机械力学与设计基础 李铁成 主编

第四章 杆件剪切、挤压和扭转强度计算 第一节　抗剪强度计算 第二节　挤压强度计算 第三节　圆轴扭转的内力与应力 第四节　圆轴扭转的强度与刚度计算

第一节 抗剪强度计算 基本概念： 1、剪切力受力特点：构件承受一对大小相等，方向相反，作用线平行且相距很近。 第一节　抗剪强度计算 基本概念： 1、剪切力受力特点：构件承受一对大小相等，方向相反，作用线平行且相距很近。 2、变形特点：构件在两作用线之间的截面发生相对错动，称剪切变形。 3、截面法求剪力：如C图所示。求得FQ=F；假设剪切面上的切应力是均匀分布的，以A表示剪切面积，则应力是： τ与剪切面相切，故称为切应力。剪切强度条件： 图4-1　钢杆的剪切

第一节　抗剪强度计算 例4-1　电瓶车挂钩采用插销联接(图4-2)。插销材料为20钢，［τ］=30MPa，直径d=20mm。挂钩及被联接的板件的厚度分别为δ1=8mm和δ2=12mm。牵引力F=15kN。试校核插销的抗剪强度。 解　插销受力如图4-2b所示。根据受力情况，插销中段相对于上下两段，沿m-m和n-n两个面向左错动。所以有两个剪切面，称为双剪切。由平衡方程容易求出FQ=F/2。插销横截面上的切应力为 图4-2　电瓶车挂钩

第一节　抗剪强度计算 例4-2　如图4-3所示，已知钢板厚度δ=10mm,其剪切极限应力为τb=300MPa。若用冲床将钢板冲出直径d=25mm的孔，问需要多大的冲剪力F？ 解　剪切面是钢板内被冲头冲出的圆饼体的柱形侧面，如图所示。其面积为 冲孔所需的冲剪力为： 图4-3　钢板冲切

第二节 挤压强度计算 概述： 相应的强度条件是： 1、挤压：在外力作用下，联接件与被联接件之间，必将在接触面上相互压紧的现象，产生塑性变形。 第二节　挤压强度计算 概述： 1、挤压：在外力作用下，联接件与被联接件之间，必将在接触面上相互压紧的现象，产生塑性变形。 2、在挤压面上，应力分布一般比较复杂，实用计算中，假设挤压应力均匀分布，以Fjy表示挤压面上传递的力，Ajy表示挤压面积，于挤压应力为： 相应的强度条件是： 4M4.tif --材料的允用挤压应力

第二节　挤压强度计算 当联接件与被联接件的接触面为平面时，如键联接，以上公式中的Ajy就是接触面的面积。当接触面为圆柱为圆柱面时（如销钉、铆钉等与钉孔间的接触面）挤压应力的分布情况如图4-5所示，最大应力在圆柱面的中点，实际计算中用Fjy除以直径平面面积td，所得应力与实际最大应力相近。 图4-5　接触面为圆柱面时的挤压

第二节　挤压强度计算 例4-3　齿轮与轴用平键联接(图4-6)，已知轴的直径d=50mm,键的尺寸b×h×L=16mm×10mm×50mm，传递的力矩为T=600N·m， 键的许用应力［τ］=60MPa，许用挤压应力［τjy］=100MPa。试校核键的强度。 解　1)计算键上所受的外力F：取轴和键为研究对象，其受力图如图4-6b所示，由对轴线的力矩平衡方程，有 图4-6　轮与轴的键联结

第二节 挤压强度计算 2) 校核键的抗剪强度：由截面法得剪切面上的剪力 剪切面积： 3)校核键的挤压强度：键所受得挤压力 挤压面积： 第二节　挤压强度计算 2) 校核键的抗剪强度：由截面法得剪切面上的剪力 剪切面积： 3)校核键的挤压强度：键所受得挤压力 挤压面积： 由此可得：

第三节 圆轴扭转的内力与应力 一、外力偶矩的计算 扭转变形特点：构件的轴线保持不变，各横截面绕轴线发生相对转动。 第三节　圆轴扭转的内力与应力 一、外力偶矩的计算 扭转变形特点：构件的轴线保持不变，各横截面绕轴线发生相对转动。 工程上外力偶矩经常根据输出轴的转速和轴所传递的功率来计算： 图4-7　攻螺纹 图4-8　汽车转向盘

第三节　圆轴扭转的内力与应力 二、扭矩与扭矩图

第三节 圆轴扭转的内力与应力 在求得作用在外力偶矩之后，即可用截面法研究圆轴扭转时横截面上的内力。 第三节　圆轴扭转的内力与应力 在求得作用在外力偶矩之后，即可用截面法研究圆轴扭转时横截面上的内力。 但在分别取左端和右端作为研究对象时，得出两端扭矩大小相等，转向相反，它们 是作用与反作用的关系。为合取左端和取右端求得的扭矩不但大小相等而且符号相同，对扭矩符号规定如下： 图4-10　扭转内力分析

第三节　圆轴扭转的内力与应力 右手螺旋法则：拇指指向横截面的外法线方向，扭矩的转向与四指环绕方向一致时，扭矩为正，反之为负。在求扭矩时不考虑外力偶矩的转向，均假设扭矩为正。 当轴上作用多个外力偶矩时，须以外力偶所在的截面将轴分为几个自然段，逐段求出扭矩。为了确定轴上最大的扭矩位置，找出危险截面，常用图形截面的扭矩随截面位置的变化规律，这种称为扭矩图。 4M11.tif

第三节 圆轴扭转的内力与应力 TA为主动力偶矩，AC段的转向与TA相同，TB、TC为阻力偶矩，其转向与TA相反。 第三节　圆轴扭转的内力与应力 例4-4　一传动系统的主轴AC(图4-12),其转速n=960r/min,输入功率PA=27.5kW，输出功率PB=20kW，PC=7.5kW，不计轴承摩擦等功率消耗，试作AC轴的扭矩图。 解　1)计算外力偶矩 TA为主动力偶矩，AC段的转向与TA相同，TB、TC为阻力偶矩，其转向与TA相反。

第三节 圆轴扭转的内力与应力 2)计算扭矩：在AB段以截面1-1将AC轴分成两部分，取左端作为研究对象。 同理可得： 3）画轴力图：如d图 第三节　圆轴扭转的内力与应力 2)计算扭矩：在AB段以截面1-1将AC轴分成两部分，取左端作为研究对象。 同理可得： 4M12.tif 3）画轴力图：如d图

第三节　圆轴扭转的内力与应力 三、圆轴扭转时的应力：圆轴扭转时，横截面上的各点应力仅用静力学关系已经无法解决，还需考虑变形的几何关系和物理关系。 1.变形几何关系 图4-13　圆轴扭转 根据实验观察现象，提出如下平面假设：圆轴的横截面变形前为平面，变形后仍为平面，其大小和形状不变，半径仍保持为直线，按此平面假设，圆轴扭转时，各横截面都像刚性平面一样绕轴线作相对转动，任意两个截面相对转过的角度称为扭转角。

第三节 圆轴扭转的内力与应力 变形后微小变形角γ，在小变形条件下有： 距轴线为ρ的任意A’处的切应变： 第三节　圆轴扭转的内力与应力 变形后微小变形角γ，在小变形条件下有： 距轴线为ρ的任意A’处的切应变： 4M14.tif 对于同一截面而言θ是一常量，这样由上式可知：横截面上任意一点处的切应变γρ与该点半径ρ成正比，在同圆周上，各点的切应变相等。

第三节 圆轴扭转的内力与应力 2.物理关系 由剪切胡克定τ=Gxγρ，则有： 第三节　圆轴扭转的内力与应力 2.物理关系 由剪切胡克定τ=Gxγρ，则有： 图4-15　切应力分布 表明：横截面上任意 一点的切应力与该点到圆心的距离成正比，所有与圆心等距离的点，其切应力相同，其方向垂直于半径，与横截面上扭矩方向一致。如图所示。

第三节 圆轴扭转的内力与应力 3.静力学条件 积分 仅与横截面的几何形状和尺寸有关的量，称为横截面对圆心的极惯性矩，用IP表示 即有： 第三节　圆轴扭转的内力与应力 3.静力学条件 积分 仅与横截面的几何形状和尺寸有关的量，称为横截面对圆心的极惯性矩，用IP表示 即有： 即当 切应力最大 图4-16　静力分析 WP——抗扭截面系数，单位：mm3

第三节　圆轴扭转的内力与应力 对于圆环外径为D，内径为d的环形截面，则有： 图4-18　环形截面 4M17.tif

第四节 圆轴扭转的强度与刚度计算 一、扭转破坏试验及许用切应力 第四节　圆轴扭转的强度与刚度计算 一、扭转破坏试验及许用切应力 图4-19　扭转试件 试样扭转屈服时，横截面上的最大切应力称为扭转屈服极限，用 表示，试样扭断时横截面上的最大切应力称为抗扭强度，用 表示， 和 统称为极限扭应力，用 表示；许用应力

第四节 圆轴扭转的强度与刚度计算 二、圆轴扭转时的强度： 第四节　圆轴扭转的强度与刚度计算 二、圆轴扭转时的强度： 4M20.tif 例4-5　已知阶梯轴如图4-20a所示，T1=5kN·m,T2=3.2kN·m,T3=1.8kN·m,材料的许用切应力［τ］=60MPa,试校核轴的强度。

第四节　圆轴扭转的强度与刚度计算 解　阶梯轴的扭矩图如图4-20b所示。AB段的扭矩大，但轴的直径也大；BC段的扭矩虽小，但其直径也小。因此，对两段都应进行校核。 AB段： 由计算结果可知，最大切应力发生在BC段，由于 所以AC段不能满足强度要求 BC段：

第四节 圆轴扭转的强度与刚度计算 解 1)校核AB轴的强度：由已知条件可得 第四节　圆轴扭转的强度与刚度计算 例4-6　由无缝钢管制成的汽车传动轴AB(图4-21)，外径D=90mm,壁厚t=2.5mm,材料为45钢，许用切应力［τ］=60MPa，工作时最大扭矩T=1.5kN·m。1) 试校核AB轴的强度。2) 如将AB轴改为实心轴，试在相同条件下确定轴的直径。3) 比较实心轴和空心轴的重量。 图4-21　空心轴 解　1)校核AB轴的强度：由已知条件可得

第四节　圆轴扭转的强度与刚度计算 2)确定实心轴的直径：若实心轴与空心轴的强度相同，在相同条件下必然得出两轴的WP相等。 解得 3)比较实心轴和空心轴的重量：因为轴的材料和长度相同，它们的重量比就等于面积比，设A1为实心轴的截面面积，A2为空心轴的截面面积，则有

第四节 圆轴扭转的强度与刚度计算 三、圆轴扭转时的变形和刚度计算 扭转变形是用两个横截面绕轴线的扭角ψ来表示，由4-9A式可得 第四节　圆轴扭转的强度与刚度计算 三、圆轴扭转时的变形和刚度计算 扭转变形是用两个横截面绕轴线的扭角ψ来表示，由4-9A式可得 对于长度为国l,扭矩为T为常值的等截面圆轴来说，由于T、G、IP不变，可得轴端两截面的扭角为： GIP反映截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。扭角正负号与扭矩相同。 设计轴类构件时，不仅要满足强度要求，有些还要考虑刚度问题，要求轴在一定长度的扭角不超过一定的限度，通常用单位长度的扭角θ，使它不超过许用值[θ]。

第四节　圆轴扭转的强度与刚度计算 例4-7　一空心轴外径D=100mm，内径d=50mm,G=80GPa,［θ］=0.75°/m ,试求该轴所能承受的最大扭矩Tmax。 解　由刚度条件得 例4-8　传动轴如图4-22所示，已知该轴转速n=300r/min，主动轮输入功率PC=30kW，从动轮输出功率PD=15kW，PB=10kW, PA=5kW，材料的切变模量G=80GPa,许用切应力［τ］=40MPa,［θ］=1°/m,试按强度条件及刚度条件设计此轴的直径。 解　1)求外力偶矩：由式T=9549P/n可得

第四节　圆轴扭转的强度与刚度计算 4M22.tif 2)画扭矩图：首先计算各段的扭矩

第四节　圆轴扭转的强度与刚度计算 3)按强度条件设计轴的直径：由式WP=π/16和强度条件≤［τ］得到 4)按刚度条件设计轴的直径：由式IP=π/32和刚度条件T/G×80/π≤［θ］得到