第二节 泰勒(Taylor)展式 一、解析函数的泰勒展式 二、解析函数的零点与唯一性
一、解析函数的泰勒展式 1. 解析函数展成幂级数 问题: 任一个解析函数能否用幂级数来表达？ . . 内任意点 . 如图:
定理4.2.1(泰勒定理) Taylor
证
推论4.2.1 推论4.2.2
2. 解析函数展成幂级数的方法与例 常用方法: 直接法和间接法. (1) 直接法 由泰勒展开定理计算系数
例1 解
例2
例3
(2) 间接法 借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 积分等)和其它数学技巧 (代换等) , 求函数的泰勒展开式. 间接法的优点: 不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直接展开更为简洁 , 使用范围也更为广泛 .
例4 解
附: 常见函数的泰勒展开式
例5 解
例6 解
例7 解
例8 解 上式两边逐项求导,
例9 解
例10 解
例11 解 将展开式两端沿 C 逐项积分, 得 即
二、解析函数的零点与唯一性 1. 零点
定理4.2.3(解析函数零点的孤立性) . 推论4.2.3
推论4.2.4 证
2. 解析函数的唯一性 定理4.2.4 证
例12 证明
例13 解
泰勒资料 Brook Taylor Born: 18 Aug 1685 in Edmonton, Middlesex, England Died: 29 Dec 1731 in Somerset House, London, England