自动控制原理 教学课件 2009年淮南师范学院 校级精品课程 电气信息工程学院 自动控制原理课程教学组

第五章 线性系统的频域分析法 本章主要内容 本章介绍控制系统频率分析法的相关概念和原理。包括频率特性的基本概念和定义、开环频率特性的极坐标图表示法、波特图表示法、控制系统稳定性的频率特性分析法及其应用、控制系统闭环频率特性、闭环频率特性与时域性能的关系等。

本 章 重 点 通过本章学习，应重点掌握频率特性的概念与性质、典型环节及系统开环频率特性的极坐标图和波特图的绘制和分析方法、控制系统稳定性的频域分析法、系统稳定裕度的概念和求法、闭环频率特性的求法、闭环系统性能指标的频域分析法等。

第五章 线性系统的频域分析法 5-1 频率特性 5-2 典型环节与开环系统的频率特性 5-3 频率域稳定判据 5-4 稳定裕度 第五章 线性系统的频域分析法 5-1 频率特性 5-2 典型环节与开环系统的频率特性 5-3 频率域稳定判据 5-4 稳定裕度 5-5 闭环系统的频域性能指标 5-6 控制系统频域设计

频率特性法是又一种对系统进行分析和设计的图解方法。在工程中得到了广泛应用。 频率特性法的优点： 只要求出系统的开环频率特性，就可以迅速判断闭环系统是否稳定； 由系统的频率特性所确定的频域指标与系统的时域指标之间存在着一定的对应关系； 系统的频率特性很容易和它的结构、参数联系起来，可以很方便地对系统进行校正； 频率特性不仅可由微分方程或传递函数求得，还可以用实验方法求得。

5-1 频率特性 1. 频率特性的基本概念 线性系统对正弦输入信号的稳态响应，称为频率响应。 例：RC电路如图所示， 输入： 输出： 5-1 频率特性 1. 频率特性的基本概念 线性系统对正弦输入信号的稳态响应，称为频率响应。 例：RC电路如图所示， 输入： 输出： 稳态输出：

输出稳态分量的幅值和相位 把幅值和相位写成一个式子 A(ω) 称幅频特性，φ(ω)称相频特性。 二者统称为频率特性。

绘制RC电路频率特性图

RC电路频率特性图分析

一般系统正弦信号作用下的稳态输入输出 一个稳定的线性定常系统，如果对其输入一个正弦信号，系统的稳态输出(稳态响应)也是同一频率的正弦信号，只是在幅值和相位上发生了变化。

一般系统的频率特性 输入： 稳态输出： 频率特性：线性定常系统在正弦输入作用下，输出的稳态分量与输入的复数比。

频率特性 是 的复变函数： 稳态响应的幅值与输入信号的幅值之比 称为系统的幅频特性，它描述系统对不同频率输入信号在稳态时的放大特性； 稳态响应与正弦输入信号的相位差 称为系统的相频特性，它描述系统的稳态响应对不同频率输入信号的相位移特性； 称为系统的实频特性。 称为系统的虚频特性。

幅频特性、相频特性和实频特性、虚频特性之间具有下列关系：

频率特性与传递函数的关系: G(jω)=G(s)|s=jω 频率特性的物理意义 频率特性与传递函数的关系: G(jω)=G(s)|s=jω 频率特性表征了系统或元件对不同频率正弦输入的响应特性。 (ω)大于零时称为相角超前，小于零时称为相角滞后。

频率特性的求取 根据定义求取 根据传递函数求取 通过实验的方法直接测得 即用 代入系统的传递函数，即可得到。 即已知系统的微分方程，把正弦输入函数带入，求出其稳态解，取输出稳态分量与输入正弦量的复数比即可得到。 根据传递函数求取 即用 代入系统的传递函数，即可得到。 通过实验的方法直接测得

系统三种描述方法的关系： 微分方程 系统 传递函数 频率特性

2. 频率特性的几何表示法 工程上常用图形来表示频率特性，常用的有： (1)极坐标图，也称奈奎斯特(Nyquist)图。是以开环频率特性的实部为直角坐标横坐标，以其虚部为纵坐标，以为参变量的幅值与相位的图解表示法。 (2)对数坐标图，也称伯德(Bode)图。它是由两张图组成，以lg  为横坐标，对数分度，分别以 20|G(j)H(j)| 和 (j) 作纵坐标的一种图示法。 (3)对数幅相频率特性图，也称尼柯尔斯(Nichols)图。它是以相位 (j) 为横坐标，以 20lg|G(j)H(j)| 为纵坐标，以 为参变量的一种图示法。

(1) 幅相频率特性曲线 幅相频率特性图，极坐标图，也称乃奎斯特(Nyquist)图。是以开环频率特性的实部为直角坐标横坐标，以其虚部为纵坐标，以 为参变量的幅值与相位的图解表示法。 它是在复平面上用一条曲线表示 由 时的频率特性。即用矢量 的端点轨迹形成的图形。 是参变量。在曲线的上的任意一点可以确定实频、虚频、幅频和相频特性。

乃奎斯特图 Nyquist

对数频率特性图，对数坐标图，也称伯德(Bode)图。 (2) 对数频率特性曲线 对数频率特性图，对数坐标图，也称伯德(Bode)图。 Bode图由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线组成。 伯德（Bode）曲线

Bode图坐标(横坐标是频率，纵坐标是幅值和相角)的分度： 横坐标分度(称为频率轴)：它是以频率 的对数值 进行线性分度的。但为了便于观察仍标以 的值，因此对 而言是非线性刻度。 每变化十倍，横坐标变化一个单位长度，称为十倍频程（或十倍频），用 dec 表示。如下图所示： 由于 以对数分度，所以零频率线在－∞处。

纵坐标分度：对数幅频特性曲线的纵坐标以 表示。其单位为分贝(dB)。直接将 值标注在纵坐标上。 相频特性曲线的纵坐标以度或弧度为单位进行线性分度。 一般将幅频特性和相频特性画在一张图上，使用同一个横坐标（频率轴）。 当幅频特性值用分贝值表示时，通常将它称为增益。幅值和增益的关系为： 幅值A() 1.00 1.26 1.56 2.00 2.51 3.16 5.62 10.0 100 1000 10000 对数幅值 20lgA() 2 4 6 8 10 15 20 40 60 80 0.79 0.63 0.50 0.39 0.32 0.18 0.10 0.01 0.001 0.0001 对数幅值20lgA() -2 -4 -6 -8 -10 -15 -20 -40 -60 -80

半对数坐标系

对数坐标刻度图

使用对数坐标图的优点： 可以展宽频带；频率是以10倍频表示的，因此可以清楚的表示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性。 可以将乘法运算转化为加法运算。 所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线（渐近线）近似表示。 对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近似的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。

(3) 对数幅相曲线(Nichols图) 对数幅相图又称为尼氏图，对数幅相图采用直角坐标系，其中取幅频特性 的对数 为纵坐标，单位为分贝（dB），线性分度，取相频特性 做横坐标单位为度（），线性分度，对数幅相图是以频率 为参变量的。

5-2 典型环节与开环系统的频率特性 1. 典型环节 若系统开环传函可以分成N个典型环节 且每个典型环节频率特性可以表示为 则我们可以看到： 5-2 典型环节与开环系统的频率特性 1. 典型环节 若系统开环传函可以分成N个典型环节 且每个典型环节频率特性可以表示为 则我们可以看到： 27

最小相位典型环节有  比例环节：K ，K>0  积分环节：1/s  微分环节：s  惯性环节：1/(Ts+1)，T>0  二阶振荡环节：  二阶微分环节：

2. 典型环节的频率特性 (1) 比例环节 传递函数： 频率特性： 1）幅相频率特性 2）对数频率特性

(2) 积分环节 传递函数： 频率特性： 1）幅相频率特性 2）对数频率特性

Bode图 积分环节对数幅频特性分析： 结论：每十倍频程， 变化-20dB.

(3) 微分环节 传递函数： 频率特性： 1）幅相频率特性 2）对数频率特性

Bode图 微分环节对数幅频特性分析： 结论：每十倍频程， 变化20dB.

(4) 惯性环节 传递函数： 频率特性： 1）幅相频率特性 惯性环节的极坐标图是一个半圆，证明如下：

惯性环节G(jω) Im[G(jω)] 1 Re[G(jω)]

2）对数频率特性 采用分段直线（渐近线）近似： ——低频渐近线 ——高频渐近线 最大误差：

惯性环节对数幅频特性曲线分析： 结论：每十倍频程， 变化-20dB.

一阶因子的频率响应曲线以渐近线表示时引起的对数幅值误差

(5) 一阶微分环节 传递函数： 频率特性： 1）幅相频率特性 2）对数频率特性 低频渐近线 ： 高频渐近线：

一阶微分环节对数幅频特性曲线分析： 结论：每十倍频程， 变化20dB.

(6) 振荡环节 传递函数： 频率特性： 1）幅相频率特性

谐振峰值： 值较小时幅频特性的极大值。 令 得： ——谐振频率 ——谐振峰值

振荡环节 Im[G(jω)] 1 Re[G(jω)] A B

2）对数频率特性 低频段 高频段

振荡环节 w G (s) = + zw + w 2 wr wn w = j (wn)= - 90o S S r 2 n 2 2 n n 0dB L(ω)dB ω (0＜z ＜0.707) 0＜ z ＜0.5 z = 0.5 0.5＜ z ＜1 wr wn w = r [-40] j (wn)= - 90o

振荡环节对数幅频特性曲线分析： 结论：每十倍频程， 变化-40dB.

振荡环节对数相频特性分析： 结论：

Im[G(j)] Re[G(j)] 1 (7) 二阶微分环节

二阶微分 L(ω) [40] 40db 20db 1 10 100 ω 0db 0.1 -20db --40db

3. 开环幅相曲线(极坐标图) 开环传递函数 的极坐标图，是当 由零变化到无穷大时，表示在极坐标上 的幅值与 的相角的关系图。因此，极坐标图是当 由零变化到无穷大时，向量 的轨迹。 极坐标图的优点表示出系统在整个频率范围内的频率响应特性；缺点是不能清楚地表明开环传递函数中每个单独因子对系统的具体影响。

绘制极坐标图步骤： （1）起点——=0+(即低频段)，除比例、积分和微分环节外，其他典型环节的频率特性在起点处有G (j0＋) H(j0+) =1·ej0+。故低频段与系统的类型有关， 一般有

+ 频率特性的低频段形状

幅相特性曲线的起点有以下结论： 起点处的幅值： 起点处的相角：

（2）终点(即高频段)，此时频率特性的幅值与分子和分母多项式的阶次差（n-m）值有关。对于实际物理系统总有nm，可得: 终点处的幅值： 终点处的相角：

（3）幅相曲线与实轴、虚轴的交点 1）曲线与实轴交点坐标的求取。令虚部为零，即 或 求出，代入实部Re[G(j)H(j)］中，可得幅相曲线与实轴的交点坐标。 2）曲线与虚轴交点坐标的求取。 同理令Re[G(j)H(j)]=0 ，求得 代入虚部可确定曲线与虚轴的交点坐标。

开环幅相曲线低频段与高频段的确定： …

幅相特性的低频段 当 时，可以确定特性的低频部分，其特点由系统的类型近似确定，如下图所示：

时的相位角为 对于0型系统，当 时，特性达到一点 。 对于Ⅰ型系统，特性趋于一条与虚轴平行的渐进线，这一渐进线可以由下式确定：

幅相特性的高频段 即特性总是以顺时针方向趋于点，并按上式的角度终止于原点，如图所示。 一般，有 ，故当 时，有

特性与负实轴的交点的频率由下式求出 如果在传递函数的分子中没有时间常数，则当ω由0增大到∞过程中，特性的相位角连续减小，特性平滑地变化。 如果在分子中有时间常数，则视这些时间常数的数值大小不同，特性的相位角可能不是以同一方向连续地变化，这时，特性可能出现凹部。

开环系统幅相曲线的特点 当频率 ω→0 时，其开环幅相特性完全由比例环节和积分环节决定。 当频率ω→∞ 时，若n>m，|G(jω)|=0相角为(m-n)π/2。 若G(s) 中分子含有s因子环节，其G(jω)曲线随 ω变化时发生弯曲。 G(jω) 曲线与负实轴的交点，是一个关键点。此点对应ω值称穿越频率，记为ωx 。

例1 绘制 的幅相曲线。 解：

例2 绘制 的幅相曲线。 解：

渐近线： 时的物理意义： 即相当于系统输入为恒值信号（频率为0） 由于系统有积分环节，系统输出量为∞

Re Im -(kT,j0)

时，开环频率特性由实轴上无穷远开始，在极小的频率范围内按无穷大半径变化，相角位移为 。 结论： 推论： 时，开环频率特性由实轴上无穷远开始，在极小的频率范围内按无穷大半径变化，相角位移为 （ 为积分环节的阶次）

例3 绘制 的幅相曲线。 解： 求交点： 与负实轴相交于-25处。

无实数解 与虚轴无交点 令 曲线如图所示：

4. 开环对数频率特性曲线(Bode图) 幅频特性： 相频特性： 由以上的分析可得到开环系统对数频率特性曲线的绘制方法：先画出每一个典型环节的波德图，然后相加。

例1 开环系统传递函数为： ，试画出该系统的波德图。 解 该系统由四个典型环节组成。一个比例环节，一个积分环节、两个惯性环节。将它们分别画在一张图上。 然后，在图上相加。

实际上，画图不用如此麻烦。我们注意到：幅频曲线由折线（渐近线）组成，在转折频率处改变斜率。 具体步骤如下： 确定 和各转折频率 ，并将这些频率按小大顺序依次标注在频率轴上； 确定低频渐近线： ，就是第一条折线。其斜率为 ，过点（1，20lgK）。实际上是比例K和积分 的曲线。

画好低频渐近线后，从低频开始沿频率增大的方向，每遇到一个转折频率改变一次分段直线的斜率： 遇到一阶微分环节时，斜率增加20dB/Dec； 遇到二阶微分环节时，斜率增加40dB/Dec； 遇到一阶惯性环节时，斜率下降20dB/Dec； 遇到二阶振荡环节时，斜率下降40dB/Dec； 高频渐近线的斜率为：-20(n-m)dB/dec。

例2 系统开环传递函数为： 试画出波德图。 解： 1、该系统是0型系统， 则 2、低频渐近线：斜率为 ，过点（1，20） 3、波德图如下：

红线为渐近线，兰线为实际曲线。

例3 已知 ，试画波德图。 解：1. 2、低频渐近线斜率为 低频渐近线的延长线在 处的高度为： 3、每遇到一个环节改变一次渐近线的斜率。 4、画出波德图如下页：

红线为渐近线，兰线为实际曲线。

例4 已知最小相位系统的渐近幅频特性如图所示，试确定系统的开环传递函数。 -60 -50 -40 -30 -20 -10 10 20 30 40 50 60 1 0.1 100 15 1000 2 7 -40dB/dec -20dB/dec 解：⒈由于低频段斜率为-20dB/dec所以有一个积分环节； ⒉在w=1处，L(w)=15dB，可得 20lgK=15，K=5.6 ⒊在w=2处，斜率由-20dB/dec变为 -40dB/dec，故有惯性环节 开环传递函数为 ⒋在w=7处，斜率由-40dB/dec变为 -20dB/dec，故有一阶微分环节

5.开环对数频率特性低频段特点与系统型别的关系 1）0型系统 0型系统的开环频率特性有如下形式： 低频时：

对数幅频特性的低频部分如下图所示： 特点： 在低频段，斜率为0dB/十倍频； 低频段的幅值为 ，由之可以确定稳态位置误差系数。

2）Ⅰ型系统 Ⅰ型系统的开环频率特性有如下形式：

对数幅频特性的低频部分如下图所示 ：

特点： 在低频段的渐进线斜率为-20dB/十倍频； 低频渐进线（或其延长线）与0分贝的交点为 由之可以确定系统的稳态速度误差系数 ； 低频渐进线（或其延长线）在ω=1时的幅值为 dB。

3）Ⅱ型系统 Ⅱ型系统的开环频率特性有如下形式 ：

对数幅频特性的低频部分如下图所示 ：

低频渐进线(或其延长线)与0分贝的交点为 ， 由之可以确定加速度误差系数 特点： 低频渐进线的斜率为-40dB/十倍频； 低频渐进线(或其延长线)与0分贝的交点为 ， 由之可以确定加速度误差系数 dB 低频渐进线（或其延长线）在 时的幅值为

6.最小相位系统与非最小相位系统 开环传递函数在s右半平面无零点和极点的系统称为最小相位系统，反之称为非最小相位系统。 在幅频特性相同的一类系统中，最小相位系统的相位移最小，并且最小相位系统的幅频特性与相频特性之间具有唯一对应的关系。

举例说明： 最小相位系统 非最小相位系统

具有相同的对数幅频特性：

最 小 相 位 系 统 升降对应

非 最 小 相 位 系 统 升降不对应

最小相位环节： 升降对应 给出了幅频特性，也就决定了相频特性 给出了相频特性，也就决定了幅频特性

5-3 频率域稳定判据 系统稳定的充要条件 — 全部闭环极点均具有负的实部 代数稳定判据 — Ruoth判据 5-3 频率域稳定判据 系统稳定的充要条件 — 全部闭环极点均具有负的实部 由闭环特征多项式系数（不解根）判定系统稳定性 不能用于研究如何调整系统结构参数来改善系统稳定性及性能的问题 代数稳定判据 — Ruoth判据 由开环频率特性直接判定闭环系统的稳定性 可研究如何调整系统结构参数改善系统稳定性及性能问题 频域稳定判据 — Nyquist 判据 对数稳定判据

奈魁斯特稳定判据特点： 奈魁斯特稳定判据是用开环频率特性判别闭环系统的稳定性。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对稳定的概念，讨论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性能的途径。

1.奈氏判据的数学基础 设负反馈系统的开环传递函数为： ，其中： 为前向通道传递函数， 为反馈通道传递函数。 设负反馈系统的开环传递函数为： ，其中： 为前向通道传递函数， 为反馈通道传递函数。 闭环传递函数为： ，如下图所示： 令： 则开环传递函数为： …………… (a) 闭环传递函数为： …………… (b)

将闭环特征方程与开环特征方程之比构成一个辅助方程，得： ……………..(c) 显然，辅助方程即是闭环特征方程。其阶数为n阶，且分子分母同阶。则辅助方程可写成以下形式： 。式中， 为F(s)的零、极点。 由(a)、(b)及(c)式可以看出： F(s)的极点为开环传递函数的极点； F(s)的零点为闭环传递函数的极点；

F(s)是复变量s的单值有理函数。如果函数F(s)在s平面上指定的区域内是解析的，则对于此区域内的任何一点 都可以在F(s)平面上找到一个相应的点 ， 称为 在F(s)平面上的映射。 例：辅助方程为： ，则s平面上 点（-1，j1），映射 到F(s)平面上的点 为（0，-j1）,见下图：

同样我们还可以发现以下事实：s平面上 曲线 映射到F(s)平面的曲线为 ，如下图： 示意图 曲线 是顺时针运动的，且包围了F(s)的一个极点（0），不包围其零点（-2）；曲线 包围原点，且逆时针运动。 再进一步试探，发现：若 顺时针包围F(s)的一个极点（0）和一个零点（-2），则 不包围原点顺时针运动；若 顺时针只包围F(s)的一个零点（-2），则 包围原点且顺时针运动。 这里有一定的规律，就是下面介绍的幅角定理。

幅角定理 s平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线 包围s平面上F(s)的Z个零点和P个极点。当s以顺时针方向沿封闭曲线 移动一周时，在F(s)平面上相对应的封闭曲线 将以逆时针方向绕原点旋转N圈。N，Z，P的关系为： N=P-Z 若N为正，表示 逆时针运动，包围原点； 若N为0，表示 逆时针运动，不包围原点； 若N为负，表示 顺时针运动，包围原点。

由于 因而映射曲线 对其坐标原点的围绕等价于开环频率特性曲线 对 平面上的 点的围绕。

s平面闭合曲线 的选择 幅角原理要求　 奈氏路径不能经过F(s)的奇点。 无处于虚轴上的开环极点（开环无积分环节或振荡环节）

用半径　　　的半圆在虚轴上极点的右侧绕过这些极点 开环有积分环节 开环有振荡环节

关于实轴对称，只需绘制　　　 的映射曲线 （1）令s=jω带入G(s)H(s)，得到开环频率特性。 （2）画出对应于大半圆对应的部分 实际物理系统 n>=m n>m时 G(s)H(s)趋于零(原点） n=m时 G(s)H(s)为常数

（1）令s=jω　　　　带入G(s)H(s),得到开环频率特性。 开环有积分环节 （2）画出对应于大半圆对应的部分 　　　　 ——开环频率特性的终点 （3）画出对应于　　　　　　 对应的部分 当 ， 时， 曲线将沿无穷大的圆弧顺时针转过

下面只讨论　　　　　　 　　　　 对应的映射曲线 开环有振荡环节 当 时， 曲线将沿无穷大的圆弧顺时针转过

例：开环有振荡环节 Im Re

2.奈奎斯特稳定判据 （1）如果开环系统是稳定的，即P=0，则闭环系统稳定的充要条件是 曲线不包围 点。 （2）如果开环系统不稳定，且已知有P个开环极点位于s的右半平面，则其闭环系统稳定的充要条件是 曲线按逆时针方向围绕(-1,j0)点旋转P周。

开环幅相频率特性 曲线 和 部分是关于实轴对称的，运用乃氏判据时，可以利用对称性把乃氏曲线补全，再进行判断；也可以只画出的部分来判断，如果系统稳定，则应有 。 当 曲线恰好通过 时，说明闭环系统有极点落在虚轴上，系统也是不稳定的。

用奈氏稳定判据判断系统的稳定性举例 例1：绘制开环传递函数 的乃奎斯特图并判定系统的稳定性。 开环系统稳定 ： 奈氏曲线不包围(-1,j0) ： 闭环系统稳定

例2: 系统开环传递函数为 没有极点位于右半s平面，P=0。

闭环系统稳定 闭环系统不稳定 Ⅰ型系统

正穿越、负穿越、半穿越的基本概念 逆时针包围 正穿越= 轨线在负实轴区间 从上向下穿越

正穿越 负穿越 负穿越 = 顺时针包围 轨线在负实轴区间 从下向上穿越 逆时针绕(-1, j0)点的圈数：

半穿越：G(jω)H (jω) 轨迹起始或终止于(-1, j0)点以左的负实轴。 +1/2次穿越 -1/2次穿越

奈氏判据的实际方法 开环系统特征方程式有P个根在右半s平面上，则闭环系统稳定的充要条件是：当 由0变到 时，开环频率特性的轨迹在复平面上 (-1,j0)点左侧，正穿越－负穿越＝P/2。否则闭环系统是不稳定的。

例3:系统开环传递函数为 解：

Ⅱ型系统 闭环系统不稳定

闭环系统稳定

轨线通过（-1，j0)点， 闭环系统临界稳定

例4:系统开环传递函数为 解：

渐进线 Ⅰ型系统 与负实轴的交点

闭环系统不稳定 闭环系统稳定

3.对数频率稳定判据 临界稳定点：(-1,j0)点 开环系统的极坐标图（奈氏图）和对数坐标图（Bode图）的对应关系： 单位圆以外对应 2、奈氏图上的负实轴对应于Bode图上的-1800线。 Re Im -1 奈氏图 Bode图

乃氏图中 (-1, j0)点以左负实轴的穿越点对应伯德图中L(ω)> 0范围内的与-180°线的穿越点。

相对于(-1, j0)点左侧负实轴 L () >0时穿越180°

对照图： 正穿越 负穿越 相角方向为正 增加时， 相角增大 正穿越 负穿越

对数频率稳定判据 若系统开环传递函数有P 个位于s 右半平面的特征根，则系统闭环稳定的充要条件是：在L(ω) >0 的所有频率范围内，相频特性曲线 (ω)与-180°线的正负穿越次数之差等于P / 2。

当开环传函G(s)H(s)包含积分环节时 , 在对数相频曲线  为 0+ 的地方,应该补画一条从相角 到 的虚线 , 其中 v 是积分环节数 . 计算正、负穿越时 , 应将补上的虚线看成对数相频曲线的一部分 .

例1 闭环系统在s右半平面有2个根

例2 系统开环传递函数为： 在s 右半平面没有开环极点，P =0 L(ω) > 0范围内相频特性从上而下穿越 -180°线一次，正负穿越次数之差为1。 闭环系统不稳定

例3 已知开环传函 在s 右半平面没有开环极点，P =0 L(ω) > 0范围内相频特性没有穿越 -180°线。 闭环系统稳定

4.条件稳定系统 一个反馈系统 , 若开环传递函数右半 s 平面的极点数 P =0 , 开环频率特性曲线在开环传递系数(即开环增益)改变时 , 闭环系统的稳定性将发生变化 . 只有开环传递系数在一定范围内时, N 才等于零 , 闭环系统才稳定 . 这一系统的稳定是有条件的 , 称为条件稳定系统 .

5-4 稳 定 裕 度 对控制系统进行分析时，往往还需要了解系统的相对稳定性，即稳定裕量的问题。 5-4 稳 定 裕 度 对控制系统进行分析时，往往还需要了解系统的相对稳定性，即稳定裕量的问题。 最小相位系统闭环稳定的充要条件可简化为：开环频率特性曲线不包围(-1,j0)点。 通常用开环频率特性 离临界稳定点 (-1，j0)点的远近程度来表征系统的相对稳定性。 (-1，j0)点的幅值为1，相角为-180o ，因此可以从幅值和相角两方面来讨论系统的稳定裕量。

B A 1/Kg -1 1 Re Im 1.相角裕度 r >0时，系统稳定； =0时，系统临界稳定； <0时，系统不稳定。

[相位稳定裕度的物理意义]：稳定系统在幅值截止频率 处将相角减小 度，则系统变为临界稳定；再减小，就会变为不稳定。 -1 1

2.幅值裕度 Kg>1时，系统稳定； Kg=1时，系统临界稳定； Kg<1时，系统不稳定。 -1 1 Re Im B A Re Im 2.幅值裕度 1/Kg B A Kg>1时，系统稳定； Kg=1时，系统临界稳定； Kg<1时，系统不稳定。

[幅值稳定裕度物理意义]：稳定系统在相角穿越频率处将幅值增加 倍（奈氏图）或增加 分贝（波德图），则系统处于临界状态。若增加的倍数大于 倍（或 分贝），则系统变为不稳定。 比如，若增加开环放大系数K，则对数幅频特性曲线将上升，而相角特性曲线不变。可见，开环放大系数太大，容易引起系统的不稳定。 -1 1

Re Im -1 伯德图中： 相角裕度 增益裕度 显然，当 和 时，闭环系统是稳定的；否则是不稳定的。对于最小相位系统， 和 是同时发生或同时不发生的，所以经常只用一种稳定裕度来表示系统的稳定程度。常用相角裕度。

保持适当的稳定裕度，可以预防系统中元件性能变化可能带来的不利影响。为了得到较满意的暂态性能，一般相角裕度应当在30o至60o之间，增益裕度应大于6dB。 对于最小相位系统，开环幅频特性和相频特性之间存在唯一的对应关系。通常希望系统的开环对数幅频特性在截止频率处的斜率为-20dB/dec。

Re Im -1 稳定 Re Im -1 临界稳定 Re Im -1 不稳定

例： 控制系统如图所示。1.K=10时，判断系统的稳定性，并求出相角裕量和幅值裕量；2.K=100时，判断系统的稳定性。 - 解：当K=10时，开环系统波德图如图所示。 由Bode图可知： L(w)> 0时穿越次数为0， 系统是稳定的。

相角裕度和增益裕度的计算： 相角裕度： 先求幅值穿越频率 由于 较小（小于2），所以： 相角裕度为：

增益裕度： 先求相角穿越频率 由三角函数关系解得： 增益裕度为：

幅频特性曲线上移20dB，相频特性曲线不变。 当增益从K =10增大到K =100时， 幅频特性曲线上移20dB，相频特性曲线不变。 K=10 K=100 由Bode图可知： 当K =100时， L()> 0时有一次负穿越， 系统不稳定。 增大系统的开环增益，会降低系统的稳定性。

在伯德图上分析系统性能 在进行频域分析时，通常将整个频域分为三个频段。 1.低频段： 系统的稳态性能由低频段决定。 2.中频段： 系统的稳定性和动态性能由中频段决定。 3.高频段： 系统的抗干扰能力由高频段决定。

三频段理论 L(w) 频段 对应性能 希望形状 低频段 陡，高 中频段 缓，宽 高频段 低，陡 三频段理论并没有提供设计系统的具体步骤， 开环增益 K 低频段 稳态误差 ess 陡，高 系统型别 v L(w) 截止频率 wc 中频段 动态性能 缓，宽 相角裕度 g 高频段 系统抗高频干扰的能力 低，陡 三频段理论并没有提供设计系统的具体步骤， 但它给出了调整系统结构改善系统性能的原则和方向

5-5 闭环系统的频域性能指标 1. 二阶系统的开环频域指标 开环传递函数为： 开环频率特性为： 幅频特性 相频特性

二阶系统的开环频域指标 幅值穿越频率

二阶系统的开环频域指标 相角裕度

开环频域指标与时域指标间的关系

2. 二阶系统的闭环频域指标 闭环传递函数为： 闭环频率特性为： 幅频特性

二阶系统的闭环幅频特性

二阶系统的闭环频域指标 谐振峰值 ：系统闭环频率特性幅值的最大值。

二阶系统的闭环频域指标 带宽：当幅频特性 下降到 时，对应的频率 称为带宽频率(或截止频率)。频率范围 称为带宽。

带宽的物理意义： 当 时，输出的幅值是输入幅值的0.707倍， 。当 时，输出衰减的很厉害，对实际系统来说，已经不能正常使用了。 带宽表示了系统跟踪正弦输入信号的能力。

带宽指标取决于下列因素： （1）对输入信号的再现能力。 大的带宽相应于小的上升时间，即相应于快速特性。粗略地说，带宽与响应速度成反比。 （2）对高频噪声必要的滤波特性。 为了使系统能够精确地跟踪任意输入信号，系统必须具有大的带宽。但是，从噪声的观点来看，带宽不应当太大。因此，对带宽的要求是矛盾的，好的设计通常需要折衷考虑。具有大带宽的系统需要高性能的元件，因此，元件的成本通常随着带宽的增加而增大。

3. 高阶系统的闭环频率特性和频域性能指标 可以利用尼柯尔斯图线求取高阶系统的闭环频率特性和频域指标。 带宽与响应速度之间的关系： 带宽频率越高，调整时间越短，响应速度越快。频率特性展宽多少倍，响应速度将加快多少倍。 在工程实践中，往往用一对主导复数极点对应的二阶系统去近似表征。

求得不同频率对应的闭环幅值和相角后，就可得闭环频率特性，画出闭环频率特性曲线。 4. 确定闭环频率特性的图解方法 求得不同频率对应的闭环幅值和相角后，就可得闭环频率特性，画出闭环频率特性曲线。 在工程上常用等M和等N圆图或尼柯尔斯图线，直接由单位反馈系统的开环频率特性曲线绘制闭环频率曲线。

等 M 圆图 ——闭环幅频特性曲线 假设开环频率特性和闭环频率特性分别为 则有 令M为常数，则上式表示为一个圆。 显然，在复平面上，它是通过点 时且平行于虚轴的直线 。

等 N 圆图 ——闭环相频特性曲线 令 圆心： 半径：

用等M圆图和等N圆图求闭环幅频特性和相频特性 通过开环幅相特性曲线与等 M 圆图的交点，可以得到相应频率的 M 值，即闭环幅频值。 通过开环幅相特性曲线与等 N 圆图的交点，可以得到相应频率的 N 值（或 ），即闭环相频值。

5. 尼科尔斯图 坐标系 直角坐标系—开环L() 和 ()； 等M曲线 令M为常数, 为变量,依次计算值对应的L()。 等N曲线 令N为常数, 为变量,依次计算值对应的L()。

6. 闭环系统频域指标和时域指标的转换 (1) 开环频域指标与时域指标的关系 为了能使用开环频率特性来评价系统的动态性能，就得首先找出开环频域指标 、 与时域动态性能指标 、 的关系。

1)相位裕量 和超调量 之间的关系 二阶系统闭环传递函数的标准型式为 开环频率特性为 由

与 的关系图如下

2)相位裕量 和调节时间 之间的关系 与 的关系图如下

(2) 闭环频域指标与时域性能指标的关系 Mp 、 与时域指标 、 之间亦存在某种关系，这种关系在二阶系统中是严格的、准确的，在高阶系统中则是近似的。

1) 谐振峰值Mp和超调量δ%之间的关系

2) 谐振峰值Mp和调节时间ts的关系

3. 频带宽BW和 之间的关系

5-5 用MATLAB的控制系统频域设计 bode(num,den,w)； Bode(num,den) 若具体地给出频率的范围，则可以用函数 1. 频率特性图的绘制 波德图 Bode(num,den) 若具体地给出频率的范围，则可以用函数 w=logspace(m,n,npts); bode(num,den,w)； 来绘制系统的波德图。

[mag,phase,w]=bode(num,den) 或 [mag,phase]=bode(num,den,w) 若需指定幅值范围和相角范围，则需按以下形式调用： [mag,phase,w]=bode(num,den) 或 [mag,phase]=bode(num,den,w)

subplot(211),semilogx(w,20*logl0(mag))； subplot(212),semilogx(w,phase) 对于这两种方式，必须用下面的绘图函数才可以在屏幕上生成完整的波德图。 subplot(211),semilogx(w,20*logl0(mag))； subplot(212),semilogx(w,phase) 其中，semilogx 函数表示以为单位绘制幅频特性曲线。

[re,im,w]=nyquist(num,den,w)； 奈氏图 nyquist(num,den) 当用户需要指定频率时，可用函数 nyquist(num,den,w) Nyquist函数还有两种等号左端含有变量的形式 [re,im,w]=nyquist(num,den) [re,im,w]=nyquist(num,den,w)；

[gm,pm,wcg,wcp]=margin(mag,phase,w) 2. 相位裕量和增益裕量的计算 [gm,pm,wcg,wcp]=margin(mag,phase,w) 此函数的输入参数是幅值(不是以dB为单位)、相角与频率矢量，它们是由bode或nyquist命令得到的。 或 [gm,pm,wcg,wcp]=margin(sys); 或 margin(sys);

例1： h1=tf([2.33],[0.162 1]); h2=tf([1],[0.0368 1]); h3=tf([1],[0.00167 1]); h=h1*h2*h3; [num,den]=tfdata(h); [mag,phase,w]=bode(num,den); subplot(211); semilogx(w,20*log10(mag));grid subplot(212); semilogx(w,phase);grid [gm,pm,weg,wep]=margin(mag,phase,w)

[mag,phase,w]=bode(num,den); subplot(211); 例2： h1=tf([2.33],[0.162 1]); h2=tf([1],[0.0368 1]); h3=tf([1],[0.00167 1]); h=h1*h2*h3; [num,den]=tfdata(h); [mag,phase,w]=bode(num,den); subplot(211); semilogx(w,20*log10(mag));grid subplot(212); semilogx(w,phase);grid [gm,pm,weg,wep]=margin(mag,phase,w)

在MATLAB命令窗口中可以得到系统的稳定裕量： gm=54.0835 pm=93.6161 wcg=141.9361 wcp=11.6420

[mag,phase,w]=bode(sys,w); [Mp,k]=max(mag); 3. 谐振峰值、谐振频率和系统带宽的计算 求谐振峰值和谐振频率的MATLAB命令如下： [mag,phase,w]=bode(num,den,w); 或 [mag,phase,w]=bode(sys,w); [Mp,k]=max(mag); Resonant_peak=20*log10(Mp); Resonant_frequency=w(k)

while 20*log10(mag(n))>=-3; n=n+1; end bandwidth=w(n) 通过在程序中输入下列命令，可以求出带宽。 n=1; while 20*log10(mag(n))>=-3; n=n+1; end bandwidth=w(n)

例3： nump=[0 0 0 1]; denp=[0.5 1.5 1 0]; sysp=tf(nump,denp); sys=feedback(sysp,1); w=logspace(-1,1); bode(sys,w);grid [mag,phase,w]=bode(sys,w); [Mp,k]=max(mag);

Resonant_frequency=w(k) n=1; while 20*log10(mag(n))>=-3; n=n+1; end Resonant_peak=20*log10(Mp) Resonant_frequency=w(k) n=1; while 20*log10(mag(n))>=-3; n=n+1; end bandwidth=w(n)

Resonant_peak =5.2388 Resonant_frequency=0.7906 bandwidth =1.2649 在命令窗口输出闭环系统谐振峰值、谐振频率和带宽分别为： Resonant_peak =5.2388 Resonant_frequency=0.7906 bandwidth =1.2649

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