第四章 根轨迹法 闭环系统的稳定性和性能指标主要由闭环系统的极点在复平面的位置决定，因此，分析或设计系统时确定出系统闭环极点的位置是十分有意义的。

4.1 根轨迹的基本概念 一、根轨迹的定义 根轨迹：是指系统开环传递函数中某个参数(如开环增益K)从零变到无穷时，闭环特征根在s平面上移动所画出的轨迹。 常规根轨迹：当变化的参数为开环增益/根轨迹增益时所对应的根轨迹。 广义根轨迹：除常规根轨迹外的其他情况下的根轨迹。

系统的开环传递函数 K*：根轨迹增益；K*/4：开环增益。 开环极点：-p1= 0，-p2= 4；开环零点：无。

特征方程： j –2 –4 –6 -2 2 4 -4 特征根： p2 p1

二、根轨迹与系统的性能 稳定性： K*>0稳定 稳态性能： 动态性能： ①当0<K*<4时，过阻尼 j 2 4 - K *= K* = . 5 1 ®¥ 稳定性： K*>0稳定 稳态性能： 动态性能： ①当0<K*<4时，过阻尼 ②当K*=4时，临界阻尼状态。 ③当K*>4时，欠阻尼状态。

三、根轨迹方程 1. 开/闭环传递函数的零极点表达式 控制系统的结构图 其闭环传递函数 式中G(s)H(s)为系统的开环传递函数。

开环传递函数零极点表达式为 pi 为开环极点； zj 为开环零点； K* 称作根轨迹增益。 si 为闭环极点，即系统特征根。 zj为闭环零点。 K*称作闭环根轨迹增益。

2. 根轨迹方程 特征方程1+GK(s) =0可变换为GK(s)=-1。将GK(s)= -1称为根轨迹方程，即 由于GK(s)是复数s 的函数，故上式可视为向量方程

模值方程： 确定根轨迹上某点对应的K*值。 相角方程： 确定某点是否是根轨迹上的点 ★相角方程是决定闭环根轨迹的充要条件。

把 均看成向量的话，在复平面中的体现是由开环零极点 指向s点的向量。

4.2 绘制根轨迹图的基本法则 法则1 根轨迹的分支数(n>=m)： 分支数=开环极点数=闭环极点数=系统阶数 4.2 绘制根轨迹图的基本法则 法则1 根轨迹的分支数(n>=m)： 分支数=开环极点数=闭环极点数=系统阶数 法则2 根轨迹的对称性：关于实轴对称的 实数：在是实轴上；共轭复数：对称于实轴 法则3 根轨迹的起点、终点： 起始于开环极点， 终止于开环零点 (m条)， 或趋于无穷远处(n-m条)。

证明： 特征方程为 起点： 终点：

法则4 根轨迹在实轴上的分布： 实轴上根轨迹区段右侧的开环零极点数目之和为奇数。

当 n>m 时，将有(n-m)条根轨迹沿渐近线 趋于无穷远处，其渐近线与实轴正方向的夹角为 ，与实轴交点坐标为 。 法则5 根轨迹的渐近线： 当 n>m 时，将有(n-m)条根轨迹沿渐近线 趋于无穷远处，其渐近线与实轴正方向的夹角为 ，与实轴交点坐标为 。 取n-m个即可

常见 n-m＝1,2,3,4时渐近线的图像:

例4-1 单位负反馈系统的开环传递函数为G（s），试求 （1）实轴上的根轨迹区域； （2）根轨迹趋向无穷远的渐近线。

法则6 根轨迹的分离点(或会合点)坐标sd ： 两条或两条以上根轨迹在s平面上相遇后又立即分开的点，称为分离点或会合点。 性质： 1）分离点实质是特征方程的重根； 2）分离点关于实轴对称； 3）如果实轴上两相邻开环极点之间的线段属于根轨迹，那么这两个极点之间必定存在分离点； 4）如果实轴上两相邻开环零点之间(或其中一个零点是无穷远零点) 的线段属于根轨迹，则两零点之间必定存在分离点。

分离点坐标求解方程： 注意：属于根轨迹区段上的点，才是分离点，否则舍去！

已知开环传函 ，求根轨迹分离点。

法则7 根轨迹的分离角 分离角是指根轨迹进入分离点处的切线与离开分离点处的切线间的夹角。 分离角计算公式为 ： 为分离点处根轨迹分支数； 若实轴上有双重极点，则其分离角为

法则8 根轨迹与虚轴交点 与虚轴的交点为系统临界稳定点，此处的根轨迹增益为临界根轨迹增益。 求法： 法则8 根轨迹与虚轴交点 与虚轴的交点为系统临界稳定点，此处的根轨迹增益为临界根轨迹增益。 求法： （1）将s=jω代入特征方程，解出ω和K*； （2）利用劳斯判据，由全0行求出K*，由辅助方程求出ω。

求临界稳定的开环增益Kc

用劳斯判据解题

法则9 根之和 设系统开环传递函数为 则根据代数方程的根与系数的关系可知，有

系统的闭环特征方程可写成 并设它的n个根为 则有 当n-m>=2时

即当n-m>=2时，闭环极点之和=开环极点之和=常数an-1,且与K*无关。 因此，当n-m>=2，K*↑时，若一部分根轨迹分支在s平面上向右移（无穷延伸），则另一部分根轨迹必向左移（无穷延伸）。

法则10 根轨迹的起始角与终止角： 起始角是指根轨迹离开开环极点处的切线与正实轴方向的夹角。 法则10 根轨迹的起始角与终止角： 起始角是指根轨迹离开开环极点处的切线与正实轴方向的夹角。 终止角是指根轨迹进入开环零点处的切线与正实轴方向的夹角。

起始角的计算公式： 终止角的计算公式：

公式的由来： s1是根轨迹上的点，故满足相角条件。 当s1→p1时，β1即为p1处的起始角。

共轭复数的开环零极点才需计算起始角和终止角，实数开环零极点不用计算. 共轭开环零极点对应的起始角/终止角，大小相等，符号相反。

绘制根轨迹时的注意事项 1.用×和○标出开环零点和开环极点； 2.用箭头表示根轨迹随K增大时的变化趋势； 3.标注出关键点：分离点、与虚轴交点。 4.有复数开环零极点的情况下，标注起始角和终止角。

例4-5负反馈系统的开环传递函数 试作K(由0)变动的系统闭环根轨迹。 解： 开环极点：p1=0，p2= -3，p3= -3 无开环零点。

(2) n = 3 ，根轨迹有3条分支； (3) K = 0时 ，根轨迹起始于p1 ， p2 ， p3 K   时，皆趋于无穷远处； (4) 实轴上的根轨迹区段： [-3, 0]，(-, -3]

(5) 渐近线：

(6) 分离点sd： 由公式 解之，得 sd = -1

(7) 分离角： (8) 与虚轴交点 令 s = j ，代入特征方程

将实部和虚部分别写成方程式 解之，得 即与虚轴交点坐标为 临界增益

综上所述系统根轨迹如图所示

解： 例4-4：已知 画根轨迹。 （1）系统有两个开环极点0，-4，无开环零点； （2）实轴上的根轨迹区：[-4,0]; （3）分离点：sd=-2； （4）由根之和知，K从0→∞时闭环根之和等于开环根之和，为-4. 综上所述根轨迹如图所示。

例4-3 系统开环传函为 试绘制系统根轨迹图。

结论：当系统仅有两个开环极点p1、p2和一个开环零点z1时，其根轨迹要么是直线要么是圆弧；且圆弧的圆心 在零点，半径 当零点位于两个极点之间时无复平面上的根轨迹。

（1）系统有两个开环极点0，-2，一个开环零点-4； P119，例4-9 例4-9：已知 画根轨迹。 解 ：系统开环传递函数可化为 （1）系统有两个开环极点0，-2，一个开环零点-4； （2）实轴上的根轨迹区：[-2,0]，(-∞,-4]; （3）平面上的轨迹是圆，圆心为(-4,0),半径为

根轨迹如下图所示，可知它与实轴的两分离点为： 分析K对系统动态过程的影响。

补充：开环零极点对根轨迹的影响 一、增加开环零点的影响

小结：增加开环零点对根轨迹的影响 改变了根轨迹在实轴上的分布； 改变渐近线的条数，方向角及与实轴的交点； 一般使根轨迹向右偏移，不利于系统的稳定性和动态特性。 小结：增加开环极点对根轨迹的影响 （1）（2）同上。 （3）相反。

例如：

4.3 利用根轨迹分析系统的动态性能 当一控制系统在K由0→∞变化时，其闭环特征根沿根轨迹是变化的，只要K值确定，闭环特征根的位置就确定了，系统的动态品质也就确定了。 闭环零极点分布与阶跃响应的定性关系 稳定性：闭环极点全部位于s左半平面； 快速性：闭环极点远离虚轴； 平稳性：复数极点最好设置在与负实轴成±45°夹角附近。

主导极点：是指最靠近虚轴，对系统动态性能影响最大，起着决定性作用的极点。 要求动态过程尽快消失，则须使闭环极点之间的距离加大，零点应靠近极点。 二、主导极点与偶极子 主导极点：是指最靠近虚轴，对系统动态性能影响最大，起着决定性作用的极点。

例如： 偶极子：如果一个闭环极点和零点在复平面上的位置很接近，对动态性能的影响可相互抵消，则常称为偶极子。 工程上，某零、极点之间的距离比它们本身的模值小一个数量级，则它们就构成了偶极子。 例如：

例4-6 三阶系统的闭环传递函数 试估算系统的性能指标％、ts。 解： 闭环传递函数有三个极点，分别为 s1=-1，s2,3=-4±j9.2 系统可降阶为一阶系统

例4-7 三阶系统的闭环传递函数 试估算系统的性能指标％、ts。 解： 闭环传递函数有三个极点，分别为 s1=-1，s2,3=-4±j9.2 一个闭环零点 z1=-1.1

由零、极点分布图看出： s1与 z1构成偶极子。 s2与s3构成主导极点。 所以系统可以近似为二阶系统，即 系统的 ＝0.4， n＝10 对应的性能指标

系统阶跃响应的根轨迹分析 例4-8 试用根轨迹法分析例4-5所示系统的稳定性，并且求出闭环主导极点具有阻尼比ξ=0.5时的近似闭环传递函数，并估算性能指标。 解：（1）绘制根轨迹（略），系统根轨迹如图所示。 （2）稳定性分析 当0<K<6时系统稳定。 （3）动态性能分析

（3）动态性能分析 分离点处的增益K为： 负实根：单调/无超调/无震荡；

（4）根据ξ=0.5的要求，确定闭环极点的位置。 （3）动态性能分析 负实根/共轭复根：有振荡有超调。 （4）根据ξ=0.5的要求，确定闭环极点的位置。 由图可得， 则

因s3到虚轴的距离是s1、s2的4.4/0.8=5.5倍，故s1、s2可视为主导极点。此时的K值为 故近似的闭环传函为

在单位阶跃作用下的近似性能指标为

例4.9 半径为

4.4 广义根轨迹 一、参量根轨迹 常规根轨迹：随K*或K的变化绘制出的根轨迹。也称180°根轨迹。 广义根轨迹：除常规根轨迹外的其他情况绘制出的根轨迹。如参量根轨迹、0°根轨迹等。 参量根轨迹：在控制系统中，除K*或K以外，其它参数变化时绘制出的根轨迹。 绘制参量根轨迹的关键： 正确地求出等效开环传递函数。

例4-10 已知系统开环传递函数为 ，试绘出参量Ta由0→∞变化时的根轨迹。 解 系统开环传函为： 系统特征方程为： 得等效开环传函为：

得等效开环传函为： 等效开环传函有两个极点、一个零点： 实轴上的根轨迹区域为: (-∞，0) 平面上的根轨迹为圆弧，圆心 (0,0)，半径为 则τ的参量根轨迹如图所示。

(2)以特征方程中不含参量的项去除特征方程，得到系统的等效开环传函。 参量根轨迹的绘制步骤总结 第一步，得出等效开环传函； (1)列出原系统的特征方程并重组； (2)以特征方程中不含参量的项去除特征方程，得到系统的等效开环传函。 第二步，根据常规根轨迹的绘制方法，绘制参量根轨迹。

本章小结 1. 根轨迹基本概念 2. 绘制根轨迹的基本法则 3. 开环零极点对根轨迹的影响 4. 利用根轨迹分析系统性能 5. 参量根轨迹 6. 零度根轨迹

作 业 P128 4-2（2）（4） 4-3