第十一章 机械波和电磁波 §11-1 机械波的产生和传播 §11-2 平面简谐波的波函数 §11-3 波动方程 波速 第十一章 机械波和电磁波 §11-1 机械波的产生和传播 §11-2 平面简谐波的波函数 §11-3 波动方程 波速 §11-4 波的能量 波的强度 §11-5 声波 超声波 次声波 §11-6 电磁波 §11-7 惠更斯原理 波的衍射 反射和折射 §11-8 波的叠加原理 波的干涉 驻波 §11-9 多普勒效应

§11-1 机械波的产生和传播 一、机械波产生的条件 机械波： 机械振动(波源)在弹性介质中的传播过程 x y 机械波产生的两个条件：波源，介质 传播特征： 由近及远传播振动状态。

如： 振动沿一细绳的传播。

二、横波与纵波 横波：质点的振动方向和波动的传播方向垂直。 波形特征：存在波峰和波谷， 如细绳上的波。 纵波：质点的振动方向和波动的传播方向相平行。 波形特征：存在相间的稀疏和稠密区域， 如声波。

弹簧中的纵波

远离波源处，很小区域内的波阵面可看作平面波。 三、波阵面和波（射）线 波阵面：振动相位相同的点所构成的面。 波前：最前面的那个波阵面。 波线：表示波的传播方向的有向线段。 平面波 波线 波面 球面波 远离波源处，很小区域内的波阵面可看作平面波。 各向同性介质中，波线与波阵面处处垂直。

3. 波速 u (相速)：振动状态或相位在空间的传播速度。 四、波长、频率和波速间的关系 1. 波长：沿波的传播方向两相邻同相位点之间的距离 2. 周期T ：波前进一个波长 的距离所需的时间。 等于波源的振动周期。 频率： 角频率： 3. 波速 u (相速)：振动状态或相位在空间的传播速度。 u 一般取决于介质的性质(弹性和惯性)。

例11-1 频率为3000 Hz的声波，以1560 m/s的传播速度沿一波线传播，经过波线上的A点后，再经13 cm而传至B点。求：(1) B点的振动比A 点落后的时间。(2) 波在A、B两点振动时的相位差是多少？(3) 设波源做简谐振动，振幅为1 mm，求振动速度的幅值，是否与波的传播速度相等？ 解： (1) 波的周期： 波长：

B点比A点落后的时间为 即 (2) A、B 两点相差 ， B点比A点落后的相位差为 (3) 振幅 A=1 mm，则振动速度的幅值为 振动速度是交变的，其幅值为18.8 m/s，远小于波速。

§11-2 平面简谐波的波函数 一、波函数 波函数表示任一时刻物理量 在空间的分布情况。

二、平面简谐波的波函数 简谐波：简谐振动在介质中传播形成的波。 如果波阵面为平面，则为平面简谐波。 平面波的特点：任一时刻在同一波阵面上的各点有相同的相位。只要研究其中任一条波线上波的传播规律，就能知道整个平面波的传播规律。

设一平面余弦波，在无吸收的均匀无限介质中沿x 轴的正方向传播，波速为u 。取任意一条波线为x 轴，取O 作为x 轴的原点。 P点的振动状态在时间上落后于O点： 平面简谐波的波函数：

平面简谐波的波函数： （沿x 轴正向传播） 沿x 轴负向传播的平面简谐波的波函数：

波函数的意义： (1)当 x 给定时：若x=x1, 波动式成为x1 处质点的振动式 初相： 随着x 值的增大，即在传播方向上，各质点的相位依次落后。这是波动的一个基本特征。

(2)当 t 给定时：若t=t1，波动式表示t1 时的波形 y x O t1 时刻的波形经t 时间沿波的传播方向移动了 ut 的距离，波函数反映了波形的传播——行波。

(3)波函数反映了波的时间、空间双重周期性 T 时间周期性  空间周期性 同一质点在先后时刻的相位差： 不同质点在同一时刻的相位差：

利用关系式 和 ，可得其他形式的平面简谐波波函数： 其中角波数

例11-2 频率为=12.5 kHz的平面余弦纵波沿细长的金属棒传播，波速为 5000 m/s。如以棒上某点取为坐标原点，已知原点处质点振动的振幅为A =0.1 mm，试求：(1)原点处质点的振动表式；(2)波函数；(3)离原点10 cm处质点的振动表式；(4)离原点20 cm和30 cm两点处质点振动的相位差；(5)在原点振动0.0021 s时的波形。 解： 波长： 周期：

(1)原点处质点的振动表达式 (2)波函数 式中x 以m计，t 以s 计。 (3)离原点10 cm处质点的振动表达式

(4)该两点间的距离 相应的相位差为 (5) t =0.0021 s时的波形为

例11-3 一横波沿一弦线传播。设已知t =0时的波形曲线如图中的虚线所示。波速 u=12 m/s，求：(1)振幅；(2)波长；(3)波的周期；(4)弦上任一质点的最大速率；(5)图中a、b两点的相位差；(6)3T/4时的波形曲线。

解： (2) =40 cm； (1) A=0.5 cm； 由图： (3) 波的周期 (4) 质点的最大速率

(5) a、b两点相隔半个波长，b点处质点比a点处质点的相位落后 。 (6)3T/4时的波形如下图中实线所示，波峰M1和M2已分别右移 而到达 和 处。

§11-3 波动方程 波速 一、波动方程 速度： 加速度： 平面波的波动方程：

设弦上的横波，设线密度l ，张力F（不变）。 二、波动方程的建立 设弦上的横波，设线密度l ，张力F（不变）。 a b

由牛顿运动定律： 弦上横波的波速：

三、波速 波速由弹性介质性质（弹性和惯性）决定。 绳索或弦线中的(横波)波速 F为张力，l 为线密度。 固体中 G为切变模量，为固体密度。 横波： 纵波： E为弹性模量（杨氏模量）。

纵波在流体内传播的波速 为体积模量，为流体密度。 理想气体中的声速 流体内只能传播纵波，不能传播横波。

四、介质的形变及其模量 1. 线变 正应力： F/S 线应变： l/l 弹性模量 ：E 2. 切变  S 切变角： 切变模量： G S

3. 体变 p 压强为p时，体积为V； 压强为p+Δp时，体积为V+ΔV。 体应变： V/V 体积模量 ： 

§11-4 波的能量 波的强度 一、波的能量 平面简谐波 考虑介质中体积元为V质量为m (m=V )的质元。 可以证明 体积元的总机械能 在波动过程中，任一质元的动能和势能相等，且同相位变化。与弹簧振子的能量不同。

波的能量密度 ：介质中单位体积的波动能量。 在一个周期内的平均值 （平均能量密度）： 机械波的能量与振幅的平方、频率的平方以及介质的密度成正比。

二、波动能量的推导 设弦上的横波 A B x O 取线元l，原长x，质量 l x， x很小时

线元的总机械能

对于平面简谐波 由

单位体积中的机械能——能量密度

u 三、波的强度 能流：单位时间内通过介质中某截面S的波动能量。 平均能流： ( J/s ) S 平均能流密度 I ： 通过垂直于传播方向单位面积的平均能流。 ( W/m2 ) 介质的特性阻抗

平面余弦行波振幅不变 若 ，有 。 介质不吸收能量时，平面余弦行波振幅不变

球面简谐波的波函数（介质不吸收能量时） O 点波源 各向同性介质 A0为 r =r0 处的振幅。

四、波的吸收 若介质吸收机械波的能量，则传播时波的振幅将减小。 x x+dx A A+dA  ：介质的吸收系数。 若 为常数，则有 A0为x = 0 处的振幅。

例11-4 空气中声波的吸收系数为1=210-112(m-1)，钢中的吸收系数为2=410-7  (m-1)，式中代表声波频率的数值。问5 MHz的超声波透过多少厚度的空气或钢后，其声强减为原来的1%？ 解： 1=210-11(5106)2=500 (m-1) 2=410-7(5106)2=2 (m-1) 分别代入 I = I0e-2 x 或 空气的厚度 钢的厚度

§11-5 声波 超声波 次声波 按频率范围划分： 次声波（infrasonic wave） ：f < 20 Hz 声 波（sound wave）： 20 < f <20 000 Hz 超声波（supersonic wave）： f >20 000 Hz 一、声压 介质中有声波传播时的压强与无声波时的静压强之差称为声压（sound pressure）。 设介质中没有声波时的压强为p0，有声波时各处的实际压强为p。p =p-p0是声压，常用 p 表示。 稀疏处声压为负值，稠密处声压为正。

声压的周期性变化 设密度为 的流体中传播一平面余弦声波 在流体中 x 处取一截面积为S、长度为x 的柱形体积元，体积 。 当声波传播时，这段流体柱两端的位移分别为y和y+y。 体积增量为 。

流体体积模量 有声波传播时，式中压强增量 p就是声压 p。 或 对于平面波，有

由 为声压振幅。 声压波比位移波在相位上超前 。

二、声强 声强级 声强（intensity of sound）是声波的平均能流密度 声压和声强随频率增加而增大。 对于每个可闻频率，声强有上下两个限值。 听觉阈（threshold of hearing）： 恰好能引起听觉的最低声强。 痛觉阈（threshold of pain）： 恰好能引起痛觉的最低声强。 声强的上下限值随频率而异。

在1000 Hz时，正常人听觉的最高声强为1 W/m2，最低声强为10-12 W/m2。 将I 0= 10-12 W/m2作为测定声强的标准。 声强级（sound level） 单位为B（贝尔） 单位为dB（分贝） 几种典型声音的声强级： 细语——10 dB 炮声——110 dB 聚焦超声波——210 dB

例11-5 人耳可以听见的最低声强为10-12 W/m2，试求出声波在传播过程中空气分子做正弦振动的最小振幅。设空气的密度为  =1 例11-5 人耳可以听见的最低声强为10-12 W/m2，试求出声波在传播过程中空气分子做正弦振动的最小振幅。设空气的密度为  =1.2910-3 kg/m3，声音在空气中的传播速度 u =340 m/s。 解： 由式 可得振幅 将对人耳比较灵敏的频率  =1000 Hz 代入，得

例11-6 频率为500 kHz，声强为1200 W/m2，声速为1500 m/s 的超声波，在水(水的密度为1 g/cm3)中传播时，求其声压振幅为多少大气压? 又位移振幅、加速度振幅各为多少？ 解： I = 1200 W/m2， = 1103 kg/m3

三、超声波 超声波（supersonic wave）： f >20 000 Hz 产生超声波的装置： 机械型超声发生器（例如气哨、汽笛和液哨） 电声型超声发生器（利用压电晶体的电致伸缩效应和铁磁物质的磁致伸缩效应制成）

超声波频率高，波长短，具有以下特性： 定向性好，在一定距离内沿直线传播。这一特性已被广泛用于超声波探伤、测厚、测距、遥控和超声成像技术。 强度大。可进行超声焊接、切割、钻孔等加工。 空化作用 。可进行固体的粉碎、乳化 、脱气、除尘、去锅垢、清洗等。

三、次声波 次声波（infrasonic wave） ：10-4 Hz < f < 20 Hz 次声波产生的声源相当广泛：火山爆发、坠入大气层中的流星、极光、地震、海啸、台风、雷暴、龙卷风、电离层扰动，等等。利用人工的方法也能产生次声波，例如核爆炸、火箭发射、化学爆炸，等等。 由于次声波的频率很低，其最显著的特点是不容易被吸收，具有极强的穿透力，不仅可以穿透大气、海水、土壤，而且还 能穿透坚固的钢筋水泥构成的建筑物，甚至坦克、军舰、潜艇和飞机，传播距离很远。

1883年8月27日印度尼西亚的喀拉喀托火山爆发时，它所产生的次声波围绕地球转了三圈，传播了十几万千米。当时，人们利用简单的微气压计曾记录到它。次声波不但“跑”得远，而且它的速度大于风暴传播的速度，所以它就成了海洋风暴来临的前奏曲，人们可以利用次声波来预报风暴的来临。 次声穿透人体时，不仅能使人产生头晕、烦燥、耳鸣、恶心、心悸、视物模糊，吞咽困难、胃痛、肝功能失调、四肢麻木，而且还可能破坏大脑神经系统，造成大脑组织的重大损伤。次声波对心脏影响最为严 重，最终可导致死亡。

§11-6 电磁波 一、电磁波的辐射和传播 电磁波的产生 LC振荡电路可作为电磁波的波源。 C L 振荡频率：

有效发射电磁波的必要条件： 1. 电路的振荡频率必须足够高。 2. LC电路必须开放。 电矩： 振荡偶极子：

赫兹在1887年采用振荡偶极子，实现了发送和接收电磁波，证实了电磁波的存在。 赫兹实验 赫兹在1887年采用振荡偶极子，实现了发送和接收电磁波，证实了电磁波的存在。 共振振子 发射振子 铜棒 感应线圈

振荡偶极子发射电磁波 电矩： 振荡偶极子附近一条闭合电场线的形成：

振荡电偶极子不仅产生电场，而且产生磁场。 远处为辐射区 振荡电偶极子周围的电磁场线

时刻 t ，真空中远离偶极子的P点处的E、H 的量值为 球面波

在一小区域内，可近似为平面波： （真空中） （介质中） 平面电磁波的波动方程

二、电磁波的性质 1. 横波性 2. 偏振性 3. 同相位变化

4. 电磁波的传播速度 真空中： 介质中：

三、电磁波的能量 电磁波的能量密度： 电磁波的能流密度： 坡印廷（Poynting）矢量

对平面余弦电磁波 电磁波的强度

对振荡偶极子辐射的电磁波 （方向因子）

例11-7 设有一平面电磁波在真空中传播,电磁波通过某点时，该点的E=50 V/m。试求该时刻该点的B 和H 的大小，以及电磁能量密度w 和辐射强度S 的大小。 解： B=0H 电磁能量密度： w = 0E2 = 2.2110-8 J/m3 辐射强度： S = EH = 6.7 J/(m2s)

例11-8 某广播电台的平均辐射功率 。假定辐射出来的能流均匀地分布在以电台为中心的半个球面上，(1)求在离电台为 r =10 km 处的辐射强度； (2) 在r =10 km 处一个小的空间范围内电磁波可看作平面波，求该处电场强度和磁场强度的振幅。 解： (1)在距电台 r =10 km处的平均辐射强度为 (2)

四、电磁波的动量 由质能关系： 单位体积中电磁场的质量——质量密度： 单位体积中电磁场的动量——动量流密度： 电磁波入射到物体上，伴随着动量的传递，对物 体表面产生辐射压力。

五、电磁波谱

§11-7 惠更斯原理 波的衍射、反射和折射 一、惠更斯原理 §11-7 惠更斯原理 波的衍射、反射和折射 一、惠更斯原理 惠更斯原理（Hygens principle）：介质中任一波面上的各点，都可看成是产生球面子波的波源；在其后的任一时刻，这些子波的包络面构成新的波面。 子波波源 波阵面 子波

t 时刻波面 t+t时刻波面波的传播方向 应用： t 时刻波面 t+t时刻波面波的传播方向 球面波 · t t + t 平面波 t+t时刻波面 · ut 波传播方向 t 时刻波面

波的衍射（diffraction of wave）： 二、波的衍射 波的衍射（diffraction of wave）： 波传播过程中当遇到障碍物时，能绕过障碍物发生偏折的现象。 可用惠更斯原理解释： （2）a ≈  阴影区 a （1）a <<  能够发生明显的衍射现象的条件是 ： 障碍物或孔的尺寸比波长小,或者跟波长相差不多. 要注意,当障碍物或孔的尺寸远大于波长时几乎没有衍射现象;当障碍物或孔的尺寸远小于波长时衍射十分明显,但由于能量的减弱,衍射现象不容易被观察到.

(长波、短波是以波长与障碍物的线度相比较而言的) 可见，长波衍射现象明显，方向性不好； 短波衍射现象不明显，方向性好。 (长波、短波是以波长与障碍物的线度相比较而言的) ★ 如你家住在山后，收听无线广播和收看无线电视哪个信号更容易接收到？ 墙 c a b (俯视图) 无线电广播使用波长几百到几千米的波,它能绕过高大建筑物、高山传到任何角落,所以一般收音机不用室外天线也能收到遥远地方传来的广播。电视台使用的无线电波的波长只有1米左右,绕过障碍物的本领小,所以收看电视节目必须有灵敏的天线,乃至高大的室外天线。 ★a(男)、b(女) 在说话，c 在墙 后， c较容易听到谁的声音？

BC=u1(t2-t1) AD=u2(t2-t1) 三、波的反射和折射 反射定律： 折射定律： B （1） C E A （2） D 折射波传播方向 qr qi （1） （2） A B C E D t1 t2 BC=u1(t2-t1) AD=u2(t2-t1)

§11-8 波的叠加原理 波的干涉 驻波 一、波的叠加原理 1. 波传播的独立性：若干列波在传播过程中相遇，每列波仍将保持其原有的特性（频率、波长、振幅、振动方向），不受其他波的影响。 2. 波的叠加原理：在几列波相遇的区域内，任一质点振动的位移是各列波单独传播时在该点引起的位移的矢量和。 强波不遵循波的叠加原理。

二、波的干涉 两列波的频率相同，振动方向相同，相位差恒定。 相干条件： 相干波源 相干波： 满足相干条件的几列波。 干涉（interference）：两列波在空间相遇叠加，结果在空间的某些地方振动始终加强，而在空间的另一些地方振动始终减弱或完全消失的现象。

相干波源的振动方程： P r2 r1 O1 O2 相干波的波动式： P点的相位差： P点的合振动：

振幅： 合成波的强度： 初相：

Amax= A1+A2 (加强) Amin=|A1-A2| (减弱) 其他 Amin< A < Amax =

特例： 波程差： 加强条件 合振幅最大； 合振幅最小。 减弱条件

加强条件 减弱条件 若I1= I2，

例11-9 两相干波源S1和S2的间距为d=30 m，且都在x轴上，S1位于原点O。设由两波源分别发出两列波沿x 轴传播，强度保持不变。x1 =9 m和 x2=12 m处的两点是相邻的两个因干涉而静止的点。求两波长和两波源间最小相位差。 O S1 S2 x1 x2 d x 解： 设S1和S2的振动初相位分别为 x1点的振动相位差：

O S1 S2 x1 x2 d x x1点的振动相位差： x2点的振动相位差： 两式相减，得 k = -2，-3 时相位差最小：

三、 驻波 驻波产生的条件： 两列振幅相同的相干波沿相反方向传播叠加而成。

波节 波腹 两相干波： 驻波的表达式：

参与波动的每个点振幅恒定不变，不同位置的各点振幅不同， 与行波不同。 波节 波腹 讨论 1. 振幅： 参与波动的每个点振幅恒定不变，不同位置的各点振幅不同， 与行波不同。

2. 波腹：(x) = 2A 坐标： 相邻波腹间距： 3. 波节：(x) = 0 坐标： 相邻波节间距：

4. 相位分段： 相邻波节间为一个分段(x = /2)。

同一分段内的各点振动相位相同，在一个波节的两侧相邻分段内的各振动点反相位。

5. 能量： 波腹处只有动能没有势能。 波节处只有势能没有动能。 经T/4，波节附近势能转化为波腹附近动能。 动能和势能在波节和波腹之间来回传递，无能量的定向传播。

例11-10 两人各执长为 l 的绳的一端, 以相同的角频率和振幅在绳上激起振动，右端的人的振动比左端的人的振动相位超前 ，试以绳的中点为坐标原点描写合成驻波。由于绳很长，不考虑反射。绳上的波速设为u。 解： 设左端的振动 右端的振动 右行波表达式： 左行波表达式： 时，y1 = Acos t，

时，y2 = Acos t， 右行波、左行波表达式：

合成波： 当 =0 时，x =0 处为波腹； 当 = 时，x =0 处为波节。

例11-11 在弦线上有一简谐波，其表达式为 为了在此弦线上形成驻波，并且在x= 0处为一波节，此弦上还应有一简谐波，求其表达式。 解： 反向波： 合成波：

因为x = 0处为波节，

若将拉紧的弦（弦长 L）两端固定，由于固定端必须是波节，弦上形成驻波的条件(称为简正模式)： 四、弦线上的驻波 若将拉紧的弦（弦长 L）两端固定，由于固定端必须是波节，弦上形成驻波的条件(称为简正模式)： ( n=1,2,3) 驻波波长和简正模频率： (基频, 二次谐频)

*若弦的一端固定，一端自由，简正模：

五、半波损失 较大为波密介质 较小为波疏介质 1. 在固定端或 波密介质 波疏介质 分界面反射点是波节，表明反射波与入射波的相位相差 ，称半波反射(半波损失)。 2. 在自由端或 波密介质 波疏介质 反射波与入射波的相位相同， 反射点是波腹，称全波反射。

例11-12 入射波 处固定端被反射，求驻波波动式及波节与波腹的坐标。 在 x O 解： 波腹 波节

波腹 x O 波节

§11-9 多普勒效应 一、机械波的多普勒效应 多普勒效应（Doppler effect）：波源或观测者或它们二者相对于介质运动时，观测者接收到的频率和波源的频率并不相等的现象。 假设波源和观测者只沿着它们连线的方向运动。 设vR表示观测者相对于媒质的运动速度，接近于波源为正，反之为负。vS 表示波源相对于介质的运动速度，接近于观察者为正，反之为负。 设波源的频率、观测者接收到的频率和波的频率分别为 S、R 、W

1. 波源静止，观测者以速度vR 相对介质运动 波相对于观测者的速度： 波长：  S vS = 0 u 观测者接收到的频率： vR

2. 观测者静止，波源以速度vS 相对介质运动 观察者测得的波长： vS S B S S u

3. 观测者和波源同时运动 观测者接近于波源运动vR为正，反之为负；波源接近于观察者运动vS为正，反之为负。 波源与观测者相互接近时，接收到的频率较高；波源与观测者相互远离时，接收到的频率较低。

弹性波只有纵向多普勒效应，无横向多普勒效应。 若波源和观测者的运动不在二者连线上 R S S R 弹性波只有纵向多普勒效应，无横向多普勒效应。

例1-13 接收器R、波源S 及反射面M 的位置如图所示，已知波速u， 波源静止， 频率为0， 接收器以 vR 运动， 反射面以 vM 运动，计算接收器接收的拍频为多少? 解： R接收到的来自S的波频率： S R M vR vM 反射面M上产生的反射波频率： R接收到的反射波频率：

拍频：

当波源和接收器在同一直线上运动时，设v 为波源和接收器之间相对运动的速度。 二、电磁波的多普勒效应 当波源和接收器在同一直线上运动时，设v 为波源和接收器之间相对运动的速度。 · R S [K] 蓝移（blue shift） 红移（red shift） 应用：测速，天体光源的多普勒红移，人造地球卫星的跟踪和定位等。

三、冲击波 若波源速度超过波速(vS>u)  S ut vSt 马赫锥 vS 马赫数： 超音速飞机会在空气中激起冲击波—— “声暴”。 切仑科夫辐射（Cherencov radiation） (ve > c/n) ——切仑科夫计数器