如何判别一个多项式不可约，并没有一个行之有效的方法 1.在无限数域上的不可约多项式问题 复数域上的任何多项式都是可约的。 实数域上任何多项式，根据复根共轭的性质，知道实数域上只有2次不可约多项式。 有理数域，存在任意次不可约多项式。

定理1：若n次整系数多项式f(x)∈Z[x]在有理数域Q上可约，则f(x)在整数环Z上一定可约。 定理2(艾森斯坦(Eisenstein)判别法)：设f(x)=a0+a1x+…+anxn是整系数多项式，若能找到一个素数p，使得 (1)p不能整除an； (2)p|a0,a1,┅,an-1； (3)p2不能整除a0； 那么，f(x)在有理数域上不可约。

艾森斯坦判别法是充分条件，不满足定理2的多项式，不一定就可约。 如x2+3x+2和x2+1，都不满足定理2条件， 前者在有理数域上可约，后者不可约。

2.有限域上的不可约多项式 有限域上的不可约多项式，最直观的就是将域上所有n次多项式按次数列成表， 次数小的在前面，大的在后，次数相等的按某种规定排列先后，排在最前面的多项式就是不可约的，把它圈出来， 再把该多项式倍式的多项式从表中划去。 剩下没有圈和划去的多项式中排在最前的就是不可约的， 重复这一过程即可，但当n适当大时，工作量就很大。

设f(x)是F(q=pk)上的n次多项式， 如果f(0)=0,则f(x)有因子x,故f(x)可约. 如果f(0)0，若f(x)可约，则f(x)必有次数n/2的不可约因式g(x)。 设g(x)次数为m,因为g(x)是有限域F上的m次不可约多项式，则根据有限域上不可约多项式根域的结论知，g(x)|xqm-1-1,即f(x)与xqm-1-1有次数大于1的公因子。 检验f(x)是否可约，只要考察下列最大公因子： （f(x)，xqi-1-1）,对i=1,2,┅,[n/2],如果这些最大公因子都是1，则f(x)不可约。

常用的判断Z2上一个n次多项式是可约的方法有： 1）如果f(x)的常数项为0，除非f(x)=x，否则一定可约。 2）如果f(x)中系数为1的项个数为偶数，则一定可约。 3）如果(f(x),f’(x))1,则一定可约。 4）如果f(x+1)可约，则f(x)一定可约。 5）如果xnf(1/x)可约，则f(x)一定可约。

对于Z2上一个n次多项式f(x)=xn+xk+1(n,k不同时为偶数)，则有： 1）当n4时，若n1mod3,k2mod3,或n2mod3而k1mod3时，f(x)有因子x2+x+1，即f(x)可约。 2）f(x)满足下列3个条件中一个时，f(x)可约： i)n是偶数，k是奇数，n2k,而nk/20mod4或1mod4 ii)n是奇数，k是偶数，k不能整除2n,而n3mod8 iii)n是奇数，k是偶数，k|2n,而n1mod8

一、基本概念 1.代数系统 运算， SnS的映射称为S上的n元运算 代数系统：一个非空集合S,与一个或若干个定义在S上的运算Q1,…,Qk(k1),就构成了一个代数系统, 表示为 [S;Q1,…,Qk]。 单位元，结合律，交换律，逆元，零元，分配律 同态，同构

2.相容 设“~”为S上的等价关系，“*” 为S上的二元运算。若对任意a,b,c,dS，当a~b，c~d时，必有ac~bd，则称等价关系~与运算 是相容的，称~为代数系统[S;]的相容等价关系。 3.半群，拟群，群 有关定理 4.元素的阶和群的阶 定义,结论

5.子群与陪集 概念,定理,陪集的实质 正规子群 6.商群与群同态基本定理 7.环的基本概念 环的零元,环的单位元,交换环 在环中讨论元素可逆 1-un=(1-u)(1+u+u2++un-1) 8.特征数 整环的特征数 9.子环，理想，商环 主理想,主理想环 10.多项式环

11.扩域与单扩域 线性空间与域的关系 素域 12.代数元与代数扩域 极小多项式 13.根域 根域的存在性与唯一性(同构意义下) 14.有限域，形式微商 15.本原元与本原多项式

二、证明及判别、计算 1.群 群？ 元素阶与群的阶 陪集与划分,拉格朗日定理应用,特别是补充证明的一些结论。 子群，正规子群的验证和证明 设是群G上的等价关系,并且对于G的任意三个元素a,x,x‘，若axax’则必有x x‘。证明：与G中单位元等价的元素全体构成G的一个子群。 H={xG|xe} 对任意的xH，xe=xe=xx-1，因此有 ex-1，所以x-1H， 对任意的x,yH，有xe，ye， 即x-1xy=eye=x-1x，因此有xyxe， 所以xyH 用群同态基本定理证明群同构

设环R存在唯一一个右单位元，证明该环一定存在单位元。 2.环 环，理想,子环的判别 设环R存在唯一一个右单位元，证明该环一定存在单位元。 er为右单位元，对任意的a∈R， (era-a+er)，设法证明(era-a+er)也是右单位元 设A是环R的理想，B是R的子集， B={b|对任意aA, ba=0}，证明：B是环R的理想。 商环中的元素表示 零因子 用环同态基本定理证明环同构 求多项式的逆

3.域 扩域,代数元 求 在有理数域上的极小多项式. 4.根域 确定根域,及扩张次数 有限域的根域存在性,唯一性证明方法 重根与形式微商 Zp上n次不可约多项式根域

Zp上的n次不可约多项式f(x)的根域是什么？ 定理:Zp上的n次不可约多项式f(x)的根域是GF(pn)=Zp() 推论16.6:GF(pm)中的元素恰为多项式xpm-xZp[x]的pm个根。 习题16.16 如果是f(x)在其根域上的根,则N=Zp() 该结论是针对有限域Zp上的多项式，对于无限域是不成立的。 例如x3-是Q[x]上的不可约多项式，为其根，但Q()不是x3-的根域。

5.本原元与本原多项式 有关定理和结论的证明 GF(pn)的表述,化简 求出所有本原元,本原多项式 已知为GF(pn)上的本原元，怎样求出GF(pn)上的所有本原元？ GF*(pn)中的每个元素可表示为的幂次形式k。由习题14.19知，k的阶为pn -1当且仅当(k, pn -1)=1，即k为本原元当且仅当(k, pn -1)=1。因此我们就可在,2,pn-1中找出所有的本原元。

已知Zp上的一个n次本原多项式f(x),怎样求出所有的n次本原多项式? f(x)=(x-)(x-p)(x-p2)(x-pn-1) 2.已知Zp上的一个n次本原多项式f(x),求所有n次本原多项式的方法是: (1)先求出f(x)的一个根,即本原元,然后求出GF(pn)中的所有本原元, (2)根据求出的本原元按结论1中的方法构造其他本原多项式. 3.凡不可约多项式若有一个根是本原元,则它的所有根都是本原元,即,它一定是本原多项式.

已知x4+x+1是Z2上的本原多项式,设是x4+x+1的根, (1)求出GF(16)上的所有本原元，并用的幂次形式表示 已知x4+x+1是Z2上的本原多项式,设是x4+x+1的根, (1)求出GF(16)上的所有本原元，并用的幂次形式表示.(2)求出Z2上的所有四次本原多项式。 与15互质：1，2，4，7，8，11，13，14 ，2， 4， 7， 8， 11， 13， 14， (x-)(x- 2)(x- 4)(x- 8) (x-7)(x- (7)2)(x- (7)22)(x-(7)23) =(x-7)(x- 14)(x- 13)(x-11)

定理2(艾森斯坦(Eisenstein)判别法)：设f(x)=a0+a1x+…+anxn是整系数多项式，若能找到一个素数p，使得 (1)p不能整除an； (2)p|a0,a1,┅,an-1； (3)p2不能整除a0； 那么，f(x)在有理数域上不可约。 1.证明2xn+9x2+6(n>2)是有理数域上的不可约多项式。 p=3

基本概念要清楚 熟知的数集上性质 注意按照定义和规则，不能想当然 要有一定的灵活，善于思考

考题类型： 判断说明理由； 证明，说明，计算 考试时间：5月6日9:50—11:35 地点：Z2108 占总分40%

作业: 1.证明2xn+9x2+6(n>2)是有理数域上的不可约多项式。 2.求出Z2上所有5次不可约多项式和本原多项式