上一堂有感覺的數學課 台北市石牌國中 蘇進發師 台北市數學輔導團

前言 如果學生在課堂學習中，對數學的印象，只是一堆不易理解的規則，將它們背下來，並適當套用之後，就得出所謂正確答案，或許你會同意這堂數學課，學生可能沒有什麼感覺，甚至慢慢地不喜歡上數學課。

例：梯形ABCD中， ，若 △AOD、△BOC的面積分別 為4、9，則梯形ABCD的面積=? A B C D O 答:

有感覺的數學課應具備： 1.不死板且有趣(學生不想缺課)。 有反應且有用(老師不唱獨角戲且與生活及其它科相連接)。 感到數學的威力 (善用數學方法，探索，有效果) 2.學生做『有意義』的學習 (更多知識?或能力提升?) 3.學生能在腦海中產生有結構脈絡的 認知體系？ 能活用數學知識(原型變化型 ) 有自信？

引發學習的動機 在教學上應該有一個公設，學生對 他們真正有興趣的東西，會做的最 認真也會做的最好；所以製造與保 持學生學習興趣，就成了我們老師 最重要的工作之ㄧ，但它也是老師 所遭遇到最困難的問題之ㄧ。 例:任意三角形都是等腰三角形。 例:沒有圓規如何畫圓? 例:學生有獎徵答 1=2

數學課堂進行式 以圓周角教學為例 (探索) 以重心教學為例 (學生合作解題)

圓周角度數=所對弧度數之半 為何∠P= AB……? 學生回答: 1.用量角器量特殊 角，可猜測出。 可猜測出。 (一) 2.依圖所示， P O X Y

圓周角度數=所對弧度數之半 再證明∠P= AB 學生回答: 老師反駁: 如何分類: 數學學習的樂趣:發現又證明之。 (二) 前面已經證明完畢了(多數認同)。 老師反駁: 圖形是參考用的。(如圖) A B P ●O 如何分類: 圓心在角的邊上、角的內部、角的外部。 WHY? 數學學習的樂趣:發現又證明之。 嚴格論證與直觀論證

如何找出觀賞名畫的最佳位置 ●O x與什麼有關? (1)名畫的寬。 (2)名畫的高。 名畫 k 設名畫寬為k，高為h h x=?

三角形重心的證明(部編版) 例:△ABC的重心為三中線的交點。 證明: 老師問: 學生答: 如何證明三線交於一點？ (經過辛苦的10分鐘…) D E F G a b c d e f 證明: 老師問: 如何證明三線交於一點？ (經過辛苦的10分鐘…) 學生答: (1) 、 交於一點G，說明G點在 上。 (2) 、 交於一點G，做 交 於D點 說明D點為中點。 (學生討論結果，採用方法(2))

三角形重心的證明(部編版) 例:△ABC的重心為三中線的交點。 證明: 學生說: 設兩中線 、 交於 一點G，作 交 於D點，欲說明 E F G a b c d e f 例:△ABC的重心為三中線的交點。 證明: 學生說: 設兩中線 、 交於 一點G，作 交 於D點，欲說明 D點為中點，須證明c=d(面積)。 老師說: 猜猜看這六塊面積a,b,c,d,e,f的關係。 (學生很容易猜相等)

三角形重心的證明(部編版) 例:△ABC的重心為三中線的交點。 證明: 學生容易觀察到: a=b；e=f。 老師說: 如何證明 a=f。 D E F G a b c d e f 例:△ABC的重心為三中線的交點。 證明: 學生容易觀察到: a=b；e=f。 a f 老師說: 如何證明 a=f。 學生說: (1) 2a=2f  a=f 。 (2) 2a+f=2f+a  a=f

三角形重心的證明(部編版) 例:△ABC的重心為三中線的交點。 證明: 老師說: 如何證明 c=d。 學生說: E F G a c d 例:△ABC的重心為三中線的交點。 證明: 老師說: 如何證明 c=d。 學生說: (1) 2a+c=2a+d  c=d 。 (2) 3a=a+c+d  2a=c+d  c=d 。 (3) △ABG的面積=△ACG的面積(同底等高) c=d (同底等高) 課本(2a+c):(2a+d)=c:d c=d

已知G為△ABC內部一點，若△ABG、△BCG與△ACG的面積相同，說明G點為重心。 練習: A 分組討論: 共同找出答案。 (2)每組找一個同學 上來說明。 G B C D 訓練表達能力、同儕學習、 黑板修改學生錯誤。

從物理方法來看質量中心點 A 學生問: A點摺至G點，新重心在哪裡？ A G 老師說: 好問題，可以用懸掛方式處理。 (是否有其它解法？)

例:如圖，若在原三角形上加一塊△ABC，則新重心在哪裡？ 操作得知重心 在 上。 ●K B C ●G D E 若△ADE的面積為M1，△ABC的面積為M2， 則新重心在 上，且距離G點為 。

重心在哪裡？(不可用懸掛方式) 任意四邊形 任意五邊形 ●G2 ●G2 ●G1 ●G1 ●G3 帶尺、計算機、與剪刀(分組考試)

一題多解 例:將一已知線段三等分。 (不可用平行線截成比例線段) 1 1.先作出 ，再 作出正三角形。 2.作出△的重心 3.作 的中點H 1.先作出 ，再 作出正三角形。 1 2.作出△的重心 G A B ● H 3.作 的中點H

結語 學生只想快速得到結果，老師卻 賣力地敎學生探索、尋找方法追 求結果，在短期內沒有什麼影響 ；但學生若想探索、尋找結果， 老師卻冷酷地快速告知結果，這 問題就嚴重多了。

沒有圓規如何畫圓? ● 釘子 筆 數學學習之遷移 

學生有獎徵答 例:已知P,Q,R,S為各邊的中點，是 否四邊形EFGH的面積與四邊形 ABCD的面積之比值為 ，若是 請說明，若不是舉一反例。 A B C D P Q R S E F G H 題目來源94… 

94石牌數學大挑戰(9年級) 5.如下圖所示,E,F,G,H為四邊形ABCD各 邊的中點,若四邊形ABCD的面積為65,且 四邊形BEPQ的面積為8,四邊形DGRS的 面積為11.5,則四邊形PQRS的面積為何? B S R Q P H G F E D A C 

錯誤的例子 例:兩正方形有一頂點疊合(如圖)， 且大正方形的頂點A，在小正方形 的邊上，則 =? 36 10 49 A B 但

2=1 若a=b(≠0) a×a=b×a (同乘a) (同減 ) (a+b)(a-b)=b(a-b) (因式分解) (同減 ) (a+b)(a-b)=b(a-b) (因式分解) a+b=b (同除a-b ) b+b=b (以a=b) 2×b=b (同除b) 2=1 ---ok(你知道哪裡出問題嗎?) 

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