勾股定理(2) 勾股定理的证明及应用

勾股定理:两直角边的平方和等于斜边的平方 a2+b2=c2

拼一拼 c a b c a b c a b c a b 右图有四个全等的直角三角形， ∟ a b c 右图有四个全等的直角三角形， ∟ a b c 用这四个三角形拼一拼、摆一摆，看看是否得到一个含有以斜边c为边长的正方形，你能利用它说明勾股定理吗？并与同伴交流。 ∟ a b c ∟ a b c

勾股定理的证明 1.利用面积(1) 想一想: = a2 + b2 + 2ab = c2+2ab 可得: a2 + b2 = c2 (1)大正方形的面积该怎样表示? (2)这四个直角三角形还能怎样拼？

勾股定理的证明 1.利用面积(2) C2－4× ab (a-b)2 = a2+b2－2ab = c2－2ab a2 + b2 = c2 (1) (2) (3) (4) (4) c (1) (a-b)2 (3) (2) C2－4× ab (a-b)2 = a2+b2－2ab = c2－2ab a2 + b2 = c2 可得：

读一读 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦.图19.2.7称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的.图19.2.8是在北京召开的2002年国际数学家大会（TCM－2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就.

已知：在直角△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB， 垂足为D。 想一想：图中有哪些三角形是相似的？下列线段有 怎样的关系？ 勾股定理的证明 2.利用相似三角形 已知：在直角△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB， 垂足为D。 想一想：图中有哪些三角形是相似的？下列线段有 怎样的关系？ B C A D 解： △ACD∽△ABC∽△CBD 可得: (1) CD2=AD·BD (2) AC2=AD·AB (3) BC2=BD·AB 则有: AC2+BC2=(AD+BD) ·AB 即: AC2+BC2=AB2

基础练习 2、三角形的三边长分别为4、5、3， 则三角形的面积为 3、若直角三角形的两边长分别为5,12, 则第三边长为__ 1、下列各组数据能判断三角形是直角三角形的是 A、三边长都是2； B、三边长分别是3、4、3； C、三边长分别是12、5、13；D、三边长分别是7、4、5 2、三角形的三边长分别为4、5、3， 则三角形的面积为 3、若直角三角形的两边长分别为5,12, 则第三边长为__ 4、菱形的两条对角线长分别是6和8，它的高为___ 5、等边三角形的边长为6,则它的面积为

问题(1): 如图，为了求出湖两岸的A、B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形 问题(1): 如图，为了求出湖两岸的A、B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形.通过测量，得到AC长160米，BC长128米.问从点A穿过湖到点B有多远？ 解　在直角三角形ABC中， AC＝160米，BC＝128米， 根据勾股定理可得 = 96（米） 答：从点A穿过湖到点B有96米.

问题(2):如图,两艘军同时从某军港口出发执行任务,甲舰以30海里/时的速度向西北方向航行,乙舰以40海里/时的速度向西南方向航行,1 问题(2):如图,两艘军同时从某军港口出发执行任务,甲舰以30海里/时的速度向西北方向航行,乙舰以40海里/时的速度向西南方向航行,1.5小时后两舰相距多远? O 甲(A) 乙(B)

问题(3): 有一架3米长的梯子搭在墙上,刚好与墙 头对齐,此时梯脚与墙的距离是1米, 问题(3): 有一架3米长的梯子搭在墙上,刚好与墙 头对齐,此时梯脚与墙的距离是1米, (1)求墙的高度? （精确到0.1） 1米 3米 A B C 解： ∵AB=3，BC=1 A′ · B ′ · ∴AC= = = ≈2.8(米) 2.3米 (2)若梯子的顶端下滑50厘米, 底端将水平动多少米? 解: A′ C=AC－A ∵A′ B′ =AB=3, A A′ = 0.5 ∴C B ′ ≈1.9 ∴ BB′= 0.9(米) =2.3

练 习 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米。飞机每时飞行多少千米？ B A C

练 习 假期中，王强和同学到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图（如图），他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走到6千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏点B的直线距离是多少千米？ 解:过点B作BC⊥AD于C,得Rt⊿ABC 由题意,有AC=8-3+1=6千米, BC=2+6=8千米 ∴AB= =10(千米) 答:点A到点B的直线距离是10千米 D C

你学会了吗？ （1）掌握勾股定理及利用拼图来证明的方法。 （2）勾股定理来自于实践，注意在实践中的 应用。 （3）多动手、动脑， 很多知识是在做的过程中发现的。

拓展 美丽的勾股树 你可能去过森林公园，看到过许许多多千姿百态的植物.可是你是否见过如下的勾股树呢？ 你知道这是如何画出来的吗？仔细看看，你就会发现那一个个细小的部分正是我们学过的勾股图，一个一个连接在一起，构成了多么奇妙美丽的勾股树！动手画画看，相信你也能画出其他形态的勾股树. 美丽的勾股树