第2课时　类比推理

【课标要求】 1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理． 2．了解合情推理在数学发现中的作用． 【核心扫描】 1．对合情推理含义的理解．(重点) 2．能利用归纳和类比进行简单的推理．(重点)

1．类比推理的概念 由两类对象具有某些 特征和其中一类对象的某些 ，推出另一类对象也具有这些特征．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理． 类似 已知特征

想一想：类比推理的结论一定正确吗？ 提示　类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．

2．合情推理 (1)定义 归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过 、 、 、 ，再进行 、 ，然后提出 的推理，我们把它们统称为合情推理． (2)合情推理的过程 观察 分析 比较 联想 归纳 类比 猜想

想一想：由合情推理得到的结论可靠吗？ 提示　一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，例如，费马猜想就被数学家欧拉推翻了．

名师点睛 1．类比推理 (1)类比推理的一般步骤 ①找出两类事物之间的相似性或一致性． ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题． (2)类比推理的特点 ①类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究中的事物的属性，以旧认识为基础，类比出新结果． ②类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性．如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题越可靠．

③类比的结果是猜测性的，不一定正确．但它却具有发现的功能． (3)类比推理的适用前提 ①运用类比推理的前提是两类对象在某些性质上有相似性或一致性，关键是把这些相似性或一致性确切地表述出来，再由一类对象具有的特性去推断另一类对象也可能具有此类特性． ②运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象．

2．归纳推理与类比推理的区别与联系 区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由个别到个别的推理或是由一般到一般的推理． 联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假．

题型一　类比推理在数列中的应用 【例1】 已知数列a1、a2，…，a30，其中a1、a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列；a10，a11，…，a20是公差为d的等差数列；a20，a21，…，a30是公差为d2的等差数列(d≠0)． (1)若a20＝40，求d； (2)试写出a30关于d的关系式； (3)续写已知数列，使得a30，a31，…，a40是公差为d3的等差数列，…，依次类推，把已知数列推广为无穷数列．提出同(2)类似的问题((2)应当作为特例)，并进行研究，你能得到什么样的结论？ [思路探索] 利用类比的思想求解．

规律方法　数学中的许多定理、公式和法则都可以用类比的方法进行证明和应用，而且许多例题、习题也都可以用类比的方法引出新的知识和题目，通过进一步论证得到新的结果，由此可知，类比推理为我们研究问题提供了一盏明灯．

【变式1】 根据等差数列{an}的性质，通过类比写出等比数列{bn}的对应性质. 等差数列{an}(公差为d) 等比数列{bn}(公比为q) ① 若m＋n＝p＋q＝2t，则am＋an＝ap＋aq＝2at ② ar，ar＋m，ar＋2m，…构成公差为md的等差数列 ③ Sn为前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…构成公差为n2d的等差数列 ④ 2an＋1＝an＋an＋2

解　将等差数列与等比数列的运算进行类比，得 等差数列{an}(公差为d) 等比数列{bn}(公比为q) ① 若m＋n＝p＋q＝2t，则am＋an＝ap＋aq＝2at 若m＋n＝p＋q＝2t，则aman＝apaq＝a ② ar，ar＋m，ar＋2m，…构成公差为md的等差数列 br，br＋m，br＋2m，…构成公比为qm的等比数列

题型二　类比推理在几何中的应用 【例2】 如图所示，在△ABC中，射影定理可 表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分 别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出 对空间四面体性质的猜想． [思路探索]

解　如右图所示，在四面体PABC中，设S1，S2， S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB， 面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小． 我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.

规律方法　(1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中的相关结论可以类比得到空间中的相关结论． (2)平面图形与空间图形类比 平面图形 空间图形 点 线 面 边长 面积 体积 线线角 二面角 三角形 四面体

题型三　类比推理的应用 【例3】 三角形与四面体有下列相似性质： (1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形． (2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形． 通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：

三角形 四面体 三角形的两边之和大于第三边 三角形的中位线的长等于第三边长的一半，且平行于第三边 三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心

三角形和四面体分别是平面图形和空间图形，三角形的边对应四面体的面，即平面的线类比到空间为面．三角形的中位线对应四面体的中位面，三角形的内角对应四面体的二面角，三角形的内切圆对应四面体的内切球．

[规范解答] 三角形 四面体 三角形的两边之和大于第三边 四面体的三个面的面积之和大于第四个面的面积 三角形的中位线的长等于第三边长的一半，且平行于第三边 四面体的中位面的面积等于第四个面的面积的，且中位面平行于第四个面 三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心 四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心

【题后反思】 将平面几何中的三角形、长方形、圆、面积等和立体几何中的三棱锥、长方体、球、体积等进行类比，是解决和处理立体几何问题的重要方法．

【变式3】 类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是 (　　)． ①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等； ②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等． A．① B．①② C．①②③ D．③

解析　由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，叫类比推理，上述三个结论均符合推理结论，故均正确． 答案　C

方法技巧　数形结合思想在合情推理中的应用 本节关于数形结合思想的考查主要是利用图形归纳、类比一般规 律，从而作出猜想． 【示例】 如图所示是树形图，第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1；第二层在第一层线段的前端作两条与该线段均成135°角的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法在每一条线段的前端生成两条线段；重复前面的作法作图至第n层．设树形图的第n层的最高点到水平线的距离为第n层树形图的高度．

(1)求第三层及第四层树形图的高度H3、H4； (2)求第n层树形图的高度Hn. [思路分析] 求出前4层的竖直高度，找出规律，进行猜想．

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