电动力学 Electrodynamics 主讲：刘万东 教授 助教：刘彦君 黄文强

第 十 周 作业 练习题 思考题 第十周 第五章习题 1-10 思考何谓规范，规范变换，规范不变性。再进一步，何谓规范场？ 第 十 周 作业 练习题 第五章习题 1-10 思考题 思考何谓规范，规范变换，规范不变性。再进一步，何谓规范场？ 你觉得完全可以用势（ ）描述电磁场吗？即根本不用有电场、磁场（ ）的概念？ 库仑规范和洛伦兹规范各有什么好处？还可以有新的规范吗？请试一试。 思考一维波动方程的平面波解和行波解的关系。 请斟酌本节中电荷守恒定律的表达形式。

波导中的电磁波色散关系 波导表面对电磁波的响应，产生了部分屏蔽的效果，使 电磁波的（群）速度降低。 第九周补遗 波导中波的色散关系： （设波导内为真空） 相速度大于真空中光速，群速度则小于光速： (m,n) (1,0) 色散关系：指的是频率与波数的关系，它描述了波动的时间空间变化形式。这种关系与介质相关，通常也说介质的色散性。 尽管波导中没有介质，但波的传播速度却降低了。波导表面对电磁波的响应，产生了部分屏蔽的效果使得电磁波的速度降低，这一点与介质中相同。但应该注意到，介质和波导对波的响应的方式是不同的。 人在自由空间可以跑，在隧道中低着头只能走，在更小的管道中只能爬，速度自然不同。这里类比的不是摩擦力的阻滞，而是空间的限制对行为方式的影响。 当频率趋于截止频率时，群速度趋于零，相速度趋于无穷 波导表面对电磁波的响应，产生了部分屏蔽的效果，使 电磁波的（群）速度降低。

TE10电磁波模 第九周补遗 TE10是波导中最基本的模式 ♨ 具有最低的截止频率 通常将此种模式中唯一的常数（与外激发的能量相关）选为Hz的振幅。 任一点的磁场为x－z平面的椭圆偏振，当然是非横非纵模式。 具有最低的截止频率 电场与传播方向垂直，为横模，但磁场则为非横模式，场在 y 方向均匀 窄边无纵向电流（横向开缝影响小），宽边中线横向电流为零（可开缝） TMm0 、TM0n模均不存在

第五章 电磁波辐射 5.1 电磁场的矢势和标势 5.2 推迟势 5.3 电磁辐射 5.4 天线辐射 5.5 麦克斯韦张量 矢势和标势的引入 第十周 第五章 电磁波辐射 5.1 电磁场的矢势和标势 矢势和标势的引入 规范变换 库仑规范和洛伦兹规范 5.2 推迟势 5.3 电磁辐射 5.4 天线辐射 5.5 麦克斯韦张量

电磁场的矢势与标势 电磁矢势和标势共同描述电磁场 第十周 真空中麦克斯韦方程： 由于 ，仍可引入矢势 : 电场已非无旋场，但: 由于 ，仍可引入矢势 : 电场已非无旋场，但: 故可引入标势 ，使 因此，任何电磁场可以用一标量场 和一矢量场 所描述: 电磁矢势和标势共同描述电磁场 电磁场（（ 、 ）六个分量简化成四个分量（ 、 ） 标势不再具有“势能”的含义，相应“电压”概念不确切

电磁矢势标势满足的方程 电磁场矢势和标势运动方程是相互耦合的（也是烦的！） 第十周 电磁矢势、标势满足的方程 ♨ 电磁矢势标势的定义满足了麦克斯韦方程的 和 方程 另外两个方程则给出矢势、标势满足的方程 ♨ 电磁场矢势和标势运动方程是相互耦合的（也是烦的！） 如果你有权利给 和 一些限制，你会如何选择 ？ 张三：让 ！！ 李四：让 ！！！

规范变换与规范不变性 变换，映射，将一个集与另一个集元素相联系的规律（操作，动力过程） 第十周 电磁矢势、标势具有相当大人为选择的余地 两组不同的矢势标势，可以表示相同的电磁场 变换 变换，映射，将一个集与另一个集元素相联系的规律（操作，动力过程） 上面形式的变换称为规范变换 什么变换？将一对矢量标量场按上述操作方法变成另一对矢量标量场 势在作规范变换下保持物理量不变的性质—规范不变性 在规范变换下，我们可以任意选择势（自由的度） 规范不变性实际上描述了电磁场的重要特征 规范变换给出了电磁场的性质，即两个与源无关的方程。矢势可以加上任意标量函数的梯度，就是表明矢势旋度确定的事实。 展 开

库仑规范 库仑规范下，只须矢势描述平面波 矢势只有横向分量，正好描述平面 电磁波两种偏振态 第十周 库仑：让 ， 库仑规范 ♨ 库仑：让 ， 库仑规范 库仑规范下标势与静电情况下一致 ♨ 库仑规范一定可得到吗？ 是 例：自由空间的平面电磁波 库仑规范之外的条件 自由空间，无电荷、电流 Phi不随时间变化，或者不随空间变化就可以了。 如果整个空间没有电荷，则拉普拉斯方程的解Phi就是常数。 平面波解: 库仑规范下，只须矢势描述平面波 矢势只有横向分量，正好描述平面 电磁波两种偏振态

洛伦兹（茨）规范 Lorenz：让 ， 洛伦兹规范 洛伦兹规范下矢势和标势方程相互独立 电流是矢势之源，电荷是标势之源 第十周 Lorenz：让 ， 洛伦兹规范 洛伦兹规范下矢势和标势方程相互独立 电流是矢势之源，电荷是标势之源 洛伦兹规范矢势、标势完全对称 d’Alembert方程 ♨ 洛伦兹规范一定可得到吗？ 是 例：自由空间的平面电磁波 注：此洛伦兹（L.V. Lorenz，丹麦物理学家），非彼洛伦兹（H.A. Lorentz，荷兰物理学家） 洛伦兹规范要求两个平面波解的频率、波矢相同。 洛伦兹规范 洛伦兹规范下，描述平面波的 势仍有变换的自由度，可取 ♨ 注：此洛伦兹（L.V. Lorenz，丹麦物理学家），非彼洛伦兹（H.A. Lorentz，荷兰物理学家）

第五章 电磁波辐射 5.1 电磁场的矢势和标势 5.2 推迟势 5.3 电磁辐射 5.4 电磁波衍射 5.5 麦克斯韦张量 波动方程的行波解 第十周 第五章 电磁波辐射 5.1 电磁场的矢势和标势 5.2 推迟势 波动方程的行波解 点源产生的电磁波 推迟势 5.3 电磁辐射 5.4 电磁波衍射 5.5 麦克斯韦张量

达朗贝尔方程 第十周 洛伦兹规范下： 电磁场（电磁势）运动方程： d’Alembert方程

一维齐次波动方程之解：平面行波 uF (x - ct) 表示向前传播的行波 uB (x+ct) 表示向后传播的行波 第十周 一维齐次波动方程： 令： ， 波动方程： 一般解 uF (x - ct) 表示向前传播的行波 uB (x+ct) 表示向后传播的行波 一维波动方程的解可表示向前、向后运动的行波叠加

球对称波动方程之解：球面行波 f (t - r/c) / r 表示向外传播的球面波（ r = ct ） 第十周 球对称波动方程： 通解为： f (t - r/c) / r 表示向外传播的球面波（ r = ct ） g(t+r/c) / r 表示向内传播的球面波（ r = -ct ） 波动方程的解可表示向外、向内运动的球面行波的叠加

点源产生的电磁波 第十周 变化的点电荷产生（激发）电磁场的方程： 对点电荷附近，将方程在 的球内积分： 对点电荷附近，将方程在 的球内积分： 若phi在原点附近以不低于r的－2次幂形式，则第二项可以忽略。后面忽略此项获得的解phi是－1次幂形式，因此其解是自洽的，真实的解。 这是r趋于0的解的形式。

推迟势 推 迟 势 随时变化的点电荷在空 间产生的电磁场标势 第十周 连接两区的解， 其中， 因果律要求， 随时变化的点电荷在空 间产生的电磁场标势 由波动方程解的可叠加性，对变化的电荷分布，标势为， 推迟势表达式表明了t时刻对场点处的电磁场是t－r/c时刻电流电荷的贡献，电荷产生的物理作用不能瞬时地到达观察点，而是有一定的推迟，c明显为电磁波的传播速度。 一般而言d’Alembert方程之解为齐次波动方程（加洛伦兹规范）之通解（phi0，A0）与上述推迟势的叠加。（phi0，A0）为自由空间波的传播解，推迟势则是电荷、电流的电磁辐射解。 推 迟 势 同理，对变化的电流分布，矢势为，

推迟势满足洛伦兹条件 ♨ 推迟势是 d’Alembert 方程的解，必须满足洛伦兹规范条件，才是电磁波解 第十周 电荷守恒 对场点的微分既对r作用，也对t’＝t－r/c作用，但对X’不作用。换成对电荷点的微分后，则对这三个变量都有作用，因此，仅将其对电荷点的作用部分扣除即可，这时，不对t’作用。 电荷守恒：X’处在t’时刻电荷守恒。 电荷守恒

附：规范不变性与电磁场性质讨论 一种变换不变描述了一种对称性，给出了一个守恒量 同一个客观实在的不同描述 第十周 附：规范不变性与电磁场性质讨论 一种变换不变描述了一种对称性，给出了一个守恒量 平移变换不变：空间各点一致（无特殊点，对称）：动量守恒 旋转变换不变：空间各方向一致（无特殊方向，对称）：角动量守恒 同一个客观实在的不同描述 直接描述：一个球（这包含了平时对球的了解） 间接描述：将它翻一下，看起来一样；左翻一下，还是一样；这样翻一下，一样; ……（瞎子也知道是个球对称的东西） 物理规律实际上是简单的，不会比球形的几何体更难于表述 一个变换不变就基本确定了

附：库仑规范一定可以得到 第十周 若对某组势，库仑规范不成立： 作规范变换， 泊松方程 一定有解。因此我们可以通过规范变换， 使得新的势满足库仑规范，

附：洛伦兹规范一定可以得到 第十周 若对某组势，洛伦兹规范不成立： 作规范变换， 方程, 一定有解。因此我们可以通过规范变换， 使得新的势满足洛伦兹规范，