第3课时 三角函数的图象 要点·疑点·考点 课 前 热 身 能力·思维·方法 延伸·拓展 误 解 分 析
要点·疑点·考点 1.三角函数线 右面四个图中，规定了方向的MP、OM、AT分别叫做角α的正弦线，余弦线，正切线.
2.三角函数的图象 (1)y=sinx、y=cosx、y=tanx、y=cotx的图象(略) (2)y=Asin(ωx+φ)的图象及作法 (3)三角函数的图象变换 ①振幅变换：y=sinx→y=Asinx 将y=sinx的图象上各点的纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变)； ②相位变换：y=Asinx→y=Asin(x+φ) 将y=Asinx的图象上所有点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位； ③周期变换：y=Asin(x+φ)→y=Asin(ωx+φ) 将y=Asin(x+φ)图象上各点的横坐标变为原来的 1/ω 倍(纵坐标不变).
3.图象的对称性 函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0)的图象具有轴对称和中心对称.具体如下： (1)函数y=Asin(ωx+φ)的图象关于直线x=xk(其中ωxk+φ=kπ+π/2，k∈Z)成轴对称图形. (2)函数y=Asin(ωx+φ)的图象关于点(xj ,0)(其中ωxj+φ=kπ,k∈Z)成中心对称图形. 返回
课 前 热 身 1.给出四个函数: (A)y=cos(2x+π/6) (B)y=sin(2x+π/6) (C)y=sin(x/2+π/6) (D)y=tan(x+π/6) 则同时具有以下两个性质的函数是( ) ①最小正周期是π ②图象关于点(π/6，0)对称. 2.已知f(x)=sin(x+π/2)，g(x)=cos(x-π/2)，则下列结论中正确的是( ) (A)函数y=f(x)·g(x)的周期为2π (B)函数y=f(x)·g(x)的最大值为1 (C)将f(x)的图象向左平移π/2单位后得g(x)的图象 (D)将f(x)的图象向右平移π/2单位后得g(x)的图象 A D
3.将函数y=f(x)sinx的图象向右平移π/4个单位后再作关于x轴对称的曲线，得到函数y=1-2sin2x，则f(x)是( ) (A)cosx (B)2cosx (C)sinx (D)2sinx B
4.函数y=|tgx|·cosx(0≤x＜3π/2，且x≠π/2)
5.关于函数f(x)=２sin(3x-3π/4），有下列命题： ①其最小正周期是2π/3； ②其图象可由y=2sin3x向左平移π/4个单位得到； ③其表达式可改写为y=2cos(3x-π/4)； ④在x∈[π/12，5π/12]上为增函数. 其中正确的命题的序号是_________ ①④ 返回
能力·思维·方法 1.先将函数y=f(x)的图象右移π/8个单位，然后再把图象上每一点的横坐标扩大为原来的两倍，所得的图象恰好与函数y=3sin(x+π/6)的图象相同.求f(x)的解析式 【解题回顾】此题为逆向求解对函数y=Asin(ωx+ φ)的图象作变换时应该注意：横坐标的扩大与压缩只与ω有关，与其他参量无关；图象的左右平移应先把ω提到括号外，然后根据加减号向相应方向移动
2.设函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=-π/6对称，求a的值 【解题回顾】此二种方法都应用了三角函数图象的知识解一，抓住的是正弦曲线在与对称轴交点处取得函数最大或最小值的特点解二，充分应用了图形对称以及待定系数法的数学方法，显示了数形结合的灵活性.
3.已知函数 (1)当y取得最大值时，求自变量x的集合； (2)该函数图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 【解题回顾】当A＞0，ω＞0时，函数y=Asin(ωx+ φ)的图象可用“五点法”作出，也可用下列图象变换方法作出，先把y=sinx的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|的单位，再把各点横坐标缩短(ω＞1)或伸长(0＜ω＜1)到原来的1/ω倍(纵坐标不变)，再把各点的纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)到原来的A倍(横坐标不变)；而函数y=Acos(ωx+φ)和y=Atan(ωx+φ)的图象均可仿上变换由y=cosx和y=tanx作出.
4.如下图，函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0)的图像上相邻的最高点与最低点的坐标分别为(5π/12，3)和(11π/12，-3)．求该函数 的解析式 【解题回顾】这类问题的求解难点是φ的确定，除以上方法外，常用移轴方法：做平移，移轴公式为x=x′+π/6，y=y′，则易知函数在新坐标系中的方程是y′=3sin2x′，而x′=x-π/6，故所求函数y=3sin[2(x-π/6)] 返回
延伸·拓展 5.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M(3π/4，0)对称，且在区间[0，π/2]上是单调函数.求φ和ω的值. 返回
误解分析 1.在能力·思维·方法4中，由于φ没有给出范围，所以极易求出不合题意的φ值，解题时要结合“零点”观察 2.由y=sinx作y=sin(2x+π/3)图象，如果先把横坐标缩短为原来的1/2倍，得y=sin2x后再平移，应向左平移π/6，切勿左移π/3. 返回