空间几何平行专题

一、直线与平面的位置关系

直线与平面平行的证明

直线与平面平行的性质应用

证明两个平面平行

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空间几何垂直讲座

一.空间图形的垂直关系：直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直。 二.直线与直线垂直 定义：两条直线所成的角为90o，则称两直线垂直，包括两类：相交垂直与异面垂直。 三．直线与平面垂直 1.定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直, 那么称这条直线和这个平面垂直。这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面。

四.二面角: 定义:从一条直线AB出发的两个半平面(和)所组成的图形叫做二面角.记作二面角-AB-,AB叫做二面角的棱,两个半平面(和)叫做二面角的面. 二面角的平面角:在二面角的棱AB上任取一点O,过O分别在二面角的两个面,内作与棱垂直的射线OM,ON,我们把∠MON叫做二面角-AB-的平面角,用它来度量二面角的大小. 平面角是直角的二面角叫做直二面角. 五. 两个平面垂直的判定和性质 1．定义 两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

证明直线与直线垂直

直线与平面垂直的证明

平面与平面垂直的证明

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空间几何角与距离

一.异面直线所成的角 1.定义；已知两条异面直线 ,经过空间任一点O，作直线 把 所成的锐角（或直角）叫做异面直线 所成的角 （或夹角）。

二.异面直线的距离的定义： 2.异面直线所成的角的范围是： 和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线。两条异面直线的公垂线有且只有一条。两垂足间的距离称为异面直线的距离。

异面直线所成的角和距离

二．直线和平面所成角 （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成 的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。 （2）直线和平面所成角范围：

0o 例1.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）A1C1与面ABCD所成的角 （2） A1C1与面BB1D1D所成的角 （3） A1C1与面BB1C1C所成的角 （4）A1C1与面ABC1D1所成的角 0o A1 D1 C1 B1 D C A B

90o 例1.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）A1C1与面ABCD所成的角 （2） A1C1与面BB1D1D所成的角 （3） A1C1与面BB1C1C所成的角 （4）A1C1与面ABC1D1所成的角 90o A1 D1 C1 B1 D C A B

45o 例1.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）A1C1与面ABCD所成的角 （2） A1C1与面BB1D1D所成的角 （3） A1C1与面BB1C1C所成的角 （4）A1C1与面ABC1D1所成的角 45o A1 D1 C1 B1 D C A B

30o 例1.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）A1C1与面ABCD所成的角 （2） A1C1与面BB1D1D所成的角 （3） A1C1与面BB1C1C所成的角 （4）A1C1与面ABC1D1所成的角 A1 D1 C1 B1 E 30o D C A B

求线面角、二面角的的大小

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二面角的求法

复习 二面角 （1）定义法： 根据定义作出二面角的平面角； （2） 用三垂线定理或其逆定理；   A B 从一条直线出发的两个半平面所组成 的图形叫做二面角。 二面角的大小用它的平面角来度量； 求二面角常用方法有： （1）定义法： 根据定义作出二面角的平面角； （2） 用三垂线定理或其逆定理； A P B   a P A B O （3）垂面法： 作二面角棱的垂面，则垂面和二面角的两个面的交线所成的角即是该二面角的平面角。

二面角求法 例1 在正方体AC1中，E为BC中点，（1）求面B1BCC1与面AB1C所成的二面角的正弦值；（2）求二面角E—B1D1—C1的正切值。 A B1 C1 D A1 B C D1 A B1 C1 D A1 B C D1 E F G H （1） （2）

例2、如图，△ABC在平面α上的射影为正△AB1 C1， 若BB1= ，CC1=AB1=1，求面ABC与面AB1C1所成 锐二面角的大小。 C B1 A C1 B 1 P

P A B a 5 3 600 E

例4 已知Rt△ABC顶点A不在α内，斜边BC在α内，AB、AC分别与平面α成300、450角，求△ABC所在平面与α所成角。 E 引申：若△ABC为一般△，设面ABC与底面α所成角为θ，则COS θ=

练习： 如图，G、E、F分别是正方体AC1中CD、BC、CC1中点，求二面角F—GE—C的余弦值。

例 5 如图，已知A、B是120的二面角—l—棱l上的两点，线段AC，BD分别在面，内，且AC⊥l，BD⊥l ，AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD的长。 O ∠OAC ＝120 AO=BD=1, AC=2 四边形ABDO为矩形, DO=AB=3 19

二面角—l—的平面角，即 ∠OAC ＝120， 例 5 如图，已知A、B是120的二面角—l—棱l上的两点，线段AC，BD分别在面，内，且AC⊥l，BD⊥l ，AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD的长。 A D B C   E l 解：在平面内，过A作AO⊥l ，使 AO=BD, O 连结CO、DO, 则∠OAC就是 二面角—l—的平面角，即 ∠OAC ＝120， ∵BD⊥l ∴ AO∥BD，∴四边形ABDO为矩形, ∴ DO∥ l ， AO=BD ∵ AC⊥l ， AO⊥l ， ∴ l ⊥平面CAO ∴ AO⊥l ∴ CO⊥DO ∵ BD=1 ∴ AO=1，在△OAC中，AC=2， ∴ 在Rt △COD中，DO=AB=3 19

小结二面角的平面角的求法： （1）定义法 （2）三垂线定理法 （3）射影法 COSθ= （4）垂面法

例5： 已知直二面角 -l-，A,B线段AB=2a，AB与成45º的角，与成30º角，过A、B两点分别作棱l的垂线AC、BD，求面ABD与面ABC所成角的大小。   A C B D F H 解法一：如图,由已知可得平面ABC平面,作DHBC于H，则DH平面ABC，作DFAB于F，连HF，则据三垂线定理的逆定理知DFH为所求二面角的平面角。 于是在DFH中，由余弦定理，得 所以 即面ABD与面ABC所成的二面角为 又知BAD=45º, ABC=30 º，可解得

（4）射影法：如图所示， AD平面M，设AHD= 是二面角A-BC-D的平面角，由 cos  =AD/AH可得，ABC与它在过其底边BC的平面M上的射影DBC以及两者所成的二面角之间的关系： A B C D H M 用这个关系式求可锐二面角的平面角。 （5）公式法： 如图，CBF= 为二面角的 平面角  ，在CBF中，由余弦定理可求得CF 再由RtECF可得 E F m n d A B C   l 用此公式亦可求二面角的平面角；这实为异面直线上两点的距离公式， (0º,180º)。

再见