§3 布尔格与布尔代数 一、布尔代数 定义16.10:有补分配格称为布尔(Boole)格, 习惯上写成(B;≤)。 §3 布尔格与布尔代数 一、布尔代数 定义16.10:有补分配格称为布尔(Boole)格, 习惯上写成(B;≤)。 有补格：有界(有最大元1和最小元0)，且每个元素有补元 b是a的补元：ab=1,ab=0
定理17.10:布尔格(B;≤)中任a,bB,有: (1)a的补元是唯一的。 (2)(ab)'=a'b',(ab)'=a'b'。 (3)ab=0a≤b'。 (4)(a')'=a
证明:(1)设a1,a2为a的补元,则有a1a=1, a1a=0,a2a=1, a2a=0, (2)要证(ab)'=a'b',即证 (ab) (a'b')=1, (ab)(a'b')=0 (3)由ab=0,证明a≤b', 关键是如何由ab=0引出a与b'的联系. 注意到定理17.1(2):a≤b当且仅当ab=a; 因此可考虑由ab=0,导出ab'=a 由a≤b',证明ab=0, 利用保序性
由(B;≤)定义了,运算，而a的补元a'也是B中的元素，且分配格补元唯一
布尔代数[B;,,']是有补分配格,具有性质L1~L4, L1幂等律:aa=a,aa=a; L2交换律:ab=ba,ab=ba; L3结合律:a(bc)=(ab)c, a(bc)=(ab)c; L4吸收律:a(ab)=a, a(ab)=a。 分配格,满足分配等式D1~D2, D1:a(bc)=(ab)(ac);(ab)(ac)=a(bc) D2:(ab)(ac)(bc)=(ab)(ac)(bc)
有补格:一定是有界格,每个元素有补元,满足B1、B2和C1~C3, B1:a1=1;a0=0 B2:a1=a;a0=a C1:aa'=1,aa'=0 C2:0'=1 C3:(ab)'=a'b',(ab)'=a'b’
和定义即为P1,并可得到P2~P3, P1:ab是a和b的最小上界，ab是a和b的最大下界 P2:a≤b当且仅当ab=a P3:ab=0a≤b’ 上述性质并不是相互独立的，可以从其中几个推出另外几个性质
定理16.11:B至少包含两个元素,和为B上的两个二元运算,'为B上的一元运算,若对任何a,b,cB满足: (H1)ab=ba,ab=ba。 (H2)a(bc)=(ab)(ac);(ab)(ac)=a(bc) (H3)在B中存在零元0,使a0=a,a0=0,存在单位元1,使a1=a,a1=1。 (H4)a'B,使aa'=0,aa'=1。 则[B;,,']为布尔代数。
[B; ,,']为代数系统,,,为定义在B上的二元运算,’为定义在B上的一元运算, 满足条件(H1)~(H4),则称B为布尔代数。
二、布尔环 定义:在布尔代数[B;,,']中,定义B上的二元运算+及·如下:任a,bB a+b=(ab')(a'b),a·b=ab 容易验证在一般的布尔代数[B;,,']上定义的[B;+,·]是可交换的有单位元环。我们称这样的环为布尔环 定义16.12:[B;,,']为布尔代数,如上定义+,·,则有[B;+,·]为环,称此环为布尔环。
定理16.12:[B;+,·]为布尔环,则对任aB,a2=a,且2a=0。 引理：设[A;+,·]为环,若对任aA,a2=a,则必有2a=0。 给定的有单位元1的环[B;+,·],若它的每个元素都是幂等元,且定义任a,bB,a'=1-a, ab=a+b-a·b,ab=a·b,可以得到一个代数系统[B;,,'],可以验证它满足H1~H4,因此所定义的代数系统[B;,,']是布尔代数。
定义16.13:一个带单位元的环, 如果它的每个元素都是幂等的, 则称该环为布尔环 由布尔格可以定义一个布尔代数,并进一步定义一个布尔环。 由布尔环可以定义一个布尔代数,并进一步定义一个布尔格。
作业P220: 24,25,26,27,28