例1 全体 n 维向量构成的向量组记作Rn,求Rn的一个极大无关组和Rn的秩。 E: e1,e2,…,en 是线性无关的，而任意 n+1 个 n 维向量都线性相关，因此 向量组 E 是 Rn 的一个极大无关组，且 Rn 的秩等于 n。 显然，任何 n个线性无关的n 维向量都是Rn的极大无关 组，故 Rn 的极大无关组有无穷多个。

例2 设矩阵 求矩阵A的列向量组的一个极大无关组，并把不是极大无 关组的列向量用极大无关组线性表示。 解 对A施行初等行变换，使之变成行阶梯形矩阵

显然R(A) = 3,故列向量组的极大无关组含 3个解向量。而三个非零行的非零首元在1、2、4三列，故 α1, α2, α4为列向量组的一个极大无关组。这是因为：

为把α3,α5用α1,α2,α4线性表示，把A再变成最简形矩阵 X1α1+x2α2+ x4α4 =α3, x1α1+x2α2+x4α4=α5 即得 α3 = －α1－α2 α5 = 4α1 + 3α2－3α4

定理7 设向量组B能由向量组A线性表示，则向量组B的秩不大于向量组A的秩。 B0 : b1, b2,…, br , A0 : α1,α2,…,αS , 要证r ≤ s 。 因B0组能由 B组线性表示，B 组能由 A组线性表示，A 组能由 A0组线性表示，故 B0组能由 A0组线性表示，即

有非零解，这与B0组线性无关矛盾，因此r>s 不能成立 ,故 r ≤ s。 Ks×r = 0 ( Kx = 0 ) 有非零解，从而方程组 (α1，α2，… ，αs)Kx = 0 有非零解，即 有非零解：R(K)≤S<r,k的r个列向量线性相关，所以kx=0有非零解。 (b1,b2,…,br)x = 0 有非零解，这与B0组线性无关矛盾，因此r>s 不能成立 ,故 r ≤ s。

推论1 等价的向量组的秩相等。 证 设向量组A与向量组B的秩分别为 s 和 r，因两个向量组等价，即两个向量组能相互线性表示，故 s ≤ r与 r ≤ s 同时成立，所以s = r。 推论2 设Cm×n= Am×s Bs×n，则 证 将矩阵C 和 A用其列向量表示为 C = ( c1,c2,…,cn ) , A = ( a1,a2,…,as ) , B = ( bij ) , 由

知矩阵 C 的列向量组能由 A的列向量组线性表示，因此 R(C) ≤ R(A)。 因 CT = BTAT,同理可证R(C T) ≤ R(BT)。 即 R(C ) ≤ R(B)。 注：定理7与推论2是同一个原理的两种表现形式，定 理 7 是以向量的形式表现的，而推论 2 则是以矩阵的形式 表现的。

推论3 设向量组B是向量组A的部分组，若向量组B 线性无关，且向量组 A能由向量组B 线性表示，则向量组 B是向量组A的一个极大无关组。 证 设向量组B含r个向量，则 R(B) = r ，因 A 组能由 B 线性表示，故 R(A) ≤ r ，从而A 组中任意 r+1个向量线性相 关。所以向量组B 满足极大无关组的条件，故向量组B是向 量组A的一个极大无关组。 推论3是极大无关组的等价定义。

例3 设向量组B能由向量组A线性表示，且它们的秩相等，证明向量组 A与向量组B等价。 证 设向量组A、B的秩均为r,并设A组和B组的极大无关组分别为： A0 : α1 , α2 , … , αr B0 : b1, b2, … , br 注：证二、A: α1,α2,….αs;B: b1,b2,…,bt; c: α1,α2,….αs, b1,b2,…,bt; 因B组能由A组线性表示，故B0组也能由A0组线性表示, 即有r阶方阵Kr使 （b1, b2, … , br）＝（α1 , α2 , … , αr）Kr

因B0组线性无关，故 R(b1, b2, … , br) = r 由推论2，有R(Kr) ≥ R (b1, b2, … , br) = r。 但R(Kr) ≤ r,因此 R(Kr) ＝ r 于是矩阵Kr可逆，并有 (α1 , α2 , … , αr)＝ (b1, b2, … , br) Kr-1 即A0组能由B0组线性表示，从而A组能由B组线性表示。故 向量组A与向量组B等价。

例4 已知 证明向量组 α1,α2与 β1,β2等价。 证一 要证存在2阶方阵X、Y，使 (β1,β2) = (α1,α2) X, (α1,α2) = ( β1,β2)Y, 先求X，对增广矩阵(α1,α2 ,β1,β2 )施行初等行变换变为 行最简形矩阵：

(α1,α2 ,β1,β2 ) ＝

即得 因|X| = 1≠0,知X可逆，取Y = X-1,即合所求。因此向量组 α1,α2与 β1,β2等价。

证二 对矩阵(α1,α2)施行初等列变换变为 则 1,α2与 等价。因此，对 (α1,α2)和( β1,β2)施行初等列 变换变为列最简形矩阵，若两个列最简形矩阵相同，则1, α2与β1,β2都与列最简形矩阵的列向量组等价，从而(α1,α2) 与( β1,β2)等价，若1,α2与 β1, β2 的列最简形矩阵不同，则 (α1,α2)与( β1,β2)不等价。于是 ~

因 1,α2与 β1,β2 有相同的列最简形矩阵，故 (α1,α2) 与 ( β1,β2) 等价。

证三 显然α1,α2线性无关，β1,β2也线性无关，而 (α1,α2,β1,β2) 知R(α1,α2,β1,β2) = 2。因此α1,α2与β1,β2都是向量组α1,α2,β1,β2， 的极大无关组，所以α1,α2 与β1,β2等价。

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