第15讲 特征值与特征向量的性质 主要内容：特征值与特征向量的性质
4.2 特征值与特征向量的性质 特征值与特征向量的性质在解决某些问题时至关重要, 需要记住. 性质1 设n阶方阵A = (aij)的n个特征值为1, 2, …, n(重根按重数计算), 则 (1) 1+2+ …+n= a11+a22+ …+ann . (2) 12 …n= |A|.
在n阶方阵A = (aij)中, a11+a22+ …+ann称为A的迹(trace),记为tr(A).
其特征值为1, 2,则由一元二次方程根与系数的关系有 (1) 1+2= a11+a22. (2) 12 = |A|. 如果知道n阶方阵A = (aij)的n个特征值为1, 2, …, n, 则可由(2)得出|A|. 特别地, 方阵A有一个特征值为0当且仅当|A| = 0.
性质2 设为方阵A的特征值, 则 (1) 对于任意数l, l是lA的特征值. (2) 对于任意自然数k, k是Ak的特征值. Proof Ax = x. (1) (lA)x = l(Ax) = l(x) = (l)x. (2)当k = 0, 1时，结论显然成立. 假设对于任意自然数k, k是Ak的特征值. k +1:
设 对于任意n阶方阵A, 例如,取
若为方阵A的特征值, 则()是(A)的特征值, 且特征向量相同. 存在非零向量x使得Ax = x. 由性质2知, 若n阶方阵A = (aij)的n个特征值为1, 2, …, n, 则(A)的n个特征值为(1), (2), …, (n).
性质3 设为方阵A的特征值,若A可逆,则 0, -1是A-1的特征值. Proof 由于Ax = x, 因为A可逆: A-1(Ax) = A-1 (x) x = (A-1 x). 因为x 0, 所以 0. x = (A-1 x) A-1 x = -1x -1是A-1的特征值. 对于可逆矩阵A，对于正整数k，定义
设 对于任意n阶可逆方阵A,
若为可逆方阵A的特征值, 则()是(A)的特征值,且特征向量相同. 特别地, 若为方阵A的特征值且A可逆,由于A* = |A|A-1,于是|A|-1是A*的特征值. 若n阶可逆方阵A = (aij)的n个特征值为1, 2, …, n, 则(A)的n个特征值为(1), (2), …, (n).
例4.5 设方阵A满足A2 = E,证明 (1) A的特征值为1或-1. (2) 4E – 3A可逆. Proof (1)设为方阵A的特征值，则2是A2的特征值. 由于A2 = E且E的特征值为1,于是2 = 1,这时 = 1或-1. (2) 4E – 3A的特征值4 - 31=1或4 - 3(-1) = 7,由性质1知|4E – 3A| 0, 4E – 3A可逆.
例4.6 设三阶方阵A的1, -2, 4. 求|A* + 3A – 2E| Solution |A| = -8 0, A* =|A|A-1 = -8A-1 A* + 3A – 2E = -8A-1 + 3A – 2E. 其特征值为 |A* + 3A – 2E| = 168.
性质4 对应于不同特征值的特征向量线性无关. Proof 1, 2, …, m是方阵A的m个不同特征值, p1, p2, …, pm分别是与之对应的特征向量, 即Api = i pi, i = 1, 2, …,m. 又设存在k1, k2, …, km使得 k1p1+ k2p2 + …+ kmpm= 0. A(k1p1+ k2p2 + …+ kmpm ) = 0 k11 p1+ k2 2 p2 + …+ km m pm= 0.
例4.7 设1, 2是方阵A的两个不同特征值, p1, p2分别是与之对应的特征向量, 则p1+ p2不是A的特征向量. Proof(反证) A(p1+ p2) = (p1+ p2)
性质5 实对称矩阵的特征值是实数. Proof Ax = x. 考虑
例4.8 设方阵A满足ATA = E, 实特征向量x是A的对应于的特征向量, 则2 = 1. Proof 由题意有Ax = x.