小波分析发展历史 1807年 Fourier 提出傅里叶分析 ， 1822年发表 “热传导解析理论”论文 1910年 Haar 提出最简单的小波 1980年 Morlet 首先提出平移伸缩的小波公式，用于地质勘探。 1985年 Meyer 和稍后的Daubeichies提出“正交小波基”，此后形成小波研究的高潮。 1988年 Mallat 提出的多分辨度分析理论（MRA），统一了语音识别中的镜向滤波，子带编码，图象处理中的金字塔法等几个不相关的领域。
1988年 Mallat 提出的多分辨度分析理论，统一了几个不相关的领域：包括语音识别中的镜向滤波，图象处理中的金字塔方法，地震分析中短时波形处理等。 当在某一个分辨度检测不到的现象，在另一个分辨度却很容易观察处理。例如：
小波分析是纯数学、应用数学和工程技术的完美结合。从数学来说是大半个世纪“调和分析”的结晶（包括傅里叶分析、函数空间等）。 小波变换是20世纪最辉煌科学成就之一。在计算机应用、信号处理、图象分析、非线性科学、地球科学和应用技术等已有重大突破，预示着小波分析进一步热潮的到来。
“小波分析” 是分析原始信号各种变化的特性，进一步用于数据压缩、噪声去除、特征选择等。 例如歌唱信号：是高音还是低音，发声时间长短、起伏、旋律等。从平稳的波形发现突变的尖峰。小波分析是利用多种 “小波基函数” 对 “原始信号” 进行分解。
时间A 时间B 小波的时间和频率特性 运用小波基，可以提取信号中的“指定时间”和“指定频率”的变化。
参考： M. Vetterli, ”Wavelets and Subband Coding “, Prentice Hall PTR, 1995 p.11
小波变换，既具有频率分析的性质，又能表示发生的时间。 有利于分析确定时间发生的现象。（傅里叶变换只具有频率分析的性质） 小波的3 个特点 小波变换，既具有频率分析的性质，又能表示发生的时间。 有利于分析确定时间发生的现象。（傅里叶变换只具有频率分析的性质） 小波变换的多分辨度的变换，有利于各分辨度不同特征的提取（图象压缩，边缘抽取，噪声过滤等） 小波变换比快速Fourier变换还要快一个数量级。信号长度为M时， Fourier变换（左）和小波变换（右）计算复杂性分别如下公式：
“时频局域性” 图解：Fourier变换的基（上）小波变换基（中） 小波基表示发生的时间和频率 傅里叶变换 (Fourier)基 小波基 时间采样基 “时频局域性” 图解：Fourier变换的基（上）小波变换基（中） 和时间采样基（下）的比较
信号的时频分析： 信号时频分析的重要性： 信号时频分析的主要方法： 时间和频率是描述信号的两个最重要的物理量。 信号的时域和频域之间具有紧密的联系。 信号时频分析的主要方法：
反映傅立叶变换缺点的一个例子：
傅立叶变换的缺点： 用傅立叶变换提取信号的频谱需要利用信号的全部时域信息。 傅立叶变换没有反映出随着时间的变化信号频率成分的变化情况。 傅立叶变换的积分作用平滑了非平稳信号的突变成分。
解决傅立叶变换缺点的方法：
窗口傅立叶变换（Gabor变换）： 窗口傅立叶变换的定义： 窗口傅立叶变换的物理意义： 假设 f(t) L2(R)，则以g(t)作为窗函数的窗口傅立叶变换定义为： 窗口傅立叶变换的物理意义： 若g(t)的有效窗口宽度为Dt，则WFg(, b)给出的是f(t)在局部时间范围[b - Dt/2, b + Dt/2]内的频谱信息。 有效窗口宽度Dt越小，对信号的时间定位能力越强。
WFg(, b) = < F(), G ,b()>/(2) 窗口傅立叶变换的频域性质： 问题的提出： 窗口傅立叶变换WFg(, b) = <f(t), g,b(t)>给出的是信号在时域上的处理信息，一个很自然的问题是窗口傅立叶变换在频域上是怎样处理信号的？ 假设f(t)的傅立叶变换为F()，g,b(t)的傅立叶变换为G ,b()，则根据Parseval定理有： WFg(, b) = < F(), G ,b()>/(2) 窗口傅立叶变换频域上的物理意义： 若G ()的有效窗口宽度为D，则WFg(, b)给出的是F()在局部频率范围[ - D /2, + D /2]内的频谱信息。 有效窗口宽度D越小，对信号的频率定位能力越强。
窗口傅立叶变换的性能分析： 问题的提出： 解决问题的思想： 窗口傅立叶变换是否既具有强的时间定位能力，又具有强的频率定位能力？ 选择什么样的窗函数才能使得窗口傅立叶变换具有好的性能？ 解决问题的思想： 从物理意义上来看Dt和D是矛盾的，因此先定义Dt和D后，再计算Dt和D的乘积用以作为判断窗口傅立叶变换性能的依据。
窗口傅立叶变换的性能分析： 具体分析过程： 假设： 定义：
窗口傅立叶变换的性能分析： 海森堡测不准原理 计算Dt2×D2：
窗口傅立叶变换的性能分析： 结论： 等号成立条件： 窗口傅立叶变换的时间分辨率和频率分辨率不可能同时提高，只能以一种分辨率的降低来换取另一种分辨率的提高。 以高斯函数作为窗函数相对来说综合效果最好。
解决窗口傅立叶变换缺点的方法： 问题的提出： 解决方法： 窗口傅立叶变换窗口没有自适应性，只适合分析所有特征尺度大致相同的信号，不适于分析多尺度信号和突变过程。 解决方法： 引入窗口变化机制，同时求各种窗口大小下的变换，这样变换系数中就同时包含各种特征尺度下信号的信息。
小波变换的分类： 连续小波变换 离散参数小波变换 离散小波变换 时间、控制窗口大小的参数和时移参数都连续的小波变换。 时间连续，控制窗口大小的参数和时移参数离散的小波变换。 离散小波变换 时间、控制窗口大小的参数和时移参数都离散的小波变换。
连续小波变换： 连续小波变换的定义： 假设信号 f(t) L2(R)，则它的连续小波变换定义为： 时间平移参数 归一化因子 尺度伸缩参数
连续小波变换： 连续小波变换的物理意义： 时域上的意义：数学显微镜（一组有效宽度不同的窗口傅立叶变换的汇集）
连续小波变换： 频域上的意义： 若f(t)的傅立叶变换为F()，a,b(t)的傅立叶变换为a,b()，则根据Parseval定理，有：
连续小波变换： “恒Q性质”： 假设(t)的中心为t0，有效宽度为Dt； ()的中心为0，有效宽度为D；则a,b(t)提取的是f(t)在窗口[b+at0-aDt/2, b+at0+aDt/2]|中的性质，相应地从频域上说a,b()提取地是F()在窗口[0/a-D/(2a), 0/a+D/(2a)]中的性质，因此对于小波来说时域窗口宽度和频域窗口宽度的乘积始终为DtD。
母小波的例子： Harr小波：
母小波的例子： Mexico草帽小波：
母小波的例子： Morlet小波：
连续小波变换的逆变换： 连续小波变换逆变换存在的可能性： 以a,b(t)为变换核的连续小波变换的逆变换： 窗口宽度任意调节，在时域上或频域上能完全恢复出信号的信息。 连续小波变换结果有很大的冗余度。 以a,b(t)为变换核的连续小波变换的逆变换： 假设 f(t)、(t) L2(R)：
连续小波变换的逆变换： 证明思路：
母小波的容许条件： 从逆变换公式可以看出母小波的容许条件为：
连续小波变换的逆变换的其他形式： 以不等于a,b(t)的小波函数a,b(t)为变换核的连续小波变换的逆变换： 互为对偶关系
小波变换的分类： 连续小波变换 离散参数小波变换 离散小波变换 时间、控制窗口大小的参数和时移参数都连续的小波变换。 时间连续，控制窗口大小的参数和时移参数离散的小波变换。 离散小波变换 时间、控制窗口大小的参数和时移参数都离散的小波变换。
尺度和时移参数的离散化： 问题的提出： 尺度和时移参数离散化要解决的问题： 连续小波变换中含有很多冗余信息，冗余信息不利于对信号的分析和处理。 连续小波变换的计算量也大。 由于连续小波变换中有冗余信息，可能对尺度和时移参数进行离散化后仍可重构信号。 尺度和时移参数离散化要解决的问题： 尺度和时移参数要怎样离散化？ 尺度和时移参数离散化后要想重构信号对小波函数应有什么样的要求？
尺度和时移参数的离散化： 尺度和时移参数离散化的方法： 尺度参数的离散化： a = a0j , j Z （通常取a0的值为2，称为二进小波） 时移参数的离散化：取决于尺度参数 b = k×a0j , j, k Z
尺度和时移参数的离散化： 离散化后的小波变换： 怎样选择小波函数才能够重构信号： 小波函数仍应满足连续小波变换中的容许条件。 小波函数的选择与离散化的程度有关系，离散化参数取样间隔很小时对小波函数的限制也小，而离散化参数的取样间隔很大是对小波函数的限制也会很大。
尺度和时移参数的离散化： 重构信号小波函数应满足的条件（框架理论）： 对任意的 f(t) L2(R)，称{j,k}为一个框架，如果存在正参数A和B（ 0 A B < ），使得： 分析小波 合成小波
尺度和时移参数的离散化： 框架的一种特殊情况－－紧框架： 定义：A = B的框架称为紧框架。 性质： 分析小波的对偶是 它本身，类似于 正交变换。
尺度和时移参数的离散化： 紧框架不是标准正交基的一个例子： 在二维实空间中有三个矢量：
尺度和时移参数的离散化： 紧框架成为标准正交基的条件： 若{j,k}为紧框架，框架界A = B = 1，且对所有的j, k有：|| j,k || = 1，则{j,k}构成标准正交基。 证明：
标准正交小波基： 标准正交小波基的优点： 假设： 变换系数没有冗余，能够很好地反映信号的性质。 标准正交小波基与它的对偶相同。 计算简单： 以下使用的都是二进小波，即小波函数的形式为：