－1＋22＝3 x＋2＝ x＝－2 x2－12x＝－5 （x－6）2 ＝－5＋62＝31 x－6＝ x＝6

像例題4這種先將x2－6x－3＝0整理成（x－3）2＝12，再利用平方根的概念來求解的過程，稱為配方法。

5 二次項係數不為 1 解下列一元二次方程式： (1)2x2＋5x＋1＝0 (2)－ x2＋2x－ ＝0 解 (1) 2x2＋5x＋1＝0 配合習作P47基礎題 3(2) 5 二次項係數不為 1 解下列一元二次方程式： (1)2x2＋5x＋1＝0 (2)－ x2＋2x－ ＝0 解 (1) 2x2＋5x＋1＝0 x2＋ x＋ ＝0 x2＋ x＝－ 同除以2，將x2的 係數變成1 將常數項移到等號右邊

x2＋ ＋（ ）2＝－ ＋( ) 2 （x＋ ）2＝ x＋ ＝± x＋ ＝± x＝－ ± （或 ） 方程式2x2＋5x＋1＝0 的解為 與 等號兩邊同加 （ ）2

(2)－ x2＋2x－ ＝0 解 x2－6x＋ ＝0 x2－6x＝－ x2－ 6x ＋32＝－ ＋32 （x－3）2＝ x－3＝± 3＋ 與 3－ 解 同乘以－3，將x2 的係數變成1

解下列一元二次方程式： (1) 3x2－6x＋2＝0 x2－2x＋ ＝0 x2－2x＝－ （x－1）2 ＝－ ＋12＝ x－1＝± x＝1±

(2) － x2－ x＝ x2＋3x＝－ （x＋ ）2 ＝－ ＋（ ）2＝ x＋ ＝± x＝－ ±

由上面的練習，我們知道若一個一元二次方程式無法使用因式分解法解題時，我們可以用配方法來解題。其實，當某個一元二次方程式用因式分解法不易解題時，我們也可以使用配方法來解題，例如下面的例題：

解一元二次方程式 x2－2x－899＝0。 x2－2x－899＝0 x2－2x＝899 解 x2－2x＋12＝899＋12 配合習作P47基礎題 3(3) 6 常數項不易分解 解一元二次方程式 x2－2x－899＝0。 x2－2x－899＝0 x2－2x＝899 x2－2x＋12＝899＋12 （x－1）2＝900 x－1＝ x－1＝±30 x＝1±30 x＝31 或 x＝－29 方程式x2－2x－899＝0 的解為31與－29。 解

由例題6的解，我們可以發現一元二次方程式x2－2x－899＝0 也可以用十字交乘法分解成（x－31）（x＋29）＝0。但是要將899分解成31×29實在不容易，此時使用配方法解題是一個較好的策略。

因為負數沒有平方根，所以此方程式沒有解。 解 7 無平方根 配合習作P47基礎題 3(4) 解一元二次方程式x2－2x＋6＝0。 x2－2x＋6＝0 x2－2x＝－6 x2－2x＋12＝－6＋12 （x－1）2＝－5 因為負數沒有平方根，所以此方程式沒有解。 解

解下列一元二次方程式： (1) x2＋4x－396＝0 (2) x2＋25＝－6x x2＋6x＝－25 x2＋6x＋32 ＝－25＋32 （x＋3）2＝－16 因為負數沒有平方根，所以此方程式沒有解。 x2＋4x＝396 x2＋4x＋22＝396＋22 （x＋2）2＝400 x＋2＝±20 x＝18 或 x＝－22

8 配方法的應用 若方程式 x2－12x＋p＝0 可配方成（x－6）2＝4 的形式，則p 的值是多少？ x2－12x＋p＝0 x2－12x＝－p x2－12x＋62＝－p＋62 （x－6）2＝36－p 與（x－6）2＝4 對照得36－p＝4，p＝32。 解一 解二 將（x－6）2＝4 展開整理為 x2－12x＋36＝4 x2－12x＋32＝0 與x2－12x＋p＝0 對照得p＝32。

若方程式 x2－8x＋p＝0 可配方成（x－4）2＝1 的形式，則 p 的值是多少？

在前面學過，當無法（或不易）使用因式分解法求一元二次方程式的解時，可以使用配方法求解。其實我們可以使用配方法，直接解一元二次方程式ax2＋bx＋c＝0（a＞0），而得到一個常用的公式：

解 ax2＋bx＋c＝0，a＞0 x2＋ x＋ ＝0 x2＋ x＝－ x2＋2．x． ＋（ ）2＝－ ＋（ ）2 將常數項移到等號右邊 將等號左邊配成完全平方式

（x＋ ）2＝ 再根據平方根的概念，可知 (1) 當b2－4ac＞0 時 （ x＋ ）2＝ ＞0 x＋ ＝ x＝

(2) 當b2－4ac=0 時 （ x＋ ）2＝ ＝0 ( x ＋ ) ( x ＋ ) ＝0 x＋ ＝0 或 x＋ ＝0 x＝－ （重根） (3)當b2－4ac＜0 時，（ x＋ ）2＝ ＜0 因為負數沒有平方根，所以方程式沒有解。

因此，我們可得到： 一元二次方程式ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的公式解為 (1)當b2－4ac＞0 時，x＝ 。 (2)當b2－4ac＝0 時，x＝－ （重根）。 (3)當b2－4ac＜0 時，方程式沒有解。

由此可知，一元二次方程式ax2＋bx＋c＝0 可能有兩相異解、兩相同解（重根）或沒有解，這三種情形可由b2－4ac的值來判斷，所以一般稱b2－4ac為一元二次方程式ax2＋bx＋c＝0 的判別式。接著，我們練習如何使用公式解來解一元二次方程式。

利用公式解，求一元二次方程式x2＋3x－28＝0 的解。 9 判別式大於 0（二次項係數為 1） 利用公式解，求一元二次方程式x2＋3x－28＝0 的解。 配合習作P47基礎題4(1) x2 ＋ 3x － 28 ＝0 x2 ＋ 3x ＋（－28）＝0 ax2 ＋ bx ＋ c ＝0 解 因為公式是由ax2＋bx＋c＝0 的形式導出，所以要以此形式比較。 比較上面兩式可知a＝1，b＝3，c＝－28。 將a＝1，b＝3，c＝－28 代入b2－4ac，得 b2－4ac＝32－4‧1‧（－28）＝9＋112＝121＞0

解 故原方程式的解為 即x＝ ＝ ＝4 或x＝ ＝ ＝－7 所以方程式x2＋3x－28＝0 的解為4 與－7。

10 判別式大於 0（二次項係數不為 1） 利用公式解，求一元二次方程式3x2－2x＝4 的解 解 因為3x2－2x＝4，即3x2－2x－4＝0，所以 令a＝3，b＝－2，c＝－4， 得b2－4ac＝（－2）2－4 × 3 ×（－4）＝52＞0

故原方程式的解為 解 所以方程式3x2－2x＝4 的解為 與

利用公式解，求一元二次方程式x2－3x＋4＝0 的解。 配合習作P47基礎題4(2) 11 判別式小於0 利用公式解，求一元二次方程式x2－3x＋4＝0 的解。 令a＝1，b＝－3，c＝4， 得b2－4ac＝（－3）2－4 × 1 × 4＝－7＜0 所以方程式x2－3x＋4＝0 沒有解。 解

利用公式解，求下列一元二次方程式的解： (1) x2－3x－7＝0 令a＝1，b＝－3，c＝－7，得 b2－4ac＝37＞0

(2) 4x2＋8x＋5＝0 令a＝4，b＝8，c＝5，得 b2－4ac＝－16＜0 所以方程式4x2＋8x＋5＝0 沒有解。

(3) 2x2＋6x＝3 2x2＋6x－3＝0 令a＝2，b＝6，c＝－3，得 b2－4ac＝60＞0

(4) 4x2－11x＋6＝0 令a＝4，b＝－11，c＝6，得 b2－4ac＝25＞0 即x＝2 或x＝

利用公式解，求一元二次方程式9x2＋6x＋1＝0 的解。 配合習作基礎題 4(3) 12 判別式等於0 利用公式解，求一元二次方程式9x2＋6x＋1＝0 的解。 解 令a＝9，b＝6，c＝1， 得b2－4ac＝62－4 × 9 × 1＝0 故原方程式的解為x＝－ ＝－ ＝－ 所以方程式9x2＋6x＋1＝0 的解為－ (重根)

當一元二次方程式的某些項係數為分數時，我們可以先利用等量公理，將原方程式乘以各分母的最小公倍數，把各項的係數都變成整數，再使用公式，如下頁的例題。

13 係數化簡 利用公式解法，求一元二次方程式－ x2＋ x ＋ ＝0 的解。 將原方程式兩邊同乘以－6可得 9x2－2x－2＝0 解 配合習作P48基礎題4(4) 13 係數化簡 利用公式解法，求一元二次方程式－ x2＋ x ＋ 　＝0 的解。 將原方程式兩邊同乘以－6可得 9x2－2x－2＝0 令 a＝9，b＝－2，c＝－2，得 b2－4ac＝（－2）2－4 × 9 ×（－2） ＝4＋72＝76＞0 解

解 故方程式－ x2＋　 x ＋ ＝0 的解為 與

將例題13中方程式兩邊同乘以6可得－9x2＋2x＋2＝0，令 a＝－9，b＝2，c＝2，代入公式解，觀察是否與例題13的解相同。 b2－4ac＝22－4×（－9）×2＝76＞0 與例題13的解相同。 由例題13與動動腦可知，a＜0 時，公式解也適用。

解下列一元二次方程式： (1) 4x2－4x＋1＝0 令a＝4，b＝－4，c＝1，得 b2－4ac＝(－4)2－4 × 4 × 1＝0 故原方程式的解為 x＝－ ＝ （重根）

(2) － x2＋ x－3＝0 將方程式兩邊同乘以－3 得 2x2＋x－9＝0， 令a＝2，b＝1，c＝－9，得 b2－4ac＝12－4 × 2 ×（－9）＝73＞0 故原方程式的解為

14 公式解的應用 若一元二次方程式x2＋ax＋9＝0 有重根，則a 的值是多少？ 因為x2＋ax＋9＝0 有重根，表示其判別式為0， 所以a2－4‧1‧9＝0 a2－36＝0 a2＝36 a＝±6 解

若一元二次方程式 x2＋（a＋1）x＋16＝0 有重根，則 a 的值是多少？ 由 a＋1＝8 得 a＝7。 由 a＋1＝－8 得 a＝－9。

1.形如(ax＋b)2＝c 的一元二次方程式(其中c≧0)，可利用平方根的概念來求解。 2.形如x2＋mx 的式子加上( )2後，可配成完全平方式( x＋ )2 。形如x2－mx 的式子加上( )2後，可配成完全平方式( x－ )2。

3.配方法：利用配成完全平方式的方法，將一元二次方程式變成（x＋a）2＝b 的形式，再利用平方根的概念來求解的過程，稱為配方法。

4.利用公式解法來解一元二次方程式 ax2＋bx＋c＝0 的過程： 檢視原圖 開始 確定a、b、c 的值 計算b2－4ac 的值 判定b2－4ac的值

檢視原圖 若b2－4ac＞0 若b2－4ac＜0 若b2－4ac＝0 方程式沒有解 方程式的解為 （重根）。 方程式的解為 或 結束

4-2 自我評量 1.求下列一元二次方程式的解： (1)（x＋2）2＝16 (2)（x＋3）2－5＝0 x＋2＝±4 由x＋2＝4 得x＝2。 由x＋2＝－4 得x＝－6。 (x＋3)2 ＝5 x＋3＝± x＝－3±

(3) （x－5）2＋4＝0 (4)（2x＋6）2＝8 (x＋5) 2 ＝－4 因為負數沒有平方根， 所以此方程式沒有解。 2x＋6＝± 2x＝－6± x＝－3±

2.用配方法解下列一元二次方程式： (1) x2＋4x－3＝0 (2) x2＋6x＋10＝0 x2＋4x＝3 (x＋2) 2 ＝3＋22＝7 x＋2＝± x＝－2± x2＋6x＝－10 (x＋3) 2 ＝－10＋32 ＝－1 因為負數沒有平方根， 所以此方程式沒有解。

(3) 3x2＋5x＋1＝0 (4) x2－8x＝384 x2－2‧x‧4＋42 ＝384＋42 (x－4) 2 ＝400 x－4＝±20 x＝24 或 x＝－16

3.利用公式解法，求下列一元二次方程式的解： (1) x2－7x＋9＝0 令 a＝1， b＝－7， c＝9，得 b2－ 4ac＝(－7) 2 －4 × 1 × 9＝13＞0 所以 x＝ ＝

(2) 6x2－7x＋3＝0 令 a＝6， b＝－7， c＝3，得 b2－ 4ac＝(－7) 2 －4 × 6 × 3 ＝－23＜0 所以方程式 6x2－7x＋3＝0 沒有解。

(3) －x2＋4x＋12＝0 兩邊乘以－1，得 x2－4x－12＝0 令 a＝1， b＝－4， c＝－12，得 b2－ 4ac＝(－4) 2 －4 × 1 × (－12) ＝64＞0 所以 x＝ ＝ ＝ x＝ ＝6 或 x＝ ＝－2

(4) 4x2＋9＝12x 4x2－12x＋9＝0 令 a＝4，b＝－12，c＝9，得 b2－4ac＝(－12)2 －4 × 4 × 9＝0 所以 x＝ ＝ ＝ （重根）

4.當 a 的值為下列哪些數時，方程式 x2－2x＋a ＝0 會沒有解？ －3 、－2、－1 、0 、1、2 、3 方程式 x2－2x＋a＝0 沒有解，表示其判別式＜0。所以 b2－4ac＝(－2)2 －4a＝4－4a＜0 即 4－4a＜0 1－a＜0 a＞1 所以當 a＝2 或 a＝3 時，方程式沒有解。